C.D.Lin 的洗稿术

2. 零相关设计的存在性定理不适合OLHD

2.1 Lin 存在性定理的必要性部分是零相关超立方的存在条件，不适用于 OLHD

在文献 LHD 定义下，水平间距为常数，对应一个运行数 n 有无穷多个 LHD 特例，它们分别具有不同的水平间距， 中心点可以在n 维实欧氏空间任何位置。任何两个不同置换 x_i=(x_1i,...,x_ni) 和 x_j=(x_1j,...,x_nj) 之间的差乘和(SPD)由下式计算， (受编辑软件限制，不能用正常的均值表示符号，本文中用 x^- 表示 x 的均值） SPD 是协方差的分子部分，分母为自由度。

SPD_ij= [∑_k=1ⁿ(x_kix_kj- nx^-_i x^-_j)] ...............(2.1)

如果SPD_ij=0，称 x_i, x_j是零相关的. 如果SPD_ij=0，且 ∀ x^-_i=0， x_i, x_j是正交的.

要想 x_i, x_j是正交的，除了 SPD_ij=0(∀{i≠j}}),还必须 x^-_i=0. 因此，Lin 的 OLHD 的存在条件缺少了条件x^-_i=0. Lin 的存在性定理只是零相关设计的存在性条件，这是 C.D.Lin 偷窃 He(2009) 存在性定理的有力证据。对 OLHD，该定理应该描述为：

There exists an Orthogonal Hypercube only if ∀x^- _i=0 and the run size n is not equal to 3 and does not have form 4k+2, where k=0,1,2,....

逆否命题成立：若有x^-_i≠0，或 n=3 或 n=4k+2,(k 为非负整数), OLHD 不存在。

中国有句古话，差之毫厘，谬之千里。

2.2 Lin 存在性定理的充分性不确

Lin 存在性定理的充分性是说，只要运行数 n 不是 3 或不具有形式 4k+2，就一定有 OLHD 存在，它们可以由堆叠法得到。 堆叠法问题我们后面讨论。由前面的讨论，当 x^-_i≠0 时 OLHD不存在， 水平间距不是 1 的那些 OLHD 是否存在，不在 Lin 的存在性定理范畴之内。 对于一个 n, 假设一个零相关设计被构造出来，通过参数选择，线性变换可以得到运行数为 n 的所有零相关设计，包括所有不同水平间距的 OLHD。 然 Lin 的 LHD 线性变换后不是 LHD。

当 n→∞，相关系数是一个∞/∞, 相关性如何定义是一个新问题。 任意给一个小数 ε，总可以找到一个正整数 N，可以在置换集合 S_N 中找到两个向量(x,y}， 使相关系数的绝对值 |r|<ε. 即使 n 具有 4k+2 的形式，随运行数 n 增大， 置换集合 S_N 中存在两个向量 {x,y}, 使相关系数的绝对值无限地接近 0。 例如，当 n=102, S₁₀₂ 中存在很多向量对{x,y}， 使其相关系数的绝对值小于 3.69e^-6 当 n=4098 ，向量间的最小相关系数的绝对值小于 8.718e^-11。 可以相信，当 n→∞， |r|→0, 存在 OLHD。 因此，充分性命题不适宜推广到无穷大。

对有限运行数该命题有某种合理性，应该在命名堆叠法并证明其正确性之后适当描述。

2.3 堆叠陷阱

C.D.Lin 称，OLH(4,2)、OLH(5,2) 和 OLH(7,2) 分别与正交矩阵 O_2。

反复堆叠能产生所有结果。这种堆叠结果不可接受为 OLHD。

一个正交试验设计区别于一般正交矩阵，不仅要求它列正交，边际分布是均匀的，联合分布也应该是均衡的。 上述堆叠结果全部非常不均衡。

图 2.3.1 OLH(5,2) 与 O₂ 堆叠四次的结果

图 2.3.1 为 OLH(5,2) 与O₂堆叠四次的结果。 继续堆叠的结果是四条射线将无限延长，实验点成 "X"-形分布。这种分布极不均衡。同构变换不能实质性地消除这种不均匀性。 试验设计不能接受这类设计。构成这种分布的两个列必须删除一个。 除了试验点分布不均衡，某些二次曲面(例如抛物面和鞍形曲面)的准线是交叉的两条直线。 假如过程的真实规律是抛物面或鞍形曲面， 在两条交叉的直线上采样，必然把曲面判定为平面，不能判断线性假设的真伪。 这样的试验不能找到合理的优化区域，甚至误导工艺。 在工业试验中，通常用二次函数拟合数据，建立预报模型，寻找优化方案，都会遇到这类问题。

2.4. 定理的证明严重背离命题证明规范

正交超立方存在性定理要证明的一个问题是当 n=4k+2 (k=0,1,...) 时 置换集合 S_n 中的 (n!) 个成员中任何两个都不正交。 Lin 不证明这个问题，而是精心排列一个特殊向量 a (并称这是"Without loss of generality") 使与另一个向量 b 不正交就作出定理成立的结论。这不是反证法,也不是完全归纳！

对任何 n, 都可以找到不正交的向量对。按照该逻辑， 对任何运行数正交超立方都不存在，恰好证明该存在性定理不成立。

Lin 证明最重要的逻辑前提是 "both 2b_i and 2b_i+n/2 are odd, i=1,...,n/2." 这只对水平间距离为奇数时有效，而对水平间距为偶数时无效，推理不能继续，Lin 要的矛盾不能得到。 这是 Lin 用间距为 1 的 LHD 特例定义 LHD 范畴的奥秘。

2.5. C.D.Lin & B.Tang 的存在性定理造假

Lin(2008)的 OLHD存在性定理为 Lin(2008) 定理 2.5.

"There exists an Orthogonal Latin Hypercube if and only if the run size n is not equal to 3 and does not have form 4k+2, where k=0,1,2,...".

Lin(2010)把它修改为定理 2，

"There exists an orthogonal Latin hypercube of n≥4 runs with more than one factor if and only if n≠4k+2 for any integer k."

C.D.Lin 承认 Lin(2008)定理 2.5不好吗？ 不，Lin (2010) 定理 2 更不可接受。

为了这一修改，该作者做了两次荒谬铺垫。

(i) 定义单个向量是正交的。这种定义违反了数学常识。

(ii) 定义 "the maximum number m^* of factors for an OLH(n,m^*)". "One important problem in the study of orthogonal Latin hypercubes is to determine the maximum number m^* of factors for an OLH(n,m^*) to exist." 该作者解决了正交拉丁超立方的最大正交因子数的问题了吗？没有！除了几个小 n 之外，谁也不知道一个设计中可以有多少正交列。其奇葩之处在于这是绝对真理。

C.D.Lin 强调地指出："Theorem 2 says that m^* = 1 if n is 3 or has form n = 4k + 2 and that m^* ≥ 2， otherwise. (Lin(2010)p.11)." 比较这两条定理，C.D.Lin & B.Tang 主张 0=1.

如果有人问宇宙的直径是多少？ 遵循C.D.Lin & B.Tang 理论，可以回答：宇宙的最大直径大于一纳米； 人的最大身高是多少？ 你可以回答：人的最大身高大于或等于 1 厘米，以此类推。

存在性定理已经没有必要，因为任何矩阵都是正交的。如果不是么，那么，“我们就定义它是。”

总之，越荒谬就越不像 He(2009) 的存在性定理。