Incentre

Definició

Donades dues rectes que es tallen, existeixen dues rectes que divideixen els angles per la meitat. Aquestes dues rectes s'anomenen bisectrius.

Propietat 1

Les bisectrius són ortogonals entre sí.

Propietat 2

Les bisectrius són el lloc geomètric dels punts que equidisten de les dues rectes.

Proposició

Les 6 bisectrius d'un triangle es tallen en 4 punts que són l'incentre (I) i els 3 exincentres.

Demostració

• Considerem una bisectriu de l'angle A i una bisectriu de l'angle B. Com que ABC és un triangle, aquestes dues bisectrius es tallen en un punt. Diem-li I.
• Aquest punt pertany a la bisectriu de l'angle A, per tant equidista de les rectes AB i AC.
• Aquest punt també pertany a la bisectriu de l'angle B, per tant equidista de les rectes AB i BC.
• Combinant aquestes dues coses, el punt I equidista de les rectes AC i BC; o el que és equivalent, el punt I pertany a una bisectriu de l'angle C.
• Així ja hem demostrat que les bisectrius són concurrents. Combinant ara bisectrius internes i externes al triangle veiem el resultat per a la resta de bisectrius concurrents.

Propietat

I és el centre de la circumferència inscrita i els punts I_A, I_B, I_C, són els centres de les circumferències exinscrites. Els radis d'aquestes circumferències són r, r_A, r_B i r_C.

En efecte, com que I equidista dels 3 costats del triangle, existeix una circumferència amb centre I i radi aquesta distància que és tangent als 3 costats. Igualment amb els altres 3 punts.

Corol·lari

Donades 3 rectes formant un triangle llavors existeixen exactament 4 circumferències tangents a les 3 rectes a la vegada.