Seminario de Estudiantes / Teoría de Modelos

24 de agosto. Nicolás NÁJAR. Aproximaciones a la definibilidad en AECs I. El desarrollo de la definibilidad en Clases Elementales Abstractas ha tenido un impulso con el trabajo de Shelah y Villaveces (Sh:1184). Mediante una "morlización", Vasey demuestra que los conceptos de docilidad y tipo cortitud son equivalentes a la existencia de una correspondencia biunívoca entre los tipos de Galois y los tipos libres de cuantificadores de una lógica infinitaria que depende de la "morlización" hecha. En esta primera charla del seminario, presentaremos los detalles técnicos de algunos de los resultados de Vasey utilizando los resultados principales de Sh:1184 para no tener que recurrir a la "morlización" para su demostración.

31 de agosto. Nicolás NÁJAR. Aproximaciones a la definibilidad en AECs II. Se continuará con la charla del 24 de agosto.

7 de septiembre. Andrés VILLAVECES. Axiomatizabilidad de clases elementales abstractas: el árbol canónico, sentencias óptimas. En trabajo conjunto con S. Shelah (2021) construimos árboles canónicos asociados a clases elementales abstractas arbitrarias. De estos árboles extraemos sentencias que logran axiomatizar estas clases sin cambiar el vocabulario (mejorando sustancialmente los intentos anteriores, particularmente el Teorema de Presentación de Shelah). En trabajo más reciente mejoramos las cotas cardinales de las lógicas infinitarias en las cuales se logran estas axiomatizaciones, y logramos variantes hasta cierto punto análogas al test de Tarski-Vaught para las AECs. En trabajo más reciente con N. Nájar, estamos usando estas herramientas de definibilidad para iniciar un nuevo enfoque de la teoría de la estabilidad en AECs. Presentaré la nueva construcción y el test adaptado de Tarski-Vaught, y discutiré varias líneas que se abren con los nuevos resultados.

14 de septiembre. Edwin CELIS. Título: Una aproximación a aprendibilidad en primer orden. La convergencia uniforme de eventos a su probabilidad es un tema clásico en teoría de la medida. En el año de 1971 Vapnik  y Chervonenkis extienden el mismo principio de convergencia uniforme al estudio de las mejores aproximaciones que sobre un conjunto de prueba pueda darse. Surge en dicho estudio una noción de aprendibilidad sobre un conjunto de muestras y una noción de dimensión, la VC-dimensión de una clase. Un poco después Sauer-Shelah (1972) muestran, y de forma independiente, que toda familia de conjuntos con VC-dimensión pequeña consiste en un conjunto pequeños de conjuntos. En distintos trabajos posteriores (Freitag, Chase, Chernikov, Guingona, Kaplan…) se caracteriza la propiedad NIP de una teoría con su VC-dimensión y se dan propiedades combinatorias muy interesantes. Se presentará una aproximación de la noción de aprendibilidad para el caso de teorías de primer orden, luego se ilustrará con algunos ejemplos que involucran tipos de Lascar y tipos fuertes de una teoría de primer orden.

28 de septiembre. Óscar PÉREZ. Titulo: Reflexiones en torno a la relación entre filosofía y teoría de modelos. La teoría de modelos como una rama independiente de la matemática ha logrado importantes avances en un periodo de tiempo relativamente corto. El nivel de sofisticación técnica haría pensar que su aplicación es estrictamente matemática, y poco o nada tendría que ver con discusiones filosóficas. El objetivo de esta sesión consiste en discutir algunos elementos que permitan entrever las posibles influencias filosóficas que se encuentran ocultas en el desarrollo de la teoría de modelos o, si por el contrario, no existe relación alguna. En primer lugar, se hará una discusión alrededor de la aparición de la lógica en el pensamiento occidental y su evolución hasta bien entrado el siglo XX. Más allá de la versión canónica de la historia de la lógica que coloca a Aristóteles como el fundador de la misma, se exploran sus raíces en el pensamiento platónico y la influencia que ha ejercido en la lógica matemática contemporánea. Luego, será preciso indagar las diferentes posturas en relación con el lugar que ocupa la lógica respecto a la matemática, así como el surgimiento de la teoría de modelos en este contexto. Por último, abrir algunas cuestiones en relación con la posibilidad de hacer filosofía a través de la teoría de modelos, o si la filosofía puede plantear algún beneficio para la teoría de modelos.

5 de octubre. Óscar PÉREZ. Titulo: Reflexiones en torno a la relación entre filosofía y teoría de modelos II. Se continuará con la la charla del 28 de septiembre. En este enlace se puede ver la grabación de la charla.

12 de octubre. Edgar VALENZUELA (Candidato a Doctor en matemáticas UAM). Título: Compacidad abstracta. Makowsky caracterizo la compacidad en lógicas abstractas con la existencia de ciertos ultraproductos que aseguran un teorema de Los. Este resultado extiende la bien conocida prueba de compacidad usando ultraproductos en lógica de primer orden y va en acuerdo con la caracterización de cardinales compactos fuertes. En otra dirección, Keisler dio una caracterización de los cardinales compactos débiles en otros términos modelo-teóricos. Exploramos el teorema de compacidad abstracta de Makowsky bajo la lupa del resultado de Keisler. En este enlace podrán ver la grabación.

26 de octubre. Joerg BRENDLE (Kobe University / visitante Universidad Nacional de Colombia 2022-2023). Título: El diagrama de Cichoń. Abstract: Cardinales invariantes del continuo son cardinales incontables cuyo tamaño típicamente es menor o igual al continuo y que caracterizan la estructura del conjunto de los números reales. Ejemplos importantes incluyen cardinales asociados a los ideales de los conjuntos magros y de los conjuntos nulos. Éstos cardinales invariantes se pueden arreglar con respecto a su tamaño en un diagrama que se llama diagrama de Cichoń. En la charla voy a dar una introducción general a cardinales invariantes, concentrándome en los del diagrama de Cichoń, explicar unos resultados básicos y presentar unos teoremas de consistencia recientes. En este enlace podrán encontrar la grabación de la charla.

2 de noviembre. Gustavo CIPAGAUTA. Título: Caracterización de tipos en Teoría de Modelos de estructuras métricas. Por anunciar. se discuten, desde la perspectiva de la Lógica Continua, algunos resultados fundamentales de la Teoría de Modelos sobre estructuras métricas: compacidad, axiomatizabilidad, saturación. El énfasis se pone sobre los espacios de Hilbert y las representaciones de C*-álgebras, buscando asentar los elementos para la segunda parte de la presentación: los teoremas de caracterización de tipos en esas dos familias de estructuras métricas y la relación entre tipos y estados físicos en Mecánica Cuántica.

9 de noviembre. Alex VAN ABEL (Postdoc at Wesleyan University). Título: Counting in Uncountably Categorical Pseudofinite Structures. Every ultraproduct of finite structures may be equipped with a notion of hyperreal-valued "cardinality" on its definable subsets. Pillay has shown that if such an ultraproduct is strongly minimal, then the cardinalities of definable sets are all polynomial in the size of the whole structure, via some polynomial with integer coefficients. In this talk, we extend this result to the case where the ultraproduct is uncountably categorical. In this setting, every definable set has cardinality which is polynomial in the cardinality of any strongly minimal subset. We will sketch proofs of Pillay's and the newer result, and we will connect this result to various notions of asymptotic classes of finite structures. En en este enlace  podrán ver la grabación de la charla.

16 de noviembre. Jose Alfredo URREA (Pregrado - Universidad Nacional). Título: Title: Feferman-Vaught theorem for restricted products. Model theory of adeles and number theory. Título de la Charla: Teoremas de Feferman-Vaught para productos restringidos, teoría de modelos de adeles y teoría de números. The adele construction is closely related to a generalized theorem of Feferman-Vaught. Derakhshan and Macintyre use those results for studying A_k as an L-ring structure. This interpretation gives a result of QE that allows a study of its topology, measure, and analytic structure, which are essential to the algebraic number theory. We will explore the construction of the ring of adeles, its model-theoretic approach, and some applications to the model theory and number theory. La construcción de los anillos de adeles A_K están íntimamente relacionados con una generalización de los teoremas de Feferman-Vaught. Derakhshan junto con Mancintyre utilizan estos resultados para estudiar A_K como una L_ring-estructura, esta interpretación ofrece un resultado de eliminación de cuantificadores y permite un estudio de su topología, medida y estructura analítica, las cuales son de gran importancia en la teoría algebraica de números. Exploramos la construcción del anillo de adeles, su planteamiento modelo-teórico, y algunas aplicaciones en teoría de modelos y teoría de números. La charla se dará en inglés o en español dependiendo del público. En este enlaceencuentran la grabación de la charla.

23 de noviembre. Gustavo CIPAGAUTA. Título: Clases elementales abstractas métricas. En esta segunda parte de la charla se presentan brevemente las características principales de los tipos (espacio de tipos, saturación, tipos principales, categoricidad) en Primer Orden Continuo de estructuras métricas. Seguidamente se pasa discute el esquema de construcción de una clase elemental abstracta métrica, en concreto para un espacio de Hilbert con un operador autoadjunto no acotado definido en él. Se concluye con un enlace entre los tipos de Galois de esta clase elemental abstracta y los estados físicos en la descripción mecánico-cuántica del átomo de hidrógeno. En este enlace encontrarán la grabación de la charla.

30 de noviembre. Óscar PÉREZ. Título: Por anunciar.