Circumcentre

Definició

La mediatriu és la recta perpendicular a un segment en el seu punt mitjà. Si el segment està determinat pels punts A i B, podem dir també que la mediatriu és el lloc geomètric dels punts que equidisten de A i de B.

Proposició

Les 3 mediatrius d'un triangle es tallen en un punt anomenat circumcentre, que és el centre de la circumferència circumscrita al triangle.

Demostració

• Sigui ABC un triangle. La mediatriu de AB és ortogonal a AB. Igualment, la mediatriu de BC és ortogonal a BC.
• Com que AB i BC no són paral·leles (ABC és un triangle) llavors els seus ortogonals tampoc ho són.
• Sigui O el punt de tall d'aquestes dues mediatrius.
• Com que O està a la mediatriu de AB tenim d(O,A)=d(O,B)
• Com que O està a la mediatriu de BC tenim d(O,B)=d(O,C)
• Tenim doncs que d(O,A)=d(O,C) i per definició de mediatriu, això vol dir que O pertany a la mediatriu de AC. Així, les 3 mediatrius comparteixen un punt, o sigui que es tallen en un punt.
• Com que d(O,A)=d(O,B)=d(O,C) la circumferència amb centre O passa per A,B i C i és la circumferència circumscrita al triangle.