MAC855 - Geometria Riemanniana (2024-2)
(Dias da semana, horário e sala a determinar)
Professor: Daniel Gomes Fadel (Sala C-110-D)
Pré-Requisitos
Álgebra (multi-)linear; Análise no Rn; Teorema Fundamental das EDOs; noções de Topologia Geral e Geometria Diferencial de curvas e superfícies.
Ementa
[Prelúdio: Variedades Diferenciáveis.] Métricas Riemannianas. Conexões; conexão de Levi-Civita. Geodésicas; Vizinhancas Convexas. Curvaturas; de Riemann, Seccional, de Ricci e Escalar.
Campos de Jacobi; pontos conjugados. Imersões Isométricas; equações de Gauss, Ricci e Codazzi. Variedades Riemannianas Completas; Teoremas de Hopf-Rinow e de Hadamard.
Espaços de Curvatura Constante. Variações da Energia; Teoremas de Bonnet-Myers e de Synge-Weinstein. Teorema de Comparação de Rauch. Teorema do Índice de Morse.
Referências
CARMO, M. – Geometria Riemanniana, Rio de Janeiro, IMPA, Projeto Euclides, 1979.
CHAVEL, I. – Riemannian Geometry: a modern introduction, Cambridge Tracts in Mathematics, 108, Cambridge University Press, 1993.
CHEEGER, J., EBIN, D. – Comparison Theorems in Riemannian Geometry, Amsterdam, North-Holland, 1975.
JOST, J. – Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Berlin Heildelberg, New York, Springer Verlag, 1995.
LEE, J. M. – Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature, Springer-Verlag, 1997.
PETERSEN, P. – Riemannian Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 2006.
SAKAI, T. – Riemannian geometry. American Mathematical Society, 1996.
A referência principal deste curso será o livro-texto 1, porém também vamos utilizar partes das outras referências acima para complementar o material de 1.
Avaliação
Será baseada em:
a) Duas provas:
Prova 1: Dia a combinar
Prova 2: Dia a combinar
b) Listas de Exercícios:
Lista 1 (Métricas Riemannianas): Entrega a combinar.
Lista 2 (Conexões, Transporte Paralelo, Geodésicas, Mapa Exponencial, Vizinhanças Normais): Entrega a combinar.
Lista 3 (Curvaturas e Teoria local de imersões isométricas): Entrega a combinar.
Lista 4 (Campos de Jacobi e Completude): Entrega a combinar.
Lista 5 (Variações da energia/comprimento de arco, Teoremas de Bonnet-Myers, Synge e Weinstein): Exercícios do Cap. IX do livro do Manfredo. (Não precisa entregar.)
Atendimento para ver as correções das listas e provas: na minha sala C-110-D.
Avisos
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