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6. 赤裸裸的偷窃，赤裸裸的造假
6. 赤裸裸的偷窃，赤裸裸的造假
基于张量积理论，C.D.Lin 定义了一个矩阵操作 (Lin(2008) page16, Lin(2010) page 3) 作为正交超立方设计的扩展构造法, 有一个专用的编号为(2.1)。我相信，这是该作者2006年夏天以前原有的研究计划。如果按照这条路线走下去，是一个好概念。很遗憾，在Lin(2010)中，这只是一个掩盖偷窃的幌子。为方便叙述，我在这个编号前加一个 L。
L = A⊗B + γ C⊗D ............................(L2.1)
Lin 称借助这个操作能从现有较小规模 OLHD 构造出规模更大的 OLHD，以致运行数可以延伸到无穷大。 式(L2.1}的应用条件是其引理 1、引理 2 和定理 1(这里只摘取命题中与讨论有关的部分)。
Lin 称借助这个操作能从现有较小规模 OLHD 构造出规模更大的 OLHD，以致运行数可以延伸到无穷大。 式(L2.1}的应用条件是其引理 1、引理 2 和定理 1(这里只摘取命题中与讨论有关的部分)。
Lemma 1. Let γ=n2. Then design L in (L2.1) is a Latin hypercube if:
Lemma 1. Let γ=n2. Then design L in (L2.1) is a Latin hypercube if:
(i) both B and C are Latin hypercubes and ......
Lemma 2. Design L in (L2.1) is orthogonal if:
(i) A, B, C and D are all orthogonal, and ......
Theorem 1. Let γ= n2. Then design L in (L2.1) is an orthogonal Latin hypercube if:
(i) A and D are orthogonal matrices of ±1;
(ii) B and C are orthogonal Latin hypercubes; ......
在 Lin(2010) 中这条定理是全局性的，但未做证明，没有任何成功的应用实例。 其应用例 2 想从 B=OLH(16,12) 获得 OLH(32,12)，隐藏的算式为
在 Lin(2010) 中这条定理是全局性的，但未做证明，没有任何成功的应用实例。 其应用例 2 想从 B=OLH(16,12) 获得 OLH(32,12)，隐藏的算式为
L=(1,1)T⊗B+γ(1/2,-1/2)T⊗D.........(6.1)
比对式(L2.1)，这里的 A=(1,1)T 不是 Hadamard 矩阵，当然也不是正交的， C=(1/2,-1/2)T 不是 OLHD，不满足引理 1、引理 2 和定理 1 的条件，不能应用定理 1。 根据张量积理论，当两个矩阵 X 与 Y 都是正交的， X⊗Y 是正交的。 如果 X 或 Y 不是正交的，便不能保证 X⊗Y 是正交的，更不能保证(6.1)中的 L 为 OLHD。 因此，例 2 不能作为定理 1 的应用实例。能实现这一功能只能是堆叠。
He(2009)对堆叠操作做了定义，对零相关矩阵的可堆叠性质做了描述与证明：
图 6.1 He(2009) 对堆叠操作的定义以及对零相关矩阵的可堆叠性质的证明
如果 A 和 B 的行数不同，则可能会发生 cfc≠cfa+cfb 的情况，上图中的公式(3.1) 并不总是成立。 但对正交矩阵 X 而言，任何两列的内积 (xi,xj)=0, 且 cf=0. 只要两个正交矩阵 A 与 B 列数相同，任何对应两列的内积之和恒为 0,
(ai,aj)+(bi,bj)≡ 0............(6.2)
因此允许这两个正交矩阵分别有不同的行数. 正交是零相关的特例， (6.2) 式是零相关矩阵的可堆叠性质的直接结果。
用 S(X,Y) 来记两个矩阵 X,Y 的堆叠操作，如果 X,Y 都是正交的, 那么，S(X,Y) 是正交的。很容易证明堆叠操作的以下性质，本文略去这些证明：
(1) 自堆叠性质，如果矩阵 X 是正交的，则 Z=S(X,X)是正交的。
(2) 有序性，如果 X 和 Y 都是正交的， S(Y,X) 也是正交的，S(Y,X) 与 S(X,Y) 同构但不相同。
(3) 如果矩阵 X,Y 是两个同维正交矩阵，则
S(X,X)+ S(Y,Y) = S(Y,Y)+ S(X,X) ............(6.3)
二者都是正交的且相同。
(4) 乘以常数的规则，如果 X,Y 是具有相同列数的正交矩阵，α为实数，则
αS(X,Y)= S(αX},αY) ............(6.4)
是正交矩阵。
(5) 复合堆叠, 如果 X 和 Y 是两个同维的正交矩阵，α 和 β 为两个实数，则
Z=αS(X,X)+βS(Y,-Y)............(6.5)
是正交的。
(6) 递归，堆叠的结果可以被另一个堆叠所调用。
假设 A 是一个 n×m(m>1)维超立方体，其水平间距为 δ，在(6.5)式中令 X=A, α=1/δ,β=1，Y 是与 X 同维的 Hadamard 子阵, 得到的就是 (6.1)式中的 L; 假如令 Y=A,α=1,β=1/δ，X 是与 Y 同维的 Hadamard 子阵, 则得到的就是 Lin(2010) 命题 1 中的 U。如果 A 是正交的， L 和 U 都是正交的，那是因为正交矩阵的可堆叠性质，而不是定理 1 和张量积理论。
要合法地实现例 2 的目标，必须摆脱引理 1，引理 2 和定理 1 的理论体系， 借用矩阵堆叠操作及正交矩阵的可堆叠性质建立一个新的理论体系，保证(6.1)式成立。该作者造了一套违反数学常识和逻辑常识的理论来绕过这些讨论。在其博士论文 Lin(2010)中，强制定义"plus ones" 矩阵和单个向量都是正交矩阵(Lin(2008)(page 21))。"technically, orthogonal designs must have at least two factors, ”"if a design B or C has only one factor, it is orthogonal by our definition.” 在Lin(2010)中，该作者通过定义不存在即存在，即 0=1, 来代替 1 个向量是正交矩阵的理论。从而一箭三雕，既洗白存在性定理，洗白违反数学常识的例 2，也洗白窃取的堆叠法。
在数学上，单个向量可以看作是一个矩阵，但是，单个向量可以看作正交矩阵的唯一特例是全零向量0=(0,0,...,0)。 除了全 0 矩阵和只有一个元素 1 的矩阵 [1]，任何常数矩阵不是正交矩阵。 因此，全 1 向量1 不是正交矩阵，不能当作 Hadamard 矩阵的子阵。用 (1,1)T 冒充 Hadamard 矩阵和正交矩阵, (1/2,-1/2)T 冒充 OLHD，(x1,-x1)T 冒充正交矩阵是赤裸裸的造假。
正是从 例 2 而不是定理 1 出发，导出了 Lin(2010) 定理 3 及其后的所有结果。 这是一种十分奇特的数学方法。
Theorem 3. Suppose that an OLH(n,m) is available where n is a multiple of 4 such that a Hadamard matrix of order n exists. Then we have that:
(i) the following orthogonal Latin hypercubes, an OLH(2n,m), an OLH(4n,2m), an OLH(8n,4m) and an OLH(16n,8m), can all be constructed;
(ii) all the following orthogonal Latin hypercubes, an OLH(2n+1,m), an OLH(4n+1,2m), an OLH(8n+1,4m) and an OLH(16n+1,8m) can also be constructed.
作者声称，一个向量是正交矩阵的理论现已得到加强，”“我们方法的基本思想很简单，”“定理 3 是一个非常强大的结果。通过重复应用定理 3，可以得到无限多的正交拉丁超立方体。”
这个简单而非常强大的方法是堆叠，定理 1 无用武之地。
定理 3 (i) 部分的实现，就是使用例 2 的算法，它是堆叠，而不是张量积。所谓重复应用定理 3 就是递归调用例 2 的算法。 Lin(2010) 的例 2 不符合数学逻辑，对这个例 2 的调用在数学上是非法的。没有经过普遍性理论证明的结果 不能被引用作为另一个命题的证据，再多的实例不是命题的证据。定理 3 不具有合法性。Lin 声称了一段证明， 反复使用没经过合法证明的结果，其合法性不存在。
其后，Lin 定义了一个我们前面讨论过的堆叠操作。这证明她现在懂得了堆叠法，(L2.1)是她懂得堆叠法以前的既定路线。 假如她以前就得懂堆叠操作，为什么例二要通过造假定义一个向量是正交矩阵来度过难关。 堆叠法是那以后偷来的。
Lin 有一个注："Note that Da and Db themselves are not necessarily Latin hypercubes." 两个正交矩阵堆叠的结果是不是正交的尚且没有被证明，更别谈是 OLHD。 不幸的是，即使被堆叠的两个矩阵都是 OLHD， 堆叠结果也可能不是 OLHD。两个不是 LHD 的矩阵堆叠为 OLHD 只能是偶然情况，不可能是普遍规律，例子不胜枚举。 这样的命题不能不做证明！Lin 的前后文表明 Lin 再次确认 S-L 矩阵不是 LHD，除以 2 之后才是。
就是在这样的背景下，Lin 命名了两个堆叠法，这两个堆叠法与定理 1 毫无关系，且没有任何理论证明保证其堆叠法的正确性。 Lin 直接承认其定理 3 的部分(ii) 是用堆叠法构造的，与定理 1 毫无关系。如前所述，整个定理 3 不具有合法性。 由此演绎出来Lin（2010）命题 3,Tang2011 将其升级为定理 4. 它是应用定理 3 的结果，应该是定理 3 的推论。 定理 3 不合法，定理 4 也就不合法。
图 6.2 Lin(2010) 命题 3, Tang2011 将其升级为定理 4.
都与其定理 1 没有关系。
Lin (2010) 的全部结果都由堆叠法产生，其正确性只能由正交矩阵的可堆叠性质解释而不能用定理 1 解释。 核心定理 1 在全文中从未被使用。Lin(2010) 全文是造假的结果。有人说， 没有人报错。没有人报错不等于结果没有错。结果没有错而中间过程不正确恰好证明该结果是作弊来的。
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