Baricentre

Definició

Una mediana d'un triangle és la recta que va des d'un vèrtex al punt mitjà del costat oposat.

Proposició

Les 3 medianes d'un triangle són concurrents en un punt anomenat baricentre.

Demostració

Per demostrar aquest resultat, ens cal haver vist el teorema de Ceva, que el podeu trobar a la secció teoremes d'aquesta web. Així doncs, donarem per conegut aquest teorema per fer la demostració.

• Les medianes són cevianes. Pel teorema de Ceva seran concurrents si i només si es compleix:

• Però això és immediat ja que les medianes van des d'un vèrtex al punt mitjà del costat oposat, per tant cada factor d'aquesta multiplicació valdrà 1. Així doncs, el teorema de Ceva ens assegura que les medianes són concurrents.

Propietats

1. (A'BA)=(AA'C)=(BB'A)=(BB'C)=(CC'A)=(CC'B)=1/2 (ABC) ja que tots tenen la mateixa altura que el triangle ABC i la base és la meitat per definició de mediana.
2. (BGA')=(A'GC)=(CGB')=(AB'G)=(AC'G)=(C'GB)=1/6 (ABC). Si (BGA')=(A'GC) llavors com que (AA'B)=(AA'C) tenim (AGC')=(AGB') i anàlogament ens surten els 6 triangles amb la mateixa àrea.
3. El baricentre divideix cada mediana en proporció 2/3. En efecte, per la propietat 2 sabem que (AGB)=2(AGB') i aquests dos triangles tenen la mateixa altura (prenent BG i B'G com a bases), per tant, les bases guarden la mateixa proporció, és a dir, BG=2GB'; és a dir, G divideix el segment BB' en proporció 2/3.

Propietat

El baricentre d'un triangle és el punt d'equilibri o centre de masses del triangle. És a dir, si tinguéssim un triangle sòlid i el pengéssim d'un fil pel baricentre llavors el triangle es mantindria en equilibri horitzontal.