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Simplificación de funciones (2)

Representación por Suma de Productos y Producto de Sumas ANTERIOR SIGUIENTE

En la lección anterior vimos las definiciones básicas para comprender los métodos de síntesis de circuitos lógicos. En esta lección se explicarán los dos primeros de estos métodos para sintetizar circuitos lógicos.

Método de Suma de Productos (SDP)

La suma de productos de una función lógica es la suma de los mintérminos correspondientes a las líneas de la tabla de verdad para las que la función produce una salida igual a 1. La función obtenida es la suma de productos.

Ejemplo

Obtener la suma de productos para la función lógica de la tabla 2.3.1.

• Tabla 2.3.1.Tabla de verdad para la función lógica F₁

La función puede ser expresada conformando un término mínimo por cada combinación de variables que producen un 1 en la función para luego obtener la suma de todos los términos. La función lógica para la tabla 2.3.1 se determina expresando las combinaciones 010, 100, 101 y 111 como A'·B·C', A·B'·C', A·B'·C y A·B·C:

F₁= S _A,B,C( 2,4,5,7)= A'·B·C' + A·B'·C' + A·B'·C + A·B·C.

Cada mintérmino de la función anterior representa una compuerta AND de tres entradas y la implementación de la función es posible a través de la aplicación de la operación OR a las salidas de las cuatro compuertas AND. Por tanto, el número total de compuertas AND dependerá del total de mintérminos de la expresión. El circuito se muestra en la figura 2.3.1.

Figura 2.3.1. Circuito lógico para la función lógica F₁.

En una suma de productos se cumple la igualdad de la función al valor lógico 1 si al menos uno de sus términos productos es igual a 1.

Ejemplo

Obtener la suma de productos para la función lógica de la tabla 2.3.2.

Tabla 2.3.2.Tabla de verdad de la función F2.

En la tabla de verdad existen dos condiciones para las cuales la salida es 1. Estas son las siguientes:

1. La primera se presenta cuando A es Bajo(0) y B es Alto(1). El resultado 1 de esta condición se puede expresar como el producto lógico:

A’·B

1. La segunda condición se presenta cuando A es 1 y B es 0. Esta condición ocasiona un resultado 1, si el producto lógico es:

A·B’

Como cualquiera de estas 2 condiciones hace que la salida sea 1, entonces la función lógica que los representa es la suma lógica de los productos anteriores:

F₂= A’·B + A·B’ = A Å B

La representación de la función anterior con compuertas OR y AND se muestra en la figura 2.3.2.

Figura 2.3.2. Función F₂ utilizando compuertas AND Y OR

Esta función corresponde a la función OR exclusiva, cuya compuerta se representa en la figura 2.3.3.

Figura 2.3.3. Símbolo lógico de la función OR - exclusiva.

Ejemplo

Obtener la función SDP para la función lógica de la tabla 2.3.3. Simplificar la función y dibujarla.

Tabla 2.3.3.Tabla de verdad de la función F₃

Utilizando suma de productos para las líneas 1 y 4 de la tabla se obtiene,

F₃=A'·B'+ A·B, simplificando

F₃=(A+B)’ + A·B

F₃= (A Å B)'

El circuito lógico de la función anterior se muestra en la figura 2.3.4.

Figura 2.3.4. Función F₃ utilizando compuertas AND, NOR y OR.

El símbolo lógico de la compuerta NOR - Exclusiva se muestra en la figura 2.3.5.

Figura 2.3.5. Símbolo lógico de la función NOR - exclusiva

Conversión de una expresión lógica a formato de suma de productos

La metodología empleada en la transformación de una suma de productos a su forma estándar se basa en el teorema 6 (Ver lección 1 parte 2), que establece que una variable sumada con su complemento es siempre igual a 1; A + A' = 1. Los pasos son los siguientes:

1. Los términos producto que no contengan la(s) variable(s) del dominio, multiplicarlos por un término formado por dicha variable más el complemento de la misma (teorema 6).
2. Repetir el paso 1 para todos los términos de la expresión que no contengan todas las variables (o sus complementos) del dominio. Resolver los términos intervenidos.

Ejemplo

Convertir la expresión booleana A·B.C' + B·C + A' a su forma estándar.

El dominio de la expresión es el conjunto de variables A, B y C. Se observa la falta de formato estándar para el segundo y tercer término producto. Sobre ellos se aplicará el procedimiento, para luego volver a agrupar toda la expresión:

Término B·C

B·C = B·C ·(A+A') = A·B·C + A'·B·C

Término A

A' = A'·(C+C') = A'·C+A'·C' ; la expresión aún no tiene el formato estándar, entonces multiplicamos cada término por (B+B')

A'·C·(B+B') +A'·C'·(B+B') = A'·B·C + A'·B'·C + A'·B·C' + A'·B'·C'

La expresión en su formato estándar es:

A·B.C' + B·C + A' = A·B·C + A'·B·C + A'·B·C + A'·B'·C + A'·B·C' + A'·B'·C'

Método de producto de sumas (PDS)

El producto de sumas de una función lógica es la multiplicación de los maxtérminos correspondientes a las líneas de la tabla de verdad para las que la función produce una salida igual a 0. La función obtenida es el producto de sumas.

Ejemplo

Obtener el producto de sumas para la función lógica de la tabla 2.3.4.

Tabla 2.3.5.Tabla de verdad de la función OR - exclusiva

Considere el complemento de la función de Boole F₅. Este puede obtenerse de la tabla 2.3.5. formando un término mínimo por cada combinación que produce un cero y luego haciendo la suma de los términos. El complemento de F₅ se expresa así:

F₅' = A'·B' + A·B

La expresión F₅ se obtiene la negar F₅':

F₅ = (F₅')' = (A'·B' + A·B)' =(A'·B')'·(A·B)' = [(A')'+(B')']·(A'+B') = (A+B)·(A'+B')

Si cualquiera de los términos del PDS es cero, la función es cero.

De los 2 métodos anteriores, se pueden escoger algunos criterios para aplicar un método u otro, siendo estos los siguientes:

• Si en la última columna de la tabla de verdad, o sea en la columna que indica los resultados, sí predominan los ceros es más conveniente utilizar las suma de productos.
• Si en la columna que indica los resultados, predominan los unos, es más conveniente utilizar el método del producto de sumas.

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