Seminario de métodos no estándar en Teoría de Ramsey y Teoría de Números.

Lugar: Universidad de los Andes. (O-403)

Hora:  Lunes, 14.00-15.00. (Inició el 27 de Agosto)

Descripción: Este será un seminario de lectura basado principalmente en el artículo/libro Di Nasso et al., sobre aplicaciones de teoría de modelos y teoría de conjuntos en problemas de teoría de Ramsey y teoría de números combinatórica. 

Noviembre 19: La propiedad de Erdös-Hajnal para grafos estables.

Darío García (Universidad de los Andes)

Resumen:

Decimos que una clase C de grafos finitos tiene la propiedad de Erdös-Hajnal si existe una constante d (dependiendo sólo de la clase C) tal que cada grafo G en C admite un clique o un anticlique de tamaño |G|^d. En 1989,  P. Erdös y A. Hajnal conjeturaro (en términos ligeramente diferentes) que para cada grafo H, la clase de grafos H-libres tiene la propiedad de Erdös-Hajnal. 

La conjetura aún sigue abierta; hay incluso grafos H con 5 vértices para los cuales el problema aún no está resuelto. Sin embargo, la propiedad de Erdös-Hajnal se ha probado para diversas clases de grafos finitos. Por ejemplo, M. Malliaris y S. Shelah probaron que la propiedad vale para familias de (hiper)-grafos sin la m-propiedad del orden, como una aplicación de su conocido Lema de Regularidad para grafos estables.

En esta charla, daré un breve resumen de la conjetura y presentaré una prueba (debida a A. Chernikov y S. Starchenko) de la propiedad de Erdös-Hajnal para grafos estables usando ultraproductos, dimensiones pseudofinitas y propiedades básicas de fórmulas estables.

Octubre 22 - Teorema ergódico para sistemas hipercíclicos

Alexander Berenstein - Universidad de los Andes

En esta charla usaremos herramientas de análisis no estándar para probar el Teorema Ergódico para sistemas hipercíclicos, que es un Teorema que se debe a Birkhoff y que relaciona la integral de una función L^1-medible (promedio espacial) con el comportamiento de su promedio temporal en un sistema dinámico.

Octubre 8 - Lema de Regularidad de Szemerédi via ultraproductos

Darío García - Universidad de los Andes

En esta charla usaremos herramientas de ultraproductos para probar el Lema de Regularidad de Szemerédi.

Septiembre 24 - Teorema de Remoción de Triángulos.

Darío García - Universidad de los Andes

En esta charla usaremos herramientas de ultraproductos para probar el Teorema de Remoción de triángulos. 

Septiembre 10, 17 - Teoremas de Ramsey, van der Waerden, Hindman y Hales-Jewett.

Carlos Di Prisco - Universidad de los Andes

En esta charla haremos una presentación de estos teoremas y daremos algunas demostraciones que posteriormente podrán ser comparadas con demostraciones obtenidas con argumentos no-estándar.

Septiembre 3 - Reales no estándar y principios de transferencia

Raúl Figueroa. Universidad de los Andes

En esta charla se presentarán los resultados más importantes del capítulo 2 del artículo [1]. En particular se dará una exposición de los siguientes temas:

- Definición de reales no-estándar (via ultrapotencias de los reales)

- Elementos infinitesimales e infinitos. El homomorfismo parte estándar

- El operador * para subconjuntos de reales. Conjuntos internos y externos.

- Principios de transferencia: overspill y underspill.

Referencias:

[1] M. Di Nasso, I. Goldbring, M. Lupini. Non-standard methods in Ramsey Theory and Combinatorial number Theory. Disponible en https://arxiv.org/abs/1709.04076

Octubre 29: Back to basics: una prueba non-estándar del teorema de convergencia uniforme.

Sacha Post (Universidad de los Andes)

En este charla veremos como se puede aplicar métodos de análisis non estándar a problemas de análisis real como continuidad y convergencia de funciones reales. Descubriremos que ocurren fenómenos extraños cuando se consideran funciones internas en los hyperreales y eso motivará la definición de S-continuidad o micro-continuidad. Guardaremos en mente que la meta de charla es usar esos tipos de métodos para dar una prueba "infinitesimal" del teorema de convergencia uniforme.