Ortocentre

Definició

L'altura és la recta perpendicular a un costat d'un triangle des del vèrtex oposat.

Proposició

Les 3 altures d'un triangle són concurrents en un punt anomenat ortocentre.

Demostració

• Tracem paral·leles a BC per A, a AC per B i a BA per C.
• Marquem els angles.
• Utilitzant que els angles alterns que forma una recta secant són iguals i utilitzant que la suma d'angles d'un triangle és 180 obtenim tots els angles marcats.
• Utilitzant el criteri ACA tenim les igualtats dels triangles: ABC = A'CB = CB'A = BAC'
• Marquem els costats iguals.
• L'altura per A del triangle ABC és la mediatriu de B'C' del triangle A'B'C' (perquè AC' = AB' per construcció).
• Fem el mateix amb l'altura per B que serà la mediatriu de A'C'
• Fem el mateix amb l'altura per C que serà la mediatriu de A'B'
• Sabem que les mediatrius (de A'B'C') es tallen en un punt (són concurrents); per tant les altures de ABC que són les mateixes rectes també seran concurrents.

Definició

El triangle ABC és el triangle medial del triangle A'B'C'. El circumcentre del triangle A'B'C' és l'ortocentre del triangle ABC.