2019-20

Tukey theory of ultrafilters

Natasha Dobrinen (Denver University)

Lugar: Universidad de los Andes. (C-210)

Fecha: Miércoles, 28 de agosto de 2019.

Hora:  13.30-15.00

Resumen: 

Tukey reduction between two directed partial orders was invented to develop the notion of convergence in general topological spaces.  Restricting this study to ultrafilters partially ordered by reverse inclusion has resulted in a rich area of current research.  In addition to the open problem of Isbell regarding the possibility of a model of ZFC with one Tukey type of non-principal ultrafilter, the guiding questions in this field are the following:  What possible structures embed into the Tukey types of ultrafilters?  When can we know the Tukey structure exactly?  How closely related are Rudin-Keisler and Tukey reductions? and, Which properties of ultrafilters are closely tied with Tukey reduction?  We will present an overview of the current state of the art and mention directions for further research.

¿Es necesario el diamante de Akemann y Weaver?

Daniel Calderón - York University

Lugar: Universidad de los Andes. (Z-205)

Fecha: Miércoles, 14 de agosto de 2019.

Hora:  13.30-15.00

Resumen: 

2019-10

Lugar: Universidad de los Andes. (C-206)

Hora:  Miércoles 11.00  (Inició el 06 de Febrero)

Descripción: El tema del Seminario será Tipos de Tukey y ultrafiltros. 

Consideraremos ultrafiltros sobre los números naturales y sus clases de Tukey. Demostraremos que existe un tipo de Tukey maximal para los ultrafiltros no principales. Luego presentaremos una demostración, debida a Dobrinen y Todorcevic, de que todo p-punto tiene tipo estrictamente menor que el tipo maximal. Está abierto si es consistente con ZFC que todo ultrafiltro no principal tenga tipo igual al maximal.

Marzo 13 y 20 - Tipos de Tukey para conjutos dirigidos de tamaño $\aleph_1$.

Ramiro de la Vega (Universidad de los Andes)

Resumen: 

Todorcevic probó (en Directed sets and cofinal types, TAMS, 1985) que para conjuntos dirigidos de tamaño $\aleph_1$ sólo hay cinco tipos de Tukey que se pueden construir en ZFC. Concretamente, Todorcevic construyó una extensión de forcing en la cual todo orden dirigido de tamaño $\aleph_1$ es Tukey-equivalente a alguno de los siguientes:  $1, \omega, \omega_1, \omega \times \omega_1, [\omega_1]^{<\omega}$. 

En esta charla asumiremos PFA (Proper Forcing Axiom) para presentar una versión simplificada de la prueba de Todorcevic. Si bien el resultado de Todorcevic no asume la existencia de grandes cardinales, usar PFA permite simplificar sustancialmente la demostración en varios sentidos: el orden parcial utilizado es más sencillo, no es necesario hacer ninguna iteración (y de hecho no hay que saber forcing para entender la prueba) y por lo tanto, no es necesario probar ninguna condición de cadena. 

Marzo 6: Tipos de Tukey de conjuntos dirigidos de tamaño \omega_1  bajo la hipótesis del continuo.

Raúl Figueroa (Universidad de los Andes)

Resumen:

Entre los resultados clásicos sobre tipos de Tukey, se sabe que bajo CH existen 2^{\omega_1}  tipos de Tukey cofinales de tamaño \omega_1. En esta presentación se hará la exposición de dicho resultado y se discutirá cómo puede ser generalizada para cardinales regulares.

Referencia:

• Todorcevic, S. Directed sets and Cofinal types. Transactions of the Amer. Math. Soc. 290 (1985) 711-723

Febrero 20, 27: El orden de Rudin-Keisler y el orden de Tukey en la colección de ultrafiltros no principales en conjuntos numerables. Algunas diferencias.

Mariana Vicaría (University of California - Berkeley)