Criteris de comparació de triangles

Per comparar triangles, és a dir, per veure si són congruents, ens fixarem en els seus costats i angles. És clar que dos triangles amb els 3 costats i els 3 angles iguals seran congruents, però no sempre serà necessari mirar tot això sinó que amb menys en farem prou. La pregunta és doncs, què ens cal mirar per saber si dos triangles són congruents?

Notarem per (C) els costats del triangle i (A) els seus angles. Mirant els axiomes de la geometria euclidiana tenim el criteri CAC (2 costats i l'angle que queda al mig). Però, n'hi ha d'altres? Els següents criteris són suficients per assegurar que 2 triangles són congruents:

• CCC (3 costats iguals determinen un triangle, per tant són iguals)
• CAA (1 costat i 2 angles: com que la suma dels angles és 180, el tercer angle està determinat, així els dos triangles ja són semblants; i el fet que hagin de tenir un costat igual implica que els dos triangles són iguals)
• ACA

Proposició (criteri ACA)

Donats dos triangles ABC i A'B'C', si l'angle A és igual a A', el costat AB és congruent amb A'B' i l'angle B és igual a l'angle B' (és a dir ACA, 2 angles i el costat que queda al mig), llavors l'angle C és igual a l'angle C', el costat BC és congruent amb B'C' i el costat AC és congruent amb el costat A'C' (és a dir, els dos triangles són iguals).

Demostració:

• Sigui C'' sobre el raig BC tal que BC'' congruent amb B'C'
• Pel criteri CAC, els triangles ABC'' i A'B'C' són congruents. Per tant l'angle C''AB és igual a l'angle C'A'B' que per hipòtesi és igual a l'angle A, o sigui l'angle CAB.
• Tenim doncs que C'' està també al raig AC. Així, C'' està al raig BC i al raig AC, per tant C'' pertany a AC i a BC. És a dir, C=C''.
• Tot plegat ens diu que els dos triangles són iguals.