Distribución normal, normal estándar y exponencial
Distribución normal, normal estándar y exponencial
Embedded Files
Una variable aleatoria continua, X, sigue una distribución normal de media μ y desviación típica σ, y se designa porN(μ, σ), si se cumplen las siguientes condiciones:
1. La variable puede tomar cualquier valor: (-∞, +∞)
2. La función de densidad, es la expresión en términos de ecuación matemática de la curva de Gauss:
Curva de la distribución normal
* El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-∞, +∞).
* Es simétrica respecto a la media µ.
* Tiene un máximo en la media µ.
* Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella.
* En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión.
* El eje de abscisas es una asíntota de la curva
Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.
La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.
p(μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.6826 = 68.26 %
p(μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ) = 0.954 = 95.4 %
p(μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ) = 0.997 = 99.7 %
Distribución normal estandar
Distribución normal estandar
La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el valor cero, μ =0, y pordesviación típica la unidad, σ =1.
Su función de densidad es:
(Esto nos da una distribución simétrica)
La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla.
En efecto, todas las distribuciones Normales son lo mismo si usamos las unidades de medida σ alrededor de su media µ que es el centro. El proceso para cambiar nuestra distribución a estas variables se le conoce como estandarizaciòn.
Si x es una observación de una distribución con media µ y desviación estándar σ, el valor estándar de x lo es
z = (x − µ)/σ
El valor-z nos indica cuantas desviaciones estándares esta la observación original de si media y en que dirección. Las observaciones mayores que su media toman valores positivos cuando se estandarizan mientras los valores que son menores a su media toman valores negativos.
Distribución exponencial
Distribución exponencial
A pesar de la sencillez analítica de sus funciones de definición, la distribución exponencial tiene una gran utilidad práctica ya que podemos considerarla como un modelo adecuado para la distribución de probabilidad del tiempo de espera entre dos hechos que sigan un proceso de Poisson.
La distribución gamma especial para la que α =1 se llama distribución exponencial.
Propiedad fundamental de la distribución exponencial
La distribución exponencial no tiene memoria :
Poseer información de que el elemento que consideramos ha sobrevivido un tiempo S (hasta el momento) no modifica la probabilidad de que sobreviva t unidades de tiempo más. La probabilidad de que el elemento falle en una hora (o en un día, o en segundo) no depende del tiempo que lleve funcionando. No existen envejecimiento ni mayor probabilidad de fallos al principio del funcionamiento
Ejemplo utilizando la distribucion exponencial:
- El tiempo durante el cual las baterías para un teléfono celular trabajan en forma efectiva hasta que fallan se distribuyen según un modelo exponencial, con un tiempo promedio de falla de 500horas. a) Calcular la probabilidad de una batería funcione por más de 600horas. b) Si una batería ha trabajando 350 horas, ¿Cuál es la probabilidad de que trabaje más de 300 horas adicionales?
x=El tiempo que dura la bateria hasta que falla
E(x)=500 entonces λ = 1/500
Su función de distribución seria:
Google Sites
Report abuse