Seminario Mundo - Lógica - Modelos

Ejemplos de dependencia fuera de primer orden

Resumen: En Sh:1055, Kaplan, Lavi y Shelah estudian el concepto de dependencia en el contexto de los diagramas finitos —un paso intermedio entre las clases de modelos de teorías de primer orden y las clases elementales abstractas—, y demuestran en este contexto la conjetura del par genérico. Basados en la noción Shattering, Shelah y Villaveces proponen una definición alternativa de dependencia para diagramas finitos. En esta charla analizaremos algunos ejemplos de diagramas finitos dependientes e independientes con ayuda de dicha noción.

Teoría de modelos y aprendizaje

Resumen: Esta charla puede entenderse como una continuación de la exposición anterior presentada en el seminario. En aquella ocasión se consideró el caso de los árboles de Littlestone bien etiquetados y se estableció la equivalencia entre la existencia de un buen etiquetamiento y la existencia de una estrategia ganadora para el jugador uno en el juego 𝓖ₙ(T, 𝓒). Asimismo, se discutió que, cuando T (el árbol) tiene profundidad finita y 𝓒 es finito, el juego es finito y, por consiguiente, uno de los jugadores debe poseer una estrategia ganadora. Sin embargo, para árboles infinitos aparecen consideraciones relacionadas con la determinación de juegos infinitarios.

En la presente charla se busca extender el caso de los árboles binarios a árboles más generales que surgen a partir del grado Dᵐ(p, Δ, λ), el cual generaliza el rango de Morley, dentro del cual el problema del árbol binario se presenta de manera natural. Propondremos una extensión de la noción de buen etiquetamiento para este contexto más general y, a partir de ella, definiremos un juego semántico que permita analizar la complejidad del Dᵐ(p, Δ, λ).

Independencia e indiscernibles en Clases Elementales Abstractas.

Resumen: La relación entre indiscernibles y teorías dependientes ha sido una herramienta importante en el estudio de las líneas divisorias de la teoría de modelos de primer orden. En esta charla explicaré cómo podemos extender esta relación al contexto de las Clases Elementales Abstractas, utilizando generalizaciones del teorema de omisión de tipos de Morley que permiten extraer indiscernibles en este contexto. Este trabajo es una colaboración con Shelah y Villaveces.

Tipos y definibilidad en la lógica adaptada de la probabilidad.

Resumen: Esta charla conecta con la lección de introducción a la lógica adaptada de la probabilidad presentando la arquitectura sintáctica de esta lógica y yendo hacia conceptos  modelo-teóricos centrales: tipos y definibilidad, lo cual nos permitirá hacer puente con la  semántica, a saber, la teoría de los procesos estocásticos y el análisis estocástico. 

Presentamos ejemplos concretos de fórmulas en este lenguaje que ilustran el poder expresivo de la lógica adaptada de la probabilidad. También presentaremos algunos resultados modelo-teóricos con implicaciones relevantes para la teoría de los procesos estocásticos, algunos ejemplificados en contextos físicos (mecánica estadística,  mecánica cuántica de sistemas abiertos y mecánica estocástica).

Structural approximation: local versus global.

Resumen: 

Introducción a la lógica adaptada de la probabilidad.

Resumen: Los procesos estocásticos son objetos matemáticos que se encuentran en teoría de probabilidad, teoría de sistemas dinámicos, análisis estocástico y aplicaciones de estas en campos fuera de las matemáticas (estadística, economía, inteligencia artificial, física estadística, física cuántica). Son pues de gran interés las propiedades estructurales de los procesos estocásticos, esto es, aquellas propiedades específicas y distintivas que sirven para definir una clase de procesos estocásticos y distinguirla de clases «próximas». En esta charla se presenta una arquitectura que permite trazar planos o maquetas que detectan estas propiedades estructurales. En esencia, lo que se hace es refinar la noción ortodoxa de equivalencia entre procesos estocásticos (tomada de la equivalencia entre variables aleatorias) bajo aplicación de las dos operaciones naturales: composición mediante funciones continuas y acotadas, y toma de valor esperado condicional con respecto a una filtración. Por iteración contable de esta refinación se obtiene la arquitectura deseada, la cual, como se mostrará, es modelo teórica, solo que no descansa sobre la lógica de primer orden (que le sirve a las estructuras algebraicas y conjuntistas).

Esta sesión del seminario de estudiantes del grupo de teoría de modelos es la primera de dos previstas para el presente periodo académico que aspira a preceder un semillero de investigación en este campo de las matemáticas y sus interacciones con otros campos. Como tal, la exposición será ab initio y profusa en ejemplos.

Un acercamiento desde la teoría de juegos finitos de Väänänen a árboles de Littlestones.

Resumen: En esta charla presentaremos el problema de verdad, consistencia y separación de Ehrenfeucht–Fraïssé en el contexto de un caso particular: los árboles de Littlestone. Estos árboles, originalmente introducidos en teoría del aprendizaje, ofrecen una aproximación combinatoria adecuada para explorar propiedades de estabilidad en teorías de primer orden. Aunque la conexión con estabilidad se mencionará solo como una curiosidad, nuestro propósito es motivar a la audiencia a considerar cómo estas herramientas, provenientes de la interacción entre lógica matemática y aprendizaje estadístico, abren nuevas perspectivas de investigación.

La bibliografía reciente muestra un renovado interés en el estudio de los árboles de Littlestone y su dimensión, con aplicaciones que van desde algoritmos de predicción y compresión (Filmus, Hanneke, Mehalel & Moran, 2023; Chase, Freitag & Reyzin, 2024) hasta caracterizaciones de estabilidad mediante métodos algorítmicos (Malliaris & Moran, 2022) y nociones finitas de saturación en grafos estables (Malliaris, Medrano Martín del Campo & Moran, 2025). Asimismo, resultados recientes sobre aprendibilidad privada y aprendizaje online (Fioravanti, Hanneke, Moran et al., 2024) muestran la fertilidad de estas ideas en contextos más amplios.

Grupos abelianos libres, teoría de modelos y matemáticas condensadas.

Resumen: examinar el comportamiento de grupos abelianos libres (y sus variantes $\kappa$-libres y de Whitehead) fue un tema muy importante en varios trabajos clásicos de Shelah. Más recientemente, han tenido impacto en análisis de fenómenos de no-localidad modelo-teórica (Baldwin y Shelah) y en matemáticas condensadas (Clausen y Scholze, y luego Bergfalk, Lambie-Hanson y Saroch). Daré definiciones básicas, una construcción de una AEC no local que usa las propiedades de esos grupos, y al final una conexión con trabajos recientes en matemáticas condensadas.