Seminario Mundo - Lógica- Modelos

(aplazada para agosto) David Camilo TÉLLEZ - Universidad Nacional de Colombia (Bogotá)

Geometrías de Zariski o de cómo partir de teoría de modelos y llegar a curvas elípticas

Quisiera en esta charla reconstruir la noción de geometría de Zariski, tal y como está presentada en [1] y, partiendo de ellas, reconstruir la prueba de Zilber y Hrushovski de que una geometría de Zariski 1-dimensional no degenerada puede identificarse con una curva algebraica sobre un campo cerrado. Haré énfasis especial en que este resultado permite realizar ciertas generalizaciones fructíferas de nociones puramente geométricas, sin la necesidad de trabajar con estructuras algebraicas subyacentes. Si el tiempo lo permite quisiera además explicar como la prueba de Zilber-Hrushovski ilumina varias construcciones clásicas de la teoría algebraica de números.

Grabación:

28 de mayo. Nicolás CUERVO - Universidad de los Andes (Bogotá)

The SB-Property on Randomizations

We say that a complete theory T has the Schröder-Bernstein property, or simply, the SB-property, if for any two models M, N of T that are elementarily bi-embeddable, i.e, there exists elementary embeddings φ: M → N and ψ: N → M, we have that M and N are isomorphic.

One motivation for studying the SB-property is that if T has this property, then T would be a theory for which we have a “good understanding” of its models, in terms that they are classified by some reasonable collection of invariants. For example, by Morley’s theorem if T is countable and uncountably categorical then the models of T are classified by a single invariant cardinal number that is preserved by elementary embeddings, so T would have SB-property;

however SB-property is a weaker condition than uncountable categoricity, for example the theory of an infinite set with a predicate which is infinite and co-infinite has the SB-property and it is not uncountably categorical.

The purpose of this talk is to study the Schröder-Bernstein property in the continuous context for Randomizations. Informally, a randomization of a first order (discrete) model M is a two sorted metric structure which consist of a sort of events and a sort of functions with values on the model, usually understood as random variables. More generally, given a complete first order theory T, there is a complete continuous theory known as randomized theory, T_R, which is the common theory of all randomizations of models of T. Randomizations were introduced first by Keisler and then axiomatized in the continuous setting by Ben Yaacov and Keisler in [4]. Since randomizations where introduced, many authors focused on examining which model theoretic properties of T are preserved on T_R, for example, it was shown that properties like ω-categoricity, stability and dependence are preserved. Similarly, the existence of prime models is preserved by randomization but notions like minimal models are not preserved. Following these ideas, we prove that a first order theory T with ≤ ω countable models has the SB-property for countable models if and only if T_R has the SB-property for separable randomizations. This is joint work with Alexander Berenstein and Camilo Argoty.

Grabación: https://drive.google.com/file/d/1GO1RLWoXHBf11K4W0hdG9hHBBPKxTKWC/view?usp=sharing

21 de mayo. Gustavo CIPAGAUTA - Universidad Nacional de Colombia

¿Teoría de la estabilidad para la lógica de la probabilidad?

Resumen: en esta lección investigamos las álgebras de Lindenbaum de la teoría de la aleatoriedad (espacios de probabilidad y procesos estocásticos) y los tipos de esta; además se explora la topología de sus espacios de tipos así como la posibilidad de derivar teoremas de omisión de tipos y de Ryll–Nardzewski en el contexto de la lógica de la probabilidad y sus extensiones. El contraste con los correspondientes teoremas para la lógica clásica de primer orden en sus versiones discreta y continua puede revelar interesantes diferencias entre los objetos algebraicos/conjuntistas, las estructuras métricas y los procesos estocásticos.

Grabación: https://drive.google.com/file/d/1JEJWC838tEwgQKxoHUbYmHc1Lv4LQHY9/view?usp=sharing

14 de mayo. Gustavo CIPAGAUTA - Universidad Nacional de Colombia

¿Cuándo dos procesos estocásticos son «parecidos»? Respuestas desde la teoría de modelos

Resumen: los fenómenos aleatorios son examinados desde el punto de vista matemático a través de estructuras como los espacios de probabilidad y los procesos estocásticos. Estas estructuras matemáticas son modelos (en el sentido modelo–teórico riguroso) de la lógica de la probabilidad, en la que la condición de que los conjuntos definibles sean medibles exige reemplazar los cuantificadores existencial y universal de la lógica clásica de primer orden por cuantificadores probabilísticos («al menos cierto porcentaje de las »). En esta primera conferencia presentamos y caracterizamos la lógica no clásica y sus modelos, y se discuten los avances y los retos en la tarea de orientar los conceptos y técnicas de la teoría de modelos hacia la cuestión de comparar procesos estocásticos.

Grabación: https://drive.google.com/file/d/1sfEeh3DfKeu4ZPY1L_EFJUiDM9betPx4/view

7 de mayo. H. Jerome Keisler, University of Wisconsin

Stochastic Processes, Continuous Model Theory, and Saturation

Abstract: This talk will present a way to use continuous model theory to study of random variables and stochastic processes.  

In the literature, nonstandard analysis has been successfully in that area, often leading to new existence results that require saturated probability spaces. This is an application of first order model theory.

Here we pave the way to apply continuous model theory instead. The key is to construct saturated  models in which important properties of stochastic processes can be naturally expressed by continuous formulas.

Recording: https://drive.google.com/file/d/16ugo2Hrklicf1Wjm31cgupE9o0OpRV6F/view?usp=sharing

30 de abril. José Miguel Contreras (Universidad Nacional de Colombia).

Retículos métricos desde una perspectiva modelo-teórica

La teoría para modelos para estructuras métricas es una rama de la teoría de modelos que surgió para resolver los problemas de la lógica usual para capturar nociones relacionadas a espacios métricos , C*-algebras, espacios de Banach, etc. 

En esta charla presentaremos los retículos métricos, una clase particular de retículo que dadas sus propiedades podemos aprovechar las herramientas que nos da esta teoría de modelos alternativa para estudiarlo. Comenzaremos con una rápida introducción a la teoría de modelos para estructuras métricas.  Luego presentaremos como motivación de la charla parte de la investigación de Berenstein y Henson en la teoría de los espacios probabilidad, los retículos de particiones y el retículo de particiones continuo de Björner. Finalmente se definirán los retículos de particiones y nociones relacionadas, abordaremos algunos resultados que nos permitirán entender mejor su teoría y cómo estudiarla aprovechando las ventajas que nos brinda la lógica continua de esta teoría de modelos. Esta presentación está basada en el trabajo realizado junto al profesor Thomas Sinclair durante nuestra investigación en el marco de la convocatoria UREP-C 2023-II.

Grabación: https://drive.google.com/file/d/1T_klm_aXXJ8PvV9GtPojajvQ54wP5wY1/view?usp=sharing

24 de abril. Åsa Hirvonen (University of Helsinki).

Ultraproduct approaches to finite dimensional approximations - eigenvectors and distributions

Abstract: There is a tradition in physics of approximating quantum mechanical systems by finite-dimensional spaces and using them for calculations. Together with Tapani Hyttinen we have studied ultraproduct approaches to motivating such approximations. The first approach builds eigenvectors in an ultraproduct model. There one can calculate the Feynman propagator (used to describe time evolution of the system), but not as directly as one would suspect, but using an averaging trick. The second approach looks at distributions instead of eigenvectors in an ultraproduct model. Again, finite-dimensional approximations can be used to calculate propagators (in a rather restricted setting), but the same need for averaging turns up.

In the talk I will present both ultraproduct constructions, and explain why the generalized eigenvectors these present cannot directly be used to calculate propagators in a physics course book style.

16 de abril. Edwin Celis (Universidad Nacional de Colombia).

El fenómeno de compresión: una visión al caso de lógicas en valor real con intervalos aleatorios

Resumen: Esta charla se puede considerar una continuación de la charla previa dada en el seminario. Se volverá sobre las ideas expuestas en torno al fenómeno de compresión en lógicas de primer orden. Se enfatizará la conveniencia de tener una versión del VC-teorema para que sea posible el tránsito de fenómenos similares hacia otras lógicas. Se expondrá el caso de la lógica difusa, el cual resulta equivalente para funciones acotadas (en lógicas continuas) con intervalo aleatorio. Se presentará una versión adecuada a $\epsilon$-aproximaciones, así como una versión del VC-teorema.  

Grabación: https://drive.google.com/file/d/100PpqZCgPB8kWUJcFGwOlOTDghTQws7c/view?usp=sharing

9 de abril. Edwin Celis (Universidad Nacional de Colombia).

APROXIMACIÓN A LA TEORÍA DEL APRENDIZAJE EN MATEMÁTICAS 

RESUMEN:En esta charla, presentaremos la propiedad UDTFS (Uniform Definability of Types over Finite Sets) y las fórmulas con la NIP (No Independence Property). Posteriormente, esbozamos un esquema de demostración para una proposición fundamental en la intersección de ambas conceptos: dada una fórmula $\varphi(x,y)$ en el lenguaje $L$ y $T$ una teoría de primer orden en el mismo lenguaje, una fórmula $\varphi(x,y)$ es NIP si y sólo si tiene la propiedad UDTFS  en el contexto de $T$. Seguiremos las ideas expuestas por Kaplan y Eshel. 

Grabación: https://drive.google.com/file/d/1hKiZK9QdqLCDxV6kNj90pj4Vu43xKWHX/view?usp=sharing

Martes 19 de marzo. Nicolás Nájar (Universidad Nacional de Colombia).

NIP AECs: un análisis exploratorio

Resumen: en esta charla retomaremos la ecuación NOP=NsOP+NIP en primer orden mostrándola esquemáticamente. Basándonos en esta ecuación y en trabajos de  Shelah y Villaveces, presentaremos nociones de NIP en el contexto de las clases elementales abstractas mostrando la necesidad de una sintaxis adecuada para las AECs.

Martes 12 de marzo, 16:15 hora de Colombia

Tuesday 12 March, 16:15 Colombia time (21:15 UTC)

Siiri Kivimäki - (Helsingin Yliopisto, Université de Paris)

Deriving an infinitary logic from a game

Abstract: Recently there have appeared infinitary logics induced by games, having useful model-theoretic properties. These kinds of logics, however, lack an explicit generative syntax - a property which, arguably, is the most useful of all. In a joint work with J. Väänänen and A. Villaveces we approach the question of finding a syntax for a logic induced by a game through a concrete example: we find a syntactically defined logic approximating the infinitary logic L^1_\kappa, a logic without known syntax, discovered by Shelah. The construction involves expanding the traditional infinitary logic L_{\kappa\kappa} by new kinds of variables, ranging over the powerset of a cardinal. I will discuss the question and present our main techniques.

Martes 5 de marzo. Nicolás Nájar (Universidad Nacional de Colombia).

NIP en teorías de primer orden y diagramas finitos: algunos resultados conocidos

Resumen: En esta charla presentaremos de manera esquemática el concepto de NIP en teorías de primer orden y en diagramas finitos basándonos en el texto de Pierre Simon y

algunos trabajos de Saharon Shelah, Itay Kaplan y Noa Lavi mediante la revisión algunas equivalencias de la noción de dependencia en estos contextos. Por último, revisitaremos algunos fragmentos de las pruebas de la conjetura del par genérico y de la ecuación NOP=NsOP+NIP.

Martes 27 de febrero. Juan Andrés Montoya (Universidad Nacional de Colombia)

Fast processes and abductive reasoning with two variables

Abstract: In this talk we focus on fast systems that are partially observable. We study the problem of diagnosing those systems from finite sets of runs that are only partially observable. We detect a fragment of first order logic whose formulas exhibit some kind of asymptotic stability that becomes necessary when we have to cope with fast systems.  This fragment is the two-variable fragment FO^2[<]. We prove that it is the largest fragment with this property. We study the problem of learning two-variable formulas from finite sets of runs.

Martes 20 de febrero. Juan Andrés Montoya (Universidad Nacional de Colombia)

Logic and Automata

Abstract: In this talk we present an overview on the monadic theory of linear order. We review some of the classical results like Buchi's theorem, Kamp's theorem, McNaugthon-Papert theorem and Gabbay-Pnueli-Shelah-Stavi Theorem. Then, we focus on some fragments of first order logic. We study the classes of languages that can be defined in those fragments as well as the algebraic and automata-theoretic representations of those classes of languages. 

Martes 13 de febrero. Andrés Villaveces (Universidad Nacional de Colombia)

Modelos aleatorizados de Keisler y lógica infinitaria

Resumen: organizando la sintaxis de la Lógica de Cartagena (una aproximación a una lógica debida a Shelah que tiene propiedades modelo-teóricas fuertes y una caracterización tipo Lindström), en trabajo reciente con Kivimäki y Väänänen encontramos que hay que hacer una «expansión» de la lógica infinitaria con «variables booleanas» que resultan muy similares a la lógica de Keisler con variables aleatorias (y a sus famosas «randomizations» de modelos). Un operador «colapso» convierte estas variables «aleatorias» en variables usuales, y aterriza la lógica en L_kappa,kappa. La imagen de esta proyección es la Lógica de Cartagena.

Describiré aspectos que conectan la Lógica de Keisler, los modelos «aleatorizados» (las famosas randomizations) y la Lógica de Cartagena. Mostraré cómo estas lógicas permiten simular juegos de Ehrenfeucht-Fraïssé de respuesta con lapso (delayed response), y cómo al hacer esto terminan simulando comportamiento probabilístico (sin ser objetos probabilísticos).

Todo esto corresponde a resultados recientes de trabajo conjunto con Kivimäki y Väänänen.

SEMINARIO MUNDO-LÓGICA-MODELOS 2023-II

• 22 de agosto. Gustavo CIPAGAUTA (Universidad Nacional de Colombia). Hacia una descripción modelo-teórica de la Estadística Inferencial.

• 29 de agosto. Andrés VILLAVECES (Universidad Nacional de Colombia). Una mirada al forcing en haces, con aplicaciones en cuántica. Resumen: El tema es distinto de lo que había planeado anteriormente hablar en el seminario (panorama reciente en clases elementales abstractas NIP). Dados los intereses de trabajo comunes (y principalmente la conferencia de Gustavo Cipagauta hace una semana, y algunos de los temas comunes a los trabajos de Nicolás Nájar y Edwin Celis), decidí hablar de un tema que no he discutido recientemente, pero que tuvo bastante trabajo a mediados de la década pasada y quedó en varios sentidos inconcluso: las aplicaciones de la semántica de haces (una variante del forcing modelo-teórico) a ciertas problemáticas de la cuántica (en particular, el propagador cuántico), trabajos que hicimos en parte con Maicol Ochoa.

En el trabajo actual de Gustavo Cipagauta, cierto enfoque compatible con estos temas se perfila. Igualmente, tiene que ver (menos directamente) con trabajos del seminario Argoty-Cipagauta-Celis sobre los trabajos de Fajardo y Keisler.

Inspirado en el enfoque particular debido a Caicedo en semántica de haces, y en la variante continua que llevamos a cabo con Ochoa hace unos años, enfocamos varias problemáticas de la cuántica, en particular el propagador cuántico. Parte de ese trabajo sigue inconcluso, y usaré el espacio del seminario de mañana para relanzar algunas ideas en curso.

• 5 de septiembre. Nicolás NÁJAR SALINAS (Universidad Nacional de Colombia). Sintaxis en AECs I: Revisitar lo conocido. Juliette Kennedy, en su libro Gödel, Tarski and the lure of natural language: Logical entanglement, formalism freeness and semantics,  muestra que las Clases Elementales Abstractas son un ejemplo del concepto de libertad de formalismo. En un trabajo -en curso- que se está llevando entre Nájar Salinas y Kenneddy se ahonda en esta idea y se ha descubierto que las diferentes maneras de axiomatizar estas clases -teoremas de presentación de Shelah y presentación relacional, la axiomatización dada por Shelah y Villaveces y la dada por Leung en su tesis doctoral- tienen el mismo esquema de prueba, cambiando algunos detalles en cada caso -agregando símbolos de función o de relación en los teoremas de presentación, utilizando principios combinatorio difíciles en el caso de Shelah y Villaveces o empleando cuantificadores de juegos en la prueba de Leung-.

En esta charla veremos por qué las AECs son un ejemplo del concepto de libertad de formalismo y analizaremos el esquema de las pruebas de las axiomatizaciones para poder dar una demostración alternativa del test de Tarski-Vaught para AECs dado por Shelah y Villaveces. Concluimos la presentación mostrando lo que para Nájar Salinas es la noción adecuada de tipo en el contexto del resultado de Shelah y Villaveces.

• 12 de septiembre. Edwin CELIS (Universidad Nacional de Colombia). Título: Rangos en teorías NIP. En esta primera entrega  se presentarán diversas medidas de complejidad de fórmulas en teoría de primer orden, con un enfoque especial en las teorías NIP (No Independence Property). Estas medidas desempeñan un papel fundamental en el análisis y la comprensión de la estructura de fórmulas y conjuntos en matemáticas y ciencias de la computación. Se trata de presentar las siguientes dimensiones de complejidad:

VC-Dimensión y VC-Densidad: Discutiremos la Dimensión de Vapnik-Chervonenkis (VC-dimensión) y su contraparte más refinada, la VC-densidad. Estas medidas son esenciales en el aprendizaje automático y la teoría de la generalización, ya que nos ayudan a comprender la capacidad de un conjunto de hipótesis para ajustarse a un conjunto de datos. Además, examinaremos cómo se aplican en el contexto de las teorías NIP.

UDTFS-Rank:  Esta medida tiene implicaciones significativas en la complejidad de las fórmulas y está íntimamente relacionada con el esquema de compresión de clases de conceptos. Veremos cómo se reescribe la conjetura de Warmuth.

2-Rank de Shelah: Una medida de complejidad utilizada que permite caracterizar las teorías  estables.

Teorías NIP y la Conjetura de Warmuth: Haremos hincapié en la importancia de las teorías NIP y cómo estas medidas de complejidad se relacionan con ellas. Además, presentaremos ejemplos y resultados que pretenden ilustrar la conjetura de Warmuth, que es un problema fundamental en el campo de la teoría de la computación.

• 26 de septiembre. Andrés LERMA (Universidad de Viena). Titulo: Fundamentos teóricos del aprendizaje de máquina. En los últimos años hemos visto como los métodos basados en aprendizaje han ganado momento. A pesar que lo que llega a las noticias es el éxito de los algoritmos computacionales, la fundamentación teórica de tales métodos es un área activa de investigación. En esta charla, discutiremos los conceptos básicos del área  del Machine Learning y formulamos el problema de aprender una función a partir de un número determinado de muestras. Definiremos los problemas de clasificación y de regresión mostrando algunas de sus aplicaciones. Para ello, emplearemos los conceptos de función de pérdida (loss function), riesgo y riesgo empírico (empirical risk), y la complejidad de Rademacher (Rademacher complexity). Finalmente, algunas cotas para el error empírico que se obtiene del problema de aprender cierto tipo de funciones serán presentadas.

• 3 de octubre. Miguel MORENO (Universidades de Viena y Helsinki). Titulo: Borel-reducibility counterparts of Shelah's classification theory. Una de las principales motivaciones de la teoría descriptiva generalizada de conjuntos es la posibilidad de que la reducibilidad de Borel en espacios de Baire generalizados pueda usarse para medir la complejidad de teorías contables de primer orden.  Decimos que T es más simple que T' si la relación de isomorfismo entre los modelos de T con el universo K es Borel (o continuamente) reducible a la relación de isomorfismo entre los modelos de T' con el universo K. La pregunta de cuándo existe tal reducción resultó ser más difícil de lo esperado.  Una de las cuestiones más importantes es determinar si estas reducciones existen para toda teoría T clasificable y T’ no clasificable.

Utilizando el principio del diamante de Jensen, Hyttinen-Kulikov-M muestra que (bajo ciertos supuestos de cardinalidad) para cualquier teoría clasificable T y teoría estable inestable T', la relación de isomorfismo de T es continuamente reducible a la relación de isomorfismo de T'.  Posteriormente, esto se extendió a las teorías inestables, introduciendo la noción de órdenes lineales coloreables y árboles coloreados ordenados.

En esta charla discutiremos cómo extender estos resultados a todas las teorías no clasificables, estudiando con más detalle los órdenes lineales coloreables, los árboles coloreados ordenados y los modelos de Ehrenfeucht-Mostowski..

• 17 de octubre. Edwin CELIS (Universidad Nacional de Colombia). Título: Sobre las funciones de rango en teoría de modelos y su caracterización. En esta exposición, empezaremos abordando fechas significativas que marcan la introducción de diversos conceptos relacionados con rangos y dimensiones en teoría de modelos. Posteriormente, explicaremos la conjetura de Warmuth para esquemas de compresión y veremos la traducción al lenguaje de la teoría modelos para teorías NIP: la conjetura NIP-UDTFS. Continuando, examinaremos distintos rangos característicos, como el Rango de Shelah, el dp-rango a nivel local y global, así como la VC_{ind}-dimensión y el VC-máximo-rango. Finalmente, presentaremos las condiciones óptimas que se desean para una función rango.

• 24 de octubre. Nicolás NÁJAR SALINAS (Universidad Nacional de Colombia). Título: Sintaxis en AECs II: ¿Hacia nuevos enfoques en AECs?. Resumen: En esta charla retomaremos las ideas expuestas en la primera charla mostrando de manera explícita la noción de tipo sintáctico en el contexto de las AECs y su relación con los tipos de Galois. Además, mostraremos algunas posibles aplicaciones de esta relación y la sentencia con la que Shelah y Villaveces axiomatizan una AEC para aproximar una topología para tipos en este contexto, definir propiedades de orden o definir juegos.

• 31 de octubre. Davide QUADRELLARO (Universidad de Helsinki). Título: Compactness and AECs in Team Semantics. Abstract: In this talk I will briefly describe a  version of Łoś' Theorem's and  compactness for team semantics, which strengthens previous works from the literature. Building on this result I will present some ongoing work to develop a model-theoretic framework for team semantics. In particular, I will describe how to obtain a version of abstract elementary classes in team semantics and I will consider some of the properties of the resulting category of models and morphisms. Esta charla se hará de manera virtual. 

• 7 de noviembre. Diana MONTOYA (Universidad Técnica de Viena). Título: Cardinales característicos en el caso singular. Resumen: En esta charla presentaré resultados en el área de estudio de las generalizaciones de los cardinales característicos a los espacios de Baire generalizados $\lambda^\lambda$ donde $\lambda$ es un cardinal singular de cofinalidad $\kappa$. Primero, presentare la motivación a las preguntas mas importantes en el momento, además de presentar un paralelo con el caso regular. Me enfocare en el estudio de algunas familias especificas de conjuntos of cardinalidad $\lambda$, específicamente familias maximales independientes, familias maximales casi disyuntas, torres y familias sin la propiedad de intersección generalizada. Esta charla se realizará de manera virtual.

• 14 de noviembre. Gustavo CIPAGAUTA (Universidad Nacional de Colombia). Título: Teoría de Modelos de Procesos Estocásticos, I. Por anunciar.

• 29 de noviembre. Jouko VÄÄNÄNEN. Título: Por anunciar. 

• 5 de diciembre. Andrés VILLAVECES. Título: Por anunciar.