Cálculo Avançado - Verão ICMC 2026
(Segundas, Terças, Quintas e Sextas, 14:00-16:30, sala 4-005 - MUDAMOS para a sala 5-001)
Encerrado - Notas finais disponíveis
Professor: Daniel Gomes Fadel (Sala 3-235)
(Segundas, Terças, Quintas e Sextas, 14:00-16:30, sala 4-005 - MUDAMOS para a sala 5-001)
Encerrado - Notas finais disponíveis
Professor: Daniel Gomes Fadel (Sala 3-235)
Cálculos 1 e 2 e álgebra linear. Também é desejável, mas não estritamente necessário, ter cursado análise 1.
Introduzir a topologia e o cálculo diferencial no espaço euclidiano Rn.
Parte I: Introdução + Topologia de Rn
-Álgebra linear de Rn.
-Produto interno, norma.
-Espaços métricos, bolas, conjuntos limitados, conjuntos convexos, sequências.
-Teorema de Bolzano-Weierstrass, Completude de Rn como espaço métrico, equivalência de normas.
-Noções de topologia geral; topologia, abertos, fechados, fecho, interior, fronteira, pontos de acumulação, pontos isolados.
-Aplicações (uniformemente) contínuas, aplicações (localmente) lipschitzianas, homeomorfismos, isometrias.
-Conexidade (por caminhos), Teorema do Valor Intermediário, Compacidade, Teorema de Heine-Borel e Teorema de Weierstrass.
Parte II: Estudo de aplicações diferenciáveis
- Diferenciabilidade de aplicações entre espaços Euclidianos.
- Derivada como transformação linear; o gradiente de função reais.
- Regra da cadeia; Teorema de Schwarz; Teorema do Valor Médio para caminhos e Desigualdade do Valor Médio.
- Aplicações de classe C^k: Fórmula de Taylor infinitesimal e com resto de Lagrange.
- Hessiana, pontos críticos não-degenerados, máximos e mínimos locais
- Teoremas da função inversa e da função implícita.
- Teorema do posto e as formas locais de imersão e submersão.
Fundamental:
E. L. Lima, Análise no Espaço Rn, Coleção Matemática Universitária, Rio de Janeiro, IMPA, 2004.
E. L. Lima, Curso de Análise, Vol. 2, Rio de Janeiro, IMPA, Projeto Euclides, 1989.
M. Spivak, Cálculo em Variedades, Editora Ciência Moderna, 2003.
Complementares:
LEE, J. M. Introduction to smooth manifolds. New York: Springer, 2006. 628 p. (Graduate texts in mathematics, v. 218).
MUNKRES, J. R. Analysis on manifolds. Boca Raton: CRC Press, 2018.
Será baseada em:
a) Prova Dissertativa (P1): 26/01/2026; Conteúdo da Parte I da Ementa acima (~Cap. 1 da edição do livro-texto enviado por email)
b) Prova Dissertativa (P2): 12/02/2026. Conteúdo da Parte II da Ementa acima (~Caps. 3 e 5 do livro-texto)
c) 4 Listas de exercícios: Listas 1 e 2 para entregar na data da P1, e Listas 3 e 4 para entregar na data da P2.
ATENÇÃO: VISTA DE PROVA DA P1 será dia 03/02 na minha sala das 13:00 às 14:00 e depois da aula.
ATENÇÃO: VISTA DE PROVA DA P2 será dia 13/02 na sala de aula (14:00 às 16:30); faremos o gabarito e entrega das provas.
Planilha de Notas do Curso aqui. (NOTAS FINAIS DISPONÍVEIS)
Se Pj denota a nota da prova j (j=1,2), onde 0 ≤ Pj ≤ 10, e Li denota a nota da lista i (i=1,2,3,4), onde 0 ≤ Li ≤ 10, então a nota final NF será calculada da seguinte forma:
NF = (N1 + N2)/2, onde N1 := 0,8.(P1) + 0,1.(L1+L2) e N2 := 0,8.(P2) + 0,1.(L3+L4).
Monitoria: Quartas das 14:00 às 15:30 na sala 3-011, com o monitor Mateus Fabrício da Silva.
Atendimento: Quintas das 13:00 às 14:00 na minha sala 3-235.
Não haverá aula no dia 05/01 (por motivos médicos).
A monitoria do dia 11/02 será trocada pela terça-feira 10/02 das 16:30 às 18:00, na nossa nova sala de aula 5-001.
Mudamos de sala para a sala 5-001 (por toda esta última semana, de 09/02 até 13/02)
Janeiro (01/2026)
Semana 1: dias 05 (cancelada), 06, 08, 09
Semana 2: dia 12, 13, 15, 16
Semana 3: dias 19, 20, 22, 23
Semana 4: dias 26 [P1 + Entrega L1 e L2], 27, 29, 30.
Fevereiro (02/2026)
Semana 5: dias 02, 03, 05, 06.
Semana 6: dias 09, 10, 12 [P2 + Entrega L3 e L4], 13. (Fim)