Cálculo Avançado - Verão ICMC 2026
(Segundas, Terças, Quintas e Sextas, 14:00-16:30, sala 4-005)
Professor: Daniel Gomes Fadel (Sala 3-235)
(Segundas, Terças, Quintas e Sextas, 14:00-16:30, sala 4-005)
Professor: Daniel Gomes Fadel (Sala 3-235)
Cálculos 1 e 2 e álgebra linear. Também é desejável, mas não estritamente necessário, ter cursado análise 1.
Introduzir a topologia e o cálculo diferencial (e integral) no espaço euclidiano Rn.
Parte I: Introdução + Topologia de Rn
-Álgebra linear de Rn.
-Produto interno, norma.
-Espaços métricos, bolas, conjuntos limitados, conjuntos convexos, sequências.
-Teorema de Bolzano-Weierstrass, Completude de Rn como espaço métrico, equivalência de normas.
-Noções de topologia geral; topologia, abertos, fechados, fecho, interior, fronteira, pontos de acumulação, pontos isolados.
-Aplicações (uniformemente) contínuas, aplicações (localmente) lipschitzianas, homeomorfismos, isometrias.
-Conexidade (por caminhos), Teorema do Valor Intermediário, Compacidade, Teorema de Heine-Borel e Teorema de Weierstrass.
Parte II: Estudo de aplicações diferenciáveis
- Diferenciabilidade de aplicações entre espaços Euclidianos.
- Derivada como transformação linear; o gradiente de função reais.
- Regra da cadeia; regra de Leibniz; Teorema de Schwarz; Teorema do Valor Médio
- Aplicações de classe C^k: Fórmula de Taylor
- Hessiana, pontos críticos não-degenerados, máximos e mínimos locais
- Teoremas da função inversa e da função implícita.
- Teorema do posto e as formas locais de imersão e submersão.
Parte III: Integração em Rn (se der tempo)
- Integrais múltiplas.
- Teorema de Fubini.
- Mudança de variáveis em integrais múltiplas.
Fundamental:
E. L. Lima, Análise no Espaço Rn, Coleção Matemática Universitária, Rio de Janeiro, IMPA, 2004.
E. L. Lima, Curso de Análise, Vol. 2, Rio de Janeiro, IMPA, Projeto Euclides, 1989.
M. Spivak, Cálculo em Variedades, Editora Ciência Moderna, 2003.
Complementares:
LEE, J. M. Introduction to smooth manifolds. New York: Springer, 2006. 628 p. (Graduate texts in mathematics, v. 218).
MUNKRES, J. R. Analysis on manifolds. Boca Raton: CRC Press, 2018.
Será baseada em:
a) Prova Dissertativa (P1): 26/01/2026; Conteúdo da Parte I da Ementa acima (~Cap. 1 da edição do livro-texto enviado por email)
b) Prova Dissertativa (P2): 12/02/2026. Conteúdo da Parte II da Ementa acima (~Caps. 3 e 5 do livro-texto)
c) 4 Listas de exercícios: Listas 1 e 2 para entregar na data da P1, e Listas 3 e 4 para entregar na data da P2.
Se Pj denota a nota da prova j (j=1,2), onde 0 ≤ Pj ≤ 10, e Li denota a nota da lista i (i=1,2,3,4), onde 0 ≤ Li ≤ 10, então a nota final NF será calculada da seguinte forma:
NF = (N1 + N2)/2, onde N1 := 0,8.(P1) + 0,1.(L1+L2) e N2 := 0,8.(P2) + 0,1.(L3+L4).
Monitoria: Quartas das 14:00 às 15:30 na sala 3-011, com o monitor Mateus Fabrício da Silva.
Atendimento: Quintas das 13:00 às 14:00 na minha sala 3-235.
Não haverá aula nos seguintes dias:
Dia 05/01 (por motivos médicos).
Janeiro (01/2026)
Semana 1: dias 05 (cancelada), 06, 08, 09
Semana 2: dia 12, 13, 15, 16
Semana 3: dias 19, 20, 22, 23
Semana 4: dias 26 [P1 + Entrega L1 e L2], 27, 29, 30.
Fevereiro (02/2026)
Semana 5: dias 02, 03, 05, 06.
Semana 6: dias 09, 10, 12 [P2 + Entrega L3 e L4], 13. (Fim)