Problema cinematicii inverse pentru un manipulator lanț-serial este de a găsi valorile pozițiilor articulațiilor, date fiind poziția și orientarea efectorului-final, relative la bază și valorile tuturor parametrilor geometrici ai legăturilor. Încă o dată, aceasta este o declarație simplificată aplicată numai lanțurilor seriale. O declarație mai generală este: având date pozițiile relative și orientările alor doi membri ai unui mecanism, găsiți valorile tuturor pozițiilor articulațiilor. Aceasta echivalează cu găsirea tuturor pozițiilor articulațiilor având în vedere transformarea omogenă între cei doi membri de interes.

În cazul comun al unui manipulator lanț-serial cu șase grade de libertate, transformarea cunoscută este ⁰T6. Analizând formularea acestei transformări în Secț. 2.6, este clar că problema cinematicii inverse pentru manipulatoarele lanț-serial necesită soluția de seturi de ecuații neliniare. În cazul unui manipulator cu șase-grade-de libertate, trei dintre aceste ecuații se referă la vectorul de poziție în cadrul transformării omogene, iar celelalte trei se referă la matricea de rotație. În ultimul caz, aceste trei ecuații nu pot veni din același rând sau coloană, din cauza dependenței în cadrul matricei de rotație. Cu aceste ecuații neliniare, este posibil să nu existe soluții sau există multiple soluții [2.33]. Pentru a exista o soluție, poziția dorită și orientarea efectorului-final trebuie să fie în spațiul de lucru al manipulatorului. În cazurile în care soluțiile există, adesea ele nu pot fi prezentate în formă închisă, deci sunt necesare metode numerice.

2.7.1 Soluții de formă-închisă

Soluțiile de formă-închisă sunt de dorit, deoarece sunt mai rapide decât soluțiile numerice și identifică ușor toate soluțiile posibile. Dezavantajul soluțiilor de formă-închisă este că acestea nu sunt generale, ci dependente de robot. Cele mai eficiente metode pentru găsirea soluțiilor de formă-închisă sunt tehnicile ad-hoc care profită de caracteristicile geometrice particulare ale unor mecanisme specifice. În general, soluțiile de formă-închisă pot fi obținute numai pentru sisteme cu șase-grade-de libertate cu structură cinematică specială, caracterizată printr-un număr mare de parametri geometrici, definiți în Secț. 2.4, fiind evaluați zero. Majoritatea manipulatoarelor industriale au astfel de structură, deoarece ea permite software de coordonare mai eficient. Condiții suficiente pentru un manipulator cu șase grade de libertate de a avea soluții cinematice inverse de formă-închisă sunt [2.34–36]:

1. Trei axe de articulații revolute consecutive se intersectează la un punct comun, ca într-o încheietură sferică.

2. Trei axe de articulații revolute consecutive sunt paralele.

Abordările soluției de formă-închisă sunt, în general, împărțite în metode algebrice și geometrice.

Metode algebrice

Metodele algebrice implică identificarea ecuațiilor semnificative care conțin variabilele articulațiilor și manipularea lor într-o formă rezolvabilă. O strategie comună este reducerea la o ecuație transcendentală într-o singură variabilă precum,

unde C1, C2 și C3 sunt constante. Soluția la o așa ecuație este

Cazuri speciale în care una sau mai multe dintre constante sunt zero sunt de asemenea comune.

Reducerea la o pereche de ecuații având forma,

este o altă strategie deosebit de utilă, deoarece rezultă doar o soluție,

Metode geometrice

Metodele geometrice implică identificarea punctelor de pe manipulator în raport cu care poziția și/sau orientarea pot fi exprimate ca funcție de un set redus de variabile articulare. Acest lucru este adesea în descompunerea problemei spațiale în probleme plane separate. Ecuațiile rezultate sunt rezolvate folosind manipularea algebrică.

Cele două condiții suficiente pentru existența unei soluții cu formă-închisă pentru un manipulator cu șase-grade-de libertate, care sunt listate mai sus, permit descompunerea problemei în cinematica poziției inverse și cinematica orientării inverse. Aceasta este descompunerea în structurile regionale și de orientare discutate în Secț. 2.5, iar soluția se găsește prin rescrierea (2.46),

Manipulatorul exemplu din Fig. 2.3 are această structură, iar structura sa regională este cunoscută comun ca braț articulat sau antropomorfic, sau manipulator al cotului. Soluția problemei cinematicii poziției inverse pentru o astfel de structură este rezumată în tabelul 2.9. Deoarece există două soluții pentru ϴ1 și, la fel, două soluții pentru ϴ2 și ϴ3 corespunzătoare la fiecare soluție ϴ1, există un total de patru soluții la problema cinematicii poziției inverse a manipulatorului braț articulat.

Structura de orientare este pur și simplu o încheietură a mâinii sferică și soluția corespunzătoare problemei cinematicii de orientare inversă este rezumată în tabelul 2.10. Două soluții pentru ϴ5 sunt prezentate în tabelul 2.10, dar numai o soluție pentru ambele ϴ4 și ϴ6 corespunde la fiecare. Astfel, problema cinematicii orientării inverse a unei încheieturi sferice are două soluții. Combinând structurile regionale și de orientare, numărul total al soluțiilor cinematicii inverse pentru manipulatorul din Fig. 2.3 este opt.

2.7.2 Metode numerice

Spre deosebire de metodele algebrice și geometrice folosite pentru a găsi soluții de formă-închisă, metodele numerice nu sunt dependente de robot, astfel încât acestea pot fi aplicate la orice structură cinematică. Dezavantajele metodelor numerice sunt că pot fi mai lente și, în unele cazuri, ele nu permit calcularea tuturor soluțiilor posibile. Pentru un manipulator lanț-serial cu șase grade de libertate numai cu articulații revolute și prismatice, ecuațiile de translație și de rotație pot fi întotdeauna reduse la un polinom într-o singură variabilă, de grad nu mai mare de 16 [2.37]. Deci, un astfel de manipulator poate avea 16 soluții reale la problema cinematicii inverse [2.38]. Deoarece soluția de formă-închisă a unei ecuații polinomiale este posibilă numai dacă polinomul este de grad patru sau mai puțin, rezultă că multe geometrii de manipulator nu sunt rezolvabile în formă-închisă. În general, un număr mai mare de parametri geometrici nenuli corespund la un polinom de grad superior în reducere. Pentru astfel de structuri de manipulator, cele mai frecvente metode numerice pot fi împărțite în categoriile metode de eliminare simbolice, metode de continuare și metode iterative.

Metode de eliminare simbolică

Metodele de eliminare simbolică implică manipulări analitice pentru a elimina variabile din sistemul de ecuații neliniare pentru a-l reduce la un set mai mic de ecuații. Raghavan și Roth [2.39] au folosit eliminarea dialitică pentru a reduce problema cinematicii inverse a unui manipulator lanț-serial 6R general la un polinom de gradul 16 și pentru a găsi toate soluțiile posibile. Rădăcinile oferă soluții pentru una dintre variabilele articulației, în timp ce celelalte variabile sunt calculate prin rezolvarea sistemelor liniare. Manocha și Canny [2.40] au îmbunătățit proprietățile numerice ale acestei tehnici prin reformularea problemei ca o problemă generalizată a valorii proprii (eigenvalue). O abordare alternativă la eliminare face uz de baze Gröbner [2.41, 42].

Metode de continuare

Metodele de continuare implică urmărirea unei căi de soluție de la un sistem de pornire cu soluții cunoscute la un sistem țintă ale cărui soluții sunt căutate când sistemul de pornire este transformat în sistemul țintă. Aceste tehnici au fost aplicate problemelor cinematicii inverse [2.43] și proprietățile speciale ale sistemelor polinomiale pot fi exploatate pentru a găsi toate soluțiile posibile [2.44].

Metode iterative

Se pot folosi o serie de metode iterative diferite pentru a rezolva problema cinematicii inverse. Cele mai multe dintre ele converg către o singură soluție bazată pe o presupunere inițială, deci calitatea acestei presupuneri are un impact semnificativ pe timpul de soluție. Metodele Newton–Raphson oferă o abordare fundamentală care folosește o aproximare de prim ordin a ecuațiilor inițiale. Pieper [2.34] a fost printre primii care au aplicat metoda cinematicii inverse, iar alții au urmat [2.45, 46]. Abordările de optimizare formulează problema ca o problemă de optimizare neliniară și folosește tehnici de căutare pentru trece de la o presupunere inițială la o soluție [2.47, 48].

Controlul vitezei de mișcare rezolvat transformă problema într-o ecuație diferențială [2.49] și un algoritm predictor-corector modificat poate fi utilizat pentru a efectua integrarea vitezei articulației [2.50]. Metodele bazate pe teoria-controlului aruncă ecuația diferențială într-o problemă de control [2.51]. Analiza pe intervale [2.52] este poate una dintre cele mai promițătoare metode iterative, deoarece oferă convergență rapidă la o soluție și poate fi utilizată pentru a găsi toate soluțiile posibile. Pentru mecanisme complexe, abordarea celor mai mici pătrate amortizate [2.53] este deosebit de atractivă și mai multe detalii sunt oferite în cap. 10.