Seminario de Lógica - Universidad Nacional

Dimensión y bifurcación en estructuras pseudofinitas.

Darío García (Universidad de los Andes)

Fecha: martes 19 de Marzo de 2019

Hora: 4:00 - 5:15 p.m.

Lugar: Salón 210 - edificio Yu Takeuchi UNAL

Resumen:

Las nociones de dimensión y rangos son conceptos fundamentales en teoría de modelos moderna, y han sido usados para dar descripciones geométricas/combinatóricas de conjuntos definibles en estructuras de primer orden. Uno de los temas recurrentes es la relación existente entre la independencia dada por la bifurcación y las diferentes nociones de dimensión. Se espera que cualquier instancia de bifurcación (en tipos o fórmulas) pueda ser detectada por un descenso en la dimensión, y este es el caso en ejemplos conocidos como los espacios vectoriales, los campos algebraicamente cerrados o las estructuras de rango de Morley finito. 

El concepto de dimensión pseudofinita (definido por Hrushovski y Wagner) es una forma de generalizada de dimensión en ultraproductos de estructuras finitas, y se define tomando el cociente del ultralímite de los logaritmos de las cardinalidades no estándar de conjuntos definibles con respecto a la envolvente convexa de los reales. Este operador no toma valores enteros (sino en un cociente del grupo aditivo de los reales no estándar), pero tiene muchas propiedades deseables de un operador de dimensión. 

En esta charla presentaré las definiciones anteriores, y los resultados del trabajo conjunto con D. Macpherson y C. Steinhorn, en el cual se exploran condiciones sobre la dimensión pseudofinita que garantizan que la teoría del ultraproducto es simple (ó supersimple), y se da una caracterización de la bifurcación en términos del descenso de la dimensión pseudofinita.

El grupo de Galois de una clase elemental abstracta.

Andrés Villaveces - Universidad Nacional de Colombia

Fecha: martes 19 de febrero de 2019

Hora: 6 p.m.

Lugar: Salón 210 - edificio Yu Takeuchi UNAL

Resumen:

Esta será una descripción de un "plano de trabajo" para el estudio de interpretaciones en AECs. Primero, haré un repaso de interpretabilidad e internalidad en un lenguaje categórico (para teorías de primer orden, reenmarcando trabajos de Hrushovski y Kamensky en un formalismo derivado de Makkai) para  la teoría de Galois modelo-teórica. Luego un breve paso por el problema de recuperar la clase de biinterpretabilidad de una teoría y el rol de la “Small Index Property” (SIP). Al final propongo nociones de interpretación entre distintos tipos de AECs y exploro el rol del grupo de Galois en ese contexto. 

Haces sobre locales; Hacificación, Omega-Conjuntos y Teorema del Modelo Genérico parte II

David Reyes - Universidad Nacional de Colombia.

Fecha: martes 12 de febrero de 2019

Hora: 6 p.m.

Lugar: salón 210 - edificio 404 UNAL.

Resumen:

En esta charla hablaremos de pre-haces sobre locales y su proceso de hacificación a través de los llamados Omega-Conjuntos, así como de una semántica para haces de estructuras sobre locales la cual permite un resultado de modelo genérico.

Referencias:

1.Diego Fernando Manco Berrío. Logic of sheaves of structures on a local-Tesis de Maestría, Universidad Nacional de Colombia- 2015

2. Xavier Caicedo. Lógica de los haces de estructuras-Revista Academia Colombiana de Ciencias. No 19. pag 569-585 - 1997

3. Peter T. Johnstone. Sketches of an Elephant: a topos theory compendium. Oxford Logic Guides, vols. 43, 44. Oxford University Press, - 2002

Introducción a los espacios topológicos de Ramsey.

Julián Camilo Cano Ramos - Universidad Nacional de Colombia

Fecha: Martes 25 de septiembre de 2018  

Hora: 18:00

Salón: 210-404 UNAL

Resumen: 

La Teoría Topológica de Ramsey tiene como objetivo estudiar una clase de espacios topológicos, denominados espacios topológicos de Ramsey, que se caracterizan principalmente por describir las propiedades combinatorias que poseen conjuntamente diversos contextos de la Teoría de Ramsey, logrando abstraer y generalizar las analogías y similitudes esenciales que asemejan a aquellos espacios combinatorios que admiten un resultado análogo al Teorema de Ellentuck del contexto usual.  

Los Espacios Topológicos de Ramsey fueron propuestos y estudiados inicialmente por T. Carlson y S. Simpson en 1990, pero refinados, extendidos y mejorados profundamente por S. Todorcevic en 2010.

Por lo tanto, el objetivo de la charla consiste en presentar una reseña escueta del trabajo de S. Todorcevic y una breve introducción a los espacios topológicos de Ramsey, así como analizar sus características más relevantes y exponer algunos de ejemplos representativos.   

Referencia Principal:

[1] Todorcevic, S. (2010). "Introduction to Ramsey Spaces". New Jersey: Princeton University Press.

p=t, versión Fremlin.

Alexander Garzón - Universidad Nacional.

Fecha: martes 18 de agosto de 2018.

Hora: 6p.m. - 7p.m.

Lugar: 317 edificio 405 UNAL.

Resumen:

En esta charla daremos un pequeño esbozo de la prueba de p=t que se presenta en [1]. Para esta prueba, primero presentaremos algunas propiedades del forcing $[\mathbb{N}^{\aleph_0}]$ (en particular, veremos que este forcing preserva cofinalidades y cardinales), y hablaremos de otras particularidades en [1] (en particular, exploraremos la noción de conjunto interno y presentaremos los cardinales Interp y Chadd, estudiados en [1]). Además, veremos algunas conexiones (vistas por el expositor) entre [1] y [2].

Referencias:

[1] Fremlin, D. 'p=t, following Malliaris-Shelah and Steprāns'. Pre-print.

[2] Malliaris, M. Shelah, S. 'Cofinality spectrum problems theorems in Model theory, Set theory and General topology'.

Superestabilidad en AECs.

Nicolás Najar - Universidad Nacional.

Fecha: martes 28 de agosto de 2018.

Hora: 6p.m. - 7p.m.

Lugar: 317 edificio 405 UNAL.

Resumen: (ver archivo)

Docilidad de estructuras métricas generalizadas.

Pedro Zambrano - Universidad Nacional  

(Trabajo conjunto con Michael Lieberman y Jiří Rosický)

Fecha: martes 21 de agosto de 2018.

Hora: 6p.m. - 7p.m.

Lugar: 317 edificio 405 UNAL.

Resumen:

Docilidad es una propiedad modelo-teórica muy importante de clases abstractas de estructuras, que implica resultados de transferencia de categoricidad y de estabilidad. En esta charla hablaremos de una generalización del argumento de Lieberman y Rosicky --- basado en el resultado de Makkai y Paré sobre la accesibilidad de imágenes poderosas de funtores accesibles bajo la existencia de una clase apropiada de cardinales casi fuertemente compactos --- sobre el hecho que la docilidad se tiene en las clases de estructuras métricas (obteniendo una demostración del mismo hecho dada por Boney y Z.), señalando que el argumento funciona igual de bien para las estructuras con Q-pseudo espacios métricos subyacentes, con Q un cuantal razonable. Al eliminar el supuesto de reflexividad de la definición de métricas, obtenemos un resultado similar para las clases con espacios métricos parciales subyacentes: a través de traducciones directas de métricas parciales a conjuntos difusos y haces, obtenemos, respectivamente, análogos difusos y en haces de este resultado.