Tema 2 Álgebra Booleana (2)
Álgebra de Boole (Continuación) ANTERIOR SIGUIENTE
Teoremas Booleanos
Los teoremas booleanos son enunciados siempre verdaderos, lo que permite la manipulación de expresiones algebraicas, facilitando el análisis ó síntesis de los circuitos digitales. Los teoremas booleanos son los siguientes:
El teorema 12 se conoce como la ley distributiva para tres variables.
Demostración teorema 12:
X·Y + X·Y’ = X
Utilizando la ley distribitiva para tres variables
X·Y + X·Y’= X·(Y+Y’)
Aplicando el teorema 8 se tiene,
X·Y + X·Y’= X·1
Dando como resultado,
X·Y + X·Y’= X
Esta expresión indica que la suma de dos productos canónicos adyacentes, es decir que difieren en una sola de las variables, se reduce al producto de los demás términos suprimiéndose dicha variable. El teorema 13 es otro caso del teorema de combinación. Los teoremas 12 y 13 se utilizarán en las lecciones siguientes de forma sistemática para sintetizar circuitos lógicos con los métodos de mapas de karnaugh y el algortimo de Quine-McCluskey. (ver lección 4).
Teoremas de DeMorgan
Los teoremas de DeMorgan demuestran la equivalencia entre las puertas NAND y negativa - OR, y las puertas NOR y negativa – AND.
Ejemplo
Obtener una compuerta OR utilizando compuertas NAND.
Y = (A + B) = [(A + B)’]’ = (A’·B’)’
(X1 · X2 ·.....· Xn)’ = X1’ + X2’ + .....+ Xn’
En el caso de dos variables se tiene,
(X · Y)’ = X’ + Y’
El circuito equivalente en dos variables a la ecuación se muestra en la figura 2.1.11.
Figura 2.1.11. Símbolo lógico para la compuerta NOR.
Ejemplo
Obtener una compuerta AND utilizando compuertas NOR.
Y = A·B = [(A.B)’]’ = (A’+B’)’
Figura 2.1.12. Circuito lógico para la compuerta AND
Simplificación de Expresiones Lógicas
El objetivo de la simplificación de expresiones lógicas es reducir la expresión al menor número posible de términos. Las expresiones lógicas se pueden simplificar utilizando los teoremas anteriores.
Ejemplo
F = A·B’·C + A·B’C’
F = A·B’·(C + C’)
F = A·B’
Ejemplo
F= (A’+B)·(A+B’)
F = A·A’ + A’·B’ + A·B + B·B’
F = A’·B’ + A·B
Ejemplo
F = [(A’ + C)·(B + D’)]’
F = (A’ + C)’+(B + D’)’
F= A·C’ + B’·D
Ejemplo
F = (X + Z’)·(Z + W·Y)’ + (V·Z + W·X’)·(Y + Z)’
F = (X + Z’)·[Z’·(W’ + Y’)] + [(V·Z + W·X’)·(Y’·Z’)]
F = (X + Z’)·(Z’·W’ + Z’·Y’) + V·Y’·Z·Z’ + W·X’·Y’·Z’
F = W’·X·Z’ + X·Y’·Z’ + Z’·Z’·W’ + Z’·Z’·Y’ + W·X’·Y’·Z’
F = W’·X·Z’ + X·Y’·Z’ + W’·Z’ + Y’·Z’ + W·X’·Y’·Z’
F = W’·Z’·(1 + X) + Y’·Z’·(1 + X) + W·X’·Y’·Z’
F = W’·Z’ + Y’·Z’ + W·X’·Y’·Z’
F = W’·Z’ + Y’·Z’·(1 + W·X’)
F = Z’·(W’ + Y’)
Implementación de Funciones Lógicas mediante Compuertas.
La forma más fácil de encontrar la expresión de un circuito lógico consiste en comenzar con las entradas situadas más a la izquierda e ir avanzando hasta la salida de cada compuerta lógica, obteniendo la expresión para cada una de ellas. Al final del recorrido se debe tener la expresión para todo el circuito. La expresión resultante podemos simplificarla para obtener una más sencilla y así obtener un circuito más reducido.
Ejemplo
Encontrar la expresión para el circuito de la figura.
Figura 2.1.13. Símbolo lógico para la compuerta NOR.
Ing. Naur Avila Estrada