Comme on a pu le constater à la lecture des précédents chapitres, les axiomes du système Z* suffisent pour reformaliser une grande partie des mathématiques dans le monde des ensembles purs. Toutefois, ils vont s'avérer insuffisants pour pouvoir progresser dans le domaine spécifique de la théorie des ensembles.

A la section 1, on commence par montrer les lacunes du système Z*, et on explique pourquoi, en 1926, Abraham Fraenkel a vu la nécessité d'imposer un nouveau schéma d'axiomes à la théorie naissante. On énonce alors formellement le schéma de remplacement, puis on examine quelques-unes de ses conséquences immédiates : redondance des axiomes de l'ensemble vide, de la paire et du schéma de compréhension, existence de familles d'ensembles, existence du sup d'une famille d'ordinaux, notion de type d'ordre, ordinaux non dénombrables, unicité à isomorphisme près d'une collection bien ordonnée.

La section 2 est consacrée à une description rapide des opérations sur les ordinaux : on y définit de manière directe la somme, le produit et l'exponentiation ordinale.

A la section 3 on montre que, de même qu'on a le droit d'effectuer des démonstrations par récurrence transfinie, il est licite de donner des définitions par récursion ordinale, et même par récursion ordinale généralisée sur les classes. On démontre le théorème de récursion dans le cas le plus général, et on explique comment il permet de donner des définitions plus simples, par induction transfinie, des opérations ordinales.

Enfin, la section 4 est consacrée à un rapide survol de la topologie sur les ordinaux : on y dégage en particulier la notion de suite normale, et on démontre le théorème du point fixe.

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