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Curvatura zero, curvatura negativa, curvatura positiva
Descrição
Descrição
A geometria diferencial é o estudo de geometria usando a maquinaria do cálculo diferencial de Newton (1642-1727) e Leibniz (1646-1716). O estudo moderno da geometria diferencial começa somente no século XIX com os trabalhos de Gauss (1777-1855) na geometria de superfícies e Riemann (1826-1866) no conceito de curvatura. Vejam abaixo imagens de Gauss e Riemann.
No último século, a geometria diferencial tem se mostrado uma área de pesquisa intensa, com inúmeras conexões com outras áreas da Matemática, incluindo: topologia, geometria algébrica, geometria complexa, sistemas dinâmicos, teoria de representações, entre outros. Mas também a geometria diferencial é fundamental na compreensão da Física, por exemplo: a Teoria de Relatividade Geral de Einstein, as Teorias de Calibre, a Teoria de Cordas, entre outras.
Nesta disciplina estudaremos conceitos básicos de geometria diferencial com foco no estudo de curvas e superfícies. Os objetos básicos de estudo da geometria diferencial são as chamadas variedades diferenciáveis e, neste curso teremos um primeiro contato com variedades estudando superfícies no espaço euclidiano, i.e. variedades de dimensão 2 contidas em R3. Os conceitos que estudaremos incluem a primeira forma fundamental, a qual permite introduzir as noções de distância, ângulo e volume em superfícies. Em seguida estudaremos o conceito de curvatura de uma superfície, o qual é um invariante geométrico local segundo o Teorema Egregium de Gauss. Outros conceitos importantes que iremos estudar neste curso são a derivada covariante e a noção de geodésica. Na parte final do curso provaremos o Teorema de Gauss-Bonnet que relaciona a topologia de uma superfície com a sua curvatura.
Se o tempo permitir, poderemos estudar outros tópicos, por exemplo uma introdução à Geometria Riemanniana. Outros assuntos interessantes podem ser abordados nos projetos finais.
Carl Friedrich Gauss
Carl Friedrich Gauss
1777-1855
Bernhard Riemann
Bernhard Riemann
1826-1866
Aulas
Aulas
Quando: Terça-feira 16:00-17:30 e Quinta-feira 14:00-15:30
Onde: Google meet
Monitoria
Monitoria
O monitor do curso é o estudante de doutorado Sebastián Herrera. teremos duas monitorias por semana, ambas na segunda-feira nos horários: 11:00-12:00 e 16:00-17:00.
Monitoria via google meet: http://meet.google.com/yau-cucr-rms
e-mail: sebastianherrera@ime.usp.br
Atendimento a estudantes
Atendimento a estudantes
Toda sexta-feira às 11:00 teremos um plantão de dúvidas, sejam estas sobre as listas, as aulas ou qualquer outro assunto relacionado com o curso. O atendimento será realizado no mesmo link das aulas.
Também disponibilizarei um horário de atendimento para conversar sobre os projetos finais.
Material de estudo
Material de estudo
Vou disponibilizar notas de aula, as quais serão complementadas com vídeos curtos apresentando conceitos que irei usar nas aulas online.
Notas de aula: Vejam as notas de aula aqui.
Vídeos auxiliares: Estes vídeos servem como material complementar para as aulas. É fundamental assistir estes vídeos para se preparar para as aulas seguintes.
Avaliação
Avaliação
A avaliação consiste em listas de exercício a cada duas semanas. Cada lista terá aproximadamente 6 exercícios, dos quais 2 serão escolhidos para serem avaliados. Além das listas de exercício, a disciplina será avaliada com um projeto final sobre um tema relacionado com a disciplina. Este projeto deve ser entregue escrito, em formato de artigo, o qual pode ser realizado em colaboração com mais 2 colegas no máximo. Também, cada estudante de forma individual deverá fazer um referee report de um dos projetos entregues pelos outros colegas. Mais detalhes sobre o projeto final podem ser encontrados aqui.
A nota final será calculada assim: NF= 0.4xNL + 0.6xNP onde NL denota a nota das listas e NP denota a nota do projeto.
Listas de exercício
Listas de exercício
É muito importante trabalhar nos exercícios propostos nas listas, pois desta forma aprofundamos a compreensão dos aspectos teóricos e ganhamos mais intuição. Qualquer dúvida a respeito das listas, entrem em contato com o monitor ou comigo. Também podemos conversar no horário de atendimento. As listas devem ser enviadas por email para mim e para o monitor. Por favor, envie sua lista N por email com o assunto “Seu nome Lista N”.
Lista1 (Entregar na Quinta 01 de outubro)
Lista2 (Entregar na Terça 20 de outubro)
Lista3 (Entregar na Quinta 12 de novembro)
Lista4 (Entregar na Sexta 11 de dezembro)
Bibliografia
Bibliografia
Além das referências sugeridas no sistema da USP, recomendamos as seguintes:
M. do Carmo, "Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies". Textos Universitários SBM.
W. Klingenberg, "A Course in Differential Geometry ". Graduate Texts in Mathematics, Springer Verlag.
W. Kühnel, "Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds". Student Mathematical Library AMS.
K. Tapp, "Differential Geometry of Curves and Surfaces". Undergraduate Texts in Mathematics, Springer Verlag.
L. W. Tu, "Differential Geometry: Connections, Curvature and Characteristic Classes". Graduate Texts in Mathematics, Springer Verlag.
M. Spivak, "A Comprehensive Introduction to Differential Geometry - Vol 2". Publish or Perish.
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