.Afgeleide en tweede afgeleide
De theorie in paragraaf 1 e.v wekt de suggestie dat er simpele regels zijn die je gewoon even moet toepassen om het antwoord te weten. De werkelijkheid is echter iets anders.
Toelichting op Theorie A . [aanpassingen zijn cursief]
plaatje a:
elke raaklijn ligt onder de grafiek (in het raakpunt raakt hij de grafiek)
de raaklijn gaat van dalend over in stijgend
de afgeleide gaat van negatief over in positief (het teken wisselt)
plaatje b:
elke raaklijn ligt boven de grafiek (in het raakpunt raakt hij de grafiek).
de raaklijn gaat van stijgend over in dalend
de afgeleide gaat van positief naar negatief (het teken wisselt)
plaatje c:
de raaklijn ligt links van punt A onder de grafiek en rechts van punt A boven de grafiek.
de raaklijn gaat hier van stijgend over in stijgend en heeft dan een buigpunt
de afgeleide gaat hier van positief naar positief (wisselt niet van teken)
de afgeleide gaat hier van toenemend positief over in afnemen positief, dus heeft hier een maximum.
Toevoeging:
Tests voor extreme waarden.
Test met eerste afgeleide:
Los f '(x)=0 op (de antwoorden noemen we de kritieke waarden)
Localiseer de kritieke waarden op een getallenlijn.
Bepaal het teken van f '(x) op elk interval.
Als f(x) heeft een
max in x=a dan verandert f '(a) van + naar -
min in x=a dan verandert f '(a) van - naar +
geen min en geen max dan verandert f '(a) niet; dus ++ of - -
Test met tweede afgeleide:
Los f '(x) = 0 op voor de kritieke waarden.
Voor een kritieke waarde x = a geldt nu:
f(x) heeft een max als f ''(a) < 0
f(x) heeft een min als f ''(a) > 0
De test faalt als f ''(a) = 0 of oneindig.
Stellingen:
Stelling van Rolle:
Als f(x) is continu op [a,b] en differentieerbaar op <a,b> en f(a) = f(b) dan bestaat er een punt met x = c tussen a en b, zodat f '(c) = 0.
De stelling van Rolle komt er op neer dat wanneer je bij een continue functie twee x-waarden hebt waarbij dezelfde functiewaarde (y-waarde) hoort, je kunt concluderen dat tussen deze twee x-waarden de functie een extreme waarde heeft (de afgeleide dus nul is).
Middelwaarde stelling:
Als f(x) is continu op [a,b] en differentieerbaar op <a,b>, dan is er een punt x = c waarvoor geldt dat f '(c) = [f(b) - f(a)] / [b - a] .
De Middelwaarde stelling zegt dat er bij een continue en differentieerbare functie een punt x = c is zodat de afgeleide in dit punt x = c gelijk is aan de r.c van het lijnstuk tussen de punten (a, f(a) ) en (b, f(b)).
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Continuïteit en differentiëerbaarheid
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Het kunnen aantonen van continuïteit en differentieerbaarheid is geschrapt uit het programma, maar je kunt het als volgt omschrijven:
Een functie is continu als je hem kunt tekenen, zonder je pen van papier te halen. Een functie met een noemer die nul kan worden voor x = p is dus in x = p niet continu.
De functie (x^2-4)/(x-2) ziet er uit als een rechte lijn, maar bestaat niet in x = 2, daar zit een gat in de grafiek (Ga na op je GR, kies voor een instelling Zoom decimal of integer).
Differentieerbaar is iets complexer. De afgeleide moet bestaan. Je hebt de afgeleide leren kennen met behulp van het differentiequotiënt (slordig gezegd de r.c vd raaklijn).
Als je nu de functie f(x) = |x| neemt en je plot deze dan krijg je een V-vormige grafiek. ( de absolute waarde functie vind je in [MATH] {NUM} abs ).
Links van de punt (x<0) is de afgeleide -1 en rechts van de punt is de afgeleide +1. Welke waarde heeft de afgeleide in de punt (x = 0) ? Eigenlijk ligt de punt op beide stukken en heeft deze dus twee verschillende afgeleides, zodat we concluderen dat de afgeleide niet (éénduidig) bestaat. En dus is de functie daar niet differentiëerbaar.
Hetzelfde geldt voor een functie op een beperkt domein, zoals wortelfuncties: V(x). Het domein is [0, -> >
De afgeleide is geïntroduceerd met behulp van het differentiequotiënt: op een grafiek waren twee punten gegeven (zeg A en B) en punt B (het rechterpunt) werd langzaam naar A toegeschoven.
Hierdoor veranderde de r.c van de lijn door A en B. Algebraïsch merkten we op dat het verschil in de x-coördinaten van A en B (dat noemden we h of delta x) steeds kleiner werd.
|n het limiet geval (de limietovergang) veranderde het differentiequotiënt in het differentiaalquotiënt (= de afgeleide).
Wat de boeken echter nooit lieten zien was dat we eigenlijk ook nog een punt C links van A moesten hebben, waarmee we hetzelfde moesten laten zien. En beide zo ontstane differentiaalquotiënten moesten aan elkaar gelijk zijn, want anders bestaat de afgeleide functie niet. In de functie f(x) = |x| zie je dus dat de limiet van beide kanten keurig bestaat, maar ze zijn niet aan elkaar gelijk, dus bestaat de afgeleide niet in x=0.
Er zijn ook functies die in geen enkel punt differentieerbaar zijn, bijvoorbeeld:
f(x) = 1 als x = rationaal en f(x) = -1 als x = irrationaal.
Deze laatste functie is overigens ook niet continu.