Determinantes

determinante.py (para copiar, colar e alterar) https://www.learnpython.org/en/Conditions

#Isso é um comentário.

"""Isso também

é um

comentário."""

import numpy as np# Importando biblioteca.

"""Definindo uma matriz 2x2:"""

a=np.array([[2, 2], [1, 5]])

print(a)

determinante1=np.linalg.det(a)

print(determinante1)

"""Definindo uma matriz 4x4:"""

b=np.array([[2, 2, 3, 1], [1, 5, 3, 2], [7, 5, 3, 1], [8, 6, 4, 2]])

print(b)

determinante2=np.linalg.det(b)

print(determinante2)

Resultado:

determinante1=7.999999999999998

determinante2=-33.99999999999998

Sistemas Lineares

sistema.py https://www.learnpython.org/en/Conditions

import numpy as np

"""Consideremos o seguinte sistema:

2w - y+z=-1

-w+ x+2y-z=1

4w+2x -y =1

-w- x +z=0"""

"""Matriz dos coeficientes:"""

A=np.array([[2, 0, -1, 1], [-1, 1, 2, -1], [4, 2, -1, 0], [-1, -1, 0, 1]])

print(A)

"""Termo não homogêneo:"""

B=np.array([-1, 1, 1, 0])

print(B)

"""A solução do sistema é calculada com o comando:"""

solucao=np.linalg.solve(A, B)

print('[w x y z]=', solucao)

Resultado:

[w x y z]=[-2.5 4.5 -2. 2. ]

Inversão de Matrizes

inversaDeMatriz.py https://www.learnpython.org/en/Conditions

import numpy as np

#Consideremos a matriz abaixo:

A=np.array([[-1, 3, -2],

[3, 2, -1],

[1, 3, -2]])

print('A=', A)

#Calculando a inversa de A:

inversa=np.linalg.inv(A)

print('inversa=')

print(inversa)

produto1=np.matmul(A, inversa)

print('A x inversa=')

print(produto1)

produto2=A @ inversa

print('A x inversa=')

print(produto2)

Resultado:

A= [[-1 3 -2]

[ 3 2 -1]

[ 1 3 -2]]

inversa=

[[-5.00000000e-01 -5.92118946e-16 5.00000000e-01]

[ 2.50000000e+00 2.00000000e+00 -3.50000000e+00]

[ 3.50000000e+00 3.00000000e+00 -5.50000000e+00]]

A x inversa=

[[ 1.00000000e+00 1.77635684e-15 -1.77635684e-15]

[ 4.44089210e-16 1.00000000e+00 0.00000000e+00]

[ 8.88178420e-16 8.88178420e-16 1.00000000e+00]]

A x inversa=

[[ 1.00000000e+00 1.77635684e-15 -1.77635684e-15]

[ 4.44089210e-16 1.00000000e+00 0.00000000e+00]

[ 8.88178420e-16 8.88178420e-16 1.00000000e+00]]

Obs.:

1.77635684e-15 é aproximadamente zero (e-15=10⁻¹⁵. Erros de arredondamento no computador transformam zeros em números pequenos...). Assim A x inversa é identidade, como esperado.

Autovalores e autovetores

autovaloresAutovetores.py https://www.learnpython.org/en/Conditions

import numpy as np

from numpy.linalg import eig

a=np.array([[2, 1],

[1, 2]])

print(a)

autovalores01, autovetores01=eig(a)

print('autovalores:', autovalores01)

print('autovetores:')

print(autovetores01)

b=np.array([[1, 2, 1],

[2, 1, 1],

[1, 1, 2]])

print(b)

autovalores02, autovetores02=eig(b)

print('autovalores:', autovalores02)

print('autovetores:')

print(autovetores02)

Resultado:

[[2 1]

[1 2]]

autovalores: [3. 1.]

autovetores:

[[ 0.70710678 -0.70710678]

[ 0.70710678 0.70710678]]

[[1 2 1]

[2 1 1]

[1 1 2]]

autovalores: [ 4. -1. 1.]

autovetores:

[[-5.77350269e-01 -7.07106781e-01 -4.08248290e-01]

[-5.77350269e-01 7.07106781e-01 -4.08248290e-01]

[-5.77350269e-01 1.04469048e-16 8.16496581e-01]]