Ce chapitre marque un tournant décisif dans la démarche que nous avons suivie jusqu'ici. En effet, pour l'instant nous avons fait comme si nous vivions dans un certain univers U composé d'ensembles (voire même d'ensembles purs) et avons cherché à déterminer quelles étaient les propriétés que nous souhaitions attribuer à cet univers. A partir de maintenant nous allons jongler avec plusieurs univers, ou modèles de ZFC. Le pas à franchir est difficile, mais compensé par le fait que nous sommes maintenant mieux armés, puisque nous disposons désormais du théorème de complétude, ainsi que des théorèmes d'incomplétude de Gödel.

A la section 1 on rappelle la notion de modèle de ZFC, et on montre, via le second théorème d'incomplétude, l'impossibilité d'exhiber un tel modèle. Si ZFC est consistante (ce qu'on supposera toujours à l'avenir), le théorème de Löwenheim-Skolem montre l'existence d'un modèle dénombrable de ZFC. C'est ce qu'on appelle le paradoxe de Skolem. On explique alors que ce paradoxe n'en est pas un, et on revient sur des notions élémentaires de prouvabilité en théorie des ensembles. En particulier, on montre comment des outils sémantiques vont nous permettre de rédiger des preuves d'indépendance. On termine la section par une réflexion philosophique et totalement personnelle sur la notion de modèle de ZFC.

La section 2 est consacrée à la notion de standardicité. Dans un premier temps on donne la définition de ce qu'est un modèle ω -standard (qu'on abrégera par la suite par standard) et un modèle α-standard pour n'importe quel ordinal α. On montre ensuite que si ZFC est consistante elle admet nécessairement des modèles non standards, mais que la consistance de ZFC ne permet pas de prouver l'existence d'un modèle standard. S'ensuit une âpre discussion sur la standardicité ou la non-standardicité de l'univers réel.

A la section 3 on donne un premier aperçu sur les modèles transitifs de ZFC. Après quelques préliminaires on donne la définition : un modèle (M,E) est dit transitif si sa relation d'appartenance E est la restriction à M de la relation d'appartenance dans l'univers réel. On explique qu'un modèle transitif est nécessairement standard (et même α -standard pour tout ordinal α). Les questions plus délicates d'absoluité pour les modèles transitifs sont reportées au Chapitre 17.

A la section 4 on fait le lien entre la notion de modèle de ZFC et la hiérarchie cumulative des Vα . Plus précisément on essaie de répondre à la question suivante : pour chaque axiome de ZFC, quelle valeur faut-il donner à α pour que Vα soit modèle de cet axiome ? On y répond de façon favorable dans tous les cas, sauf pour le schéma de remplacement, où on sent la nécessité de l'existence d'un gros cardinal. Mais ce cadre général permet de donner les premières preuves d'indépendance, qui ne présentent aucune difficulté particulière : on montre la non-redondance de l'axiome de l'infini, de l'axiome des parties, du schéma de remplacement et de l'axiome de fondation. Pour finir on dit un mot des autres axiomes de ZFC.

A la section 5 on revient sur les cardinaux fortement inaccessibles, qui ont été définis au Chapitre 12. On montre que si κ est fortement inaccessible, alors (Vκ, ∈) est modèle de ZFC. On en déduit, via le second théorème d'incomplétude, que, non seulement ZFC ne prouve pas l'existence d'un inaccessible, mais aussi que la consistance de ZFC n'entraîne pas la consistance de ZFC+ "Il existe un inaccessible". On en vient alors tout naturellement à la notion de consistency strength et d'hypothèse strictement plus forte que ZFC, ce qui permet de donner dès maintenant un aperçu très vague de la hiérarchie des grands cardinaux.

On termine à la section 6 par un petit complément, dans lequel on montre que ZF "est inhéremment infinie", au sens où elle n'est pas finiment axiomatisable, ni même finiment axiomatisable au-dessus de Z.

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