SMA5942 - Geometria I (2025-2)
(Quartas e Sextas, 14:00-16:00, sala 5-101)
Professor: Daniel Gomes Fadel (Sala 3-235)
(Quartas e Sextas, 14:00-16:00, sala 5-101)
Professor: Daniel Gomes Fadel (Sala 3-235)
Álgebra linear e análise no Rn; Teorema Fundamental das EDOs; Noções de Topologia Geral; Estar familizarizado com variedades, mapas suaves entre variedades, partições da unidade, vetores tangentes e velocidade de curvas, diferencial de mapas, e campos de vetores e seus fluxos.
Introduzir tensores, formas diferenciais, integração de formas (Stokes) e cohomologia de de Rham, bem como os conceitos de fibrados vetoriais e principais, conexões em fibrados, e seus invariantes associados: curvatura e holonomia.
Parte 1
Álgebra multilinear; Álgebra tensorial; Campos de Tensores em variedades; Derivada de Lie de campos tensoriais.
Formas diferenciais e derivada de Lie de formas diferenciais. O operador de inserção. Derivada exterior. Fórmula mágica de Cartan. Orientação e Integração de formas; Teorema de Stokes. Lema de Poincaré. Cohomologia de de Rham.
Parte 2
Fibrados vetoriais: Definição, exemplos. Seções. Grupo estrutural, funções de transição e relações de cociclo. Operações com fibrados vetoriais: soma direta, produto tensorial, potência exterior e quociente. Homomorfismo de fibrados vetoriais. Subfibrados vetoriais. Pullback de fibrados vetoriais.
Fibrados principais: Definição, exemplos; Fibrado de Referenciais de um fibrados vetorial. Seções. Funções de transição e relações de cociclo. Fibrados vetoriais associados a um fibrado principal; Fibrado Adjunto. Homomorfismo de fibrados principais. Redução de grupo estrutural e subfibrados principais.
Conexões em fibrados: Conexões em fibrados principais e vetoriais; conexões induzidas em fibrados associados; derivada exterior covariante. Curvatura. Transporte paralelo. Grupos de holonomia. Teorema de redução e Teorema de Holonomia de Ambrose-Singer. Conexões no fibrado tangente e torção; princípio da holonomia: holonomia e tensores paralelos.
Fundamental:
JOYCE, D. D. Riemannian holonomy groups and calibrated geometry. Oxford University Press, 2007. 303p. (Oxford graduate texts in mathematics, v 12)
KOBAYASHI, S.; NOMIZU, K. Foundations of differential geometry. New York: Wiley,1996. V.1
NICOLAESCU, L. I. Lectures on the geometry of manifolds. 3rd ed. Singapore: World Scientific, 2020. 700 p.
Complementares:
LEE, J. M. Introduction to smooth manifolds. New York: Springer, 2006. 628 p. (Graduate texts in mathematics, v. 218).
SPIVAK, M. A comprehensive introduction to differential geometry. 3rd ed. Houston, Texas: Publish or Perish, 2005. v.1
A referência principal deste curso será o livro-texto 1, porém também vamos utilizar partes das outras referências acima para complementar o material de 1.
Será baseada em:
a) Prova Dissertativa (P1): 08/10/2025; [Conteúdo da Parte 1 da Ementa]
b) Prova/Apresentação Oral (P2): 03/12/2025. [Conteúdo da Parte 2 da Ementa]
Atendimento: Quartas 13:00 às 14:00 e Sextas das 11:00 às 12:00 na minha sala 3-235.
Não haverá aula nos seguintes dias:
Dia 15/08 (Sexta) - Feriado Municipal
Dias 03/09 (Quarta) e 05/09 (Sexta) - Semana da Pátria
Dia 21/11 (Sexta) - Recesso do feriado do dia 20/11
Dias 22/10 (Quarta) e 24/10 (Sexta) - Congresso
(Agosto)
Semana 1: dias 06/08 e 08/08
Semana 2: dia 13/08
Semana 3: dias 20/08 e 22/08
Semana 4: dias 27/08 e 29/08
(Setembro)
Semana 5: dias 10/09 e 12/09
Semana 6: dias 17/09 e 19/09
Semana 7: dias 24/09 e 26/09
(Outubro)
Semana 8: dias 01/10 e 03/10
Semana 9: dias 08/10 [P1] e 10/10
Semana 10: dias 15/10 e 17/10
Semana 11: dias 22/10 e 24/10 (Cancelada para Congresso)
Semana 12: dias 29/10 e 31/10
(Novembro)
Semana 13: dias 05/11 e 07/11
Semana 14: dias 12/11 e 14/11
Semana 15: dia 19/11
Semana 16: dias 26/11 e 28/11
(Dezembro)
Semana 17: dias 03/12 [P2] e 05/12. (Fim)