Simplificación de funciones (3)
Mapas de Karnaugh ANTERIOR SIGUIENTE
Un mapa de Karnaugh es una representación gráfica de una función lógica a partir de una tabla de verdad. El número de celdas del mapa es igual al número de combinaciones que se pueden obtener con las variables de entrada. Los mapas se pueden utilizar para 2, 3, 4 y 5 variables.
La simplificación de expresiones lógicas mediante el mapa de Karnaugh utiliza un método gráfico basado en la Suma de Productos.
Mapa de Karnaugh de tres variables
El mapa de Karnaugh se construye a partir de la tabla de verdad de la función lógica. El mapa por medio de una matriz de 8 celdas, representa los ocho mintérminos posibles que se pueden obtener con tres variables, en un arreglo de una matriz de 2x4. Por tanto, la primera fila contiene el primer valor posible ("0") y la segunda fila el valor ("1").
Las variables 2 y 3 se agrupan por columna y se distribuyen en las cuatro columnas de acuerdo a las combinaciones posibles para obtener los mintérminos requeridos. Sus valores son 00, 01, 10 y 11. Por ejemplo, la celda m2 corresponde al mintérmino 2, ubicado en la fila 0 y la columna 10. La unión de estos dos números da el número 010, cuyo equivalente es el término A’·B·C’ ó el decimal 2. La tabla 2.4.1. muestra el mapa de Karnaugh para 3 variables.
(a)
(b)
(c)
Tabla 2.4.1. Mapa de tres variables
La característica de ordenamiento de un mapa de Karnaugh radica en el cambio de un solo bit en los términos de las celdas adyacentes de filas y columnas. En la tabla 2.4.1. las entradas BC se colocan secuencialmente, cambiando cada vez una sola variable, por eso resulta el orden: 00, 01, 11 y 10. En la interactividad 2.4.1., la pulsación de cada cuadro activa el mintérmino correspondiente.
Interactividad 2.4.1. Mapa de tres variables
Por ejemplo, la variable C está negada en m4 y m5 no lo está, mientras que A y B no cambia. Las celdas de los bordes superior e inferior e izquierdo y derecho también cumplen esta condición al agruparlas unas a otras. En el teorema 12 de la lección 1, se demuestra que la suma de los términos mínimos en celdas adyacentes pueden ser simplificadas en un término AND de dos literales. Por consiguiente, aplicando el teorema para los términos m4 y m5 del mapa se tiene:
m4 + m5 = A·B’·C’ + A·B’·C = A·B’·(C’+C) = A·B
Los términos m4 y m6 se pueden asociar de la misma forma:
m4 + m6 = A·B’·C’ + A·B·C’ = A·C’·(B’+B) = A·C’
Ejemplo
Simplificar la función F1= å (m3, m4, m5, m6, m7).
F1 = å (m3, m4, m5, m6, m7) = A’·B·C + A·B’·C’+ A·B’·C + A·B·C’+ A·B·C
Aplicando el teorema 6 de la lección 1 para el término A·B·C.
F1 = å (m3, m4, m5, m6, m7) = å (m4, m5, m6, m7) + å (m3, m7) = [A·B’·C’+ A·B’·C + A·B·C’+ A·B·C] + [A’·B·C + A·B·C].
El primer término en la sumatoria es el grupo 1 y el segundo término corrresponde al grupo 2. En un mapa de karnaugh, los mintérminos de cada grupo se relacionarían a través de lazos independientes.
Desarrollando la expresión,
F1 = [A·B’·(C’+C) + A·B·(C’+ C)] + [B·C·(A’+A)]= A·B’·(1) + A·B·(1) + B·C·(1) = A·(B’+B) + B·C = A + B·C.
El mapa se construye colocando un 1 en las celdas correspondientes a los mintérminos presentes en la función de salida. Por ejemplo, para el término F(1,1,0)= A·B·C’ = 1 se situaría un 1 en la celda 110. Para los mintérminos no presentes en la función se pone un 0. Por ejemplo el término F(0,0,1)= A’·B'·C = 0, será una celda con valor 0 en la celda 001.
Después de situar los unos en el mapa, se procede con la agrupación de 1s, la determinación del término producto correspondiente a cada grupo y la suma de los términos producto obtenidos. La determinación del término producto se realiza de acuerdo los siguientes criterios:
1.Una celda representa un mintérmino, dando como resultado un término de cuatro literales.
2. Dos celdas agrupadas pueden representar la asociación de dos mintérminos, dando como resultado un término de dos literales.
3.Cuatro celdas agrupadas pueden representar la asociación de cuatro mintérminos, dando como resultado un término de un literal.
4. Ocho celdas agrupadas representan un valor de función igual a 1.
Ejemplo
Sea la función del ejemplo anterior, simplificarla por medio del método del mapa.
La tabla de verdad del ejemplo anterior es la siguiente,
Tabla 2.4.2. Tabla de verdad de la función F1.
El mapa de Karnaugh se configura de acuerdo a los mintérminos iguales a 1 y las celdas se agrupan tal como en la figura 2.4.1.
Figura 2.4.1. Mapa de Karnaugh de la función F1.
El primer grupo se forma con los mintérminos m4, m5, m6 y m7 y el segundo grupo con los mintérminos m3 y m7.
Del primer grupo resulta el término A ya que para las cuatro columnas de la tabla existen transiciones entre las variables B y C. El segundo grupo da como resultado el término BC por el cambio existente en la variable A.
En total, la función queda reducida a la expresión:
F1 = A + B·C
La construcción de un mapa de Karnaugh de 4 variables es similar al de 3 variables. La diferencia radica en el número de variables de entrada. El mapa por medio de una matriz de 16 celdas, representa los 16 mintérminos posibles (24) que se pueden obtener con cuatro variables de entrada, en un arreglo de 4 x 4. La disposición de celdas en el mapa se muestra en la tabla 2.4.3.
(a)
(b)
(c)
Tabla 2.4.3. Mapa de cuatro variables
Por ejemplo, la celda m9 corresponde al mintérmino 9, ubicado en la fila 10 y la columna 01. La unión de estos dos números da el número 1001, cuyo equivalente es el término A·B’·C’·D -ó el decimal 9.
La minimización por medio de un mapa de 4 variables se puede efectuar con las celdas adyacentes entre sí y las celdas de los bordes que se pueden concatenar para reducir la expresión. Por ejemplo, m13 y m15 son celdas adyacentes así como m0, m8, m2 y m10.
El mapa se construye colocando un 1 en las celdas correspondientes a los mintérminos presentes en la función de salida. Por ejemplo, para el término F(1,1,0,0)= A·B·C’·D’ = 1 se situaría un 1 en la celda 1100. Para los mintérminos no presentes en la función se pone un 0. Por ejemplo el término F(1,1,1,1)= A·B·C·D = 0, será una celda con valor 0 en la celda 1111.
Igual que en el mapa de 3 variables, se procede con la agrupación de 1s, la determinación del término producto correspondiente a cada grupo y la suma de los términos producto obtenidos.
Las reglas para reducir términos en un mapa de Karnaugh de 4 variables son las siguientes:
1.Una celda representa un mintérmino, dando como resultado un término de cuatro literales.
2. Dos celdas agrupadas pueden representar la asociación de dos mintérminos, dando como resultado un término de tres literales.
3.Cuatro celdas agrupadas pueden representar la asociación de cuatro mintérminos, dando como resultado un término de dos literales.
4.Ocho celdas agrupadas pueden representar la asociación de ocho mintérminos, dando como resultado un término de un literal.
5. Dieciséis celdas agrupadas pueden representan un valor de función igual a 1.
Ejemplo
Simplíquese la función de Boole F2= å (m1, m3, m8, m10, m12, m14)
Figura 2.4.2. Mapa de Karnaugh de la función F2.
El primer grupo se forma con los mintérminos m1 y m3 y el segundo grupo se forma con los mintérminos m8, m10 y m12, m14.
Del primer grupo resulta el término A’·B’·D ya que en la columna 1 no se presentan cambios para las variables A y B y se presenta transición en la variable C en las columnas 2 y 3. El segundo grupo da como resultado el término A·D’. La razón radica en la simplificación de la variable B en la tercera y cuarta fila y en la variable C en la primera y cuarta columna.
Sumando los mintérminos obtenidos se tiene la ecuación simplificada:
F2 = A’·B’·D + A·D’
La simplificación de expresiones lógicas mediante el mapa de Karnaugh también es posible mediante el método de producto de sumas. En este método, cada celda representa un maxtérmino.
La construcción del mapa es similar a la suma de productos. La diferencia radica en que cada celda representa un maxtérmino. Por ejemplo, la celda m2 corresponde al maxtérmino 2, ubicado en la fila 0 y la columna 10. La unión de estos dos números da el número 010, cuyo equivalente es el término A+B’+C. La figura 2.4.3. muestra el mapa de Karnaugh para 3 variables.
Figura 2.4.3. Mapa de tres variables.
La representación de la función lógica se hace simplemente copiando los ceros de la tabla de verdad en las celdas del mapa. Este método es más apropiado cuando en la columna de resultados de la tabla de verdad predominan los ceros.
Ejemplo
Utilizar el mapa de Karnaugh para minimizar el producto de sumas,
F3 = (A+B+C)·(A’+B+C)·(A+B’+C)·(A’+B’+C)
Los maxtérminos se trasladan a cada una de las celdas del mapa de Karnaugh y las celdas se agrupan tal como en la figura 2.4.4.
Figura 2.4.4. Mapa de Karnaugh de la función F3
El término suma para cada grupo se muestra en la figura y la suma de productos resultante es:
F3 = C
Ejemplo
Utilizar el mapa de Karnaugh para minimizar el producto de sumas,
F4 = (A+B+C+D)·(A+B’+C)·(A+B’+C’+D’)·(A’+B’+C+D’)·(A’+’B+C’+D’)·(A’+B+C+D’)·(A’+B+C’+D’)·(A’+B'+C+D’)
El segundo término tiene que ampliarse a (A+B’+C+D)·(A+B’+C+D’). La función completa se pasa al mapa de karnaugh mostrado en la figura 2.4.5.
Figura 2.4.5. Mapa de Karnaugh de la función F4
El término suma para cada grupo se muestra en la figura 2.4.5. y el producto de sumas resultante es:
F4 = (A+C+D)·(B'+D')·(A'+D')
Condiciones de No Importa
Hasta el momento se ha asumido que la función es igual a 0 en los casos donde la función no es igual a 1. En algunas aplicaciones esta suposición no es siempre verdadera ya que existen combinaciones de entrada que no presentan. En un mapa de Karnaugh estas combinaciones de entrada sirven de herramienta para simplificar la función y su representación se hace por medio de una X en la celda del mapa. Según la agrupación que convenga se asume un valor de 1 ó 0 para la X con el fin de obtener la expresión más simple.
Ejemplo
Simplificar la función de Boole F5 = S (m0, m4, m7, m9) con condiciones de importa, NI = S (m1, m5, m11, m14).
Los mintérminos se marcan con un 1, las condiciones de no importa con una X y las celdas restantes con 0.
El mapa de Karnaugh de la función F5 se muestra en la figura 2.4.6.
Figura 2.4.6. Mapa de Karnaugh de la función F5
En suma de productos obtenemos,
F5 = A’·C’·D’ + A'·B’·C’ + A’·B·C·D + A·B'·D