Verschillende software programma's kunnen nuttig zijn voor het oefenen van wiskunde.
Op het internet vind je bijvoorbeeld: Wolfram Alpha: Wolfram Alpha
Onderaan de pagina staat een link naar Mobile Apps.
Hieronder laat ik een aantal screendumps zien van 2 van die Apps (Algebra euro 1,50) en Calculus (euro 3,05).
De App Algebra Course assistant.
fig 1 fig 2 fig 3 fig 4
We kiezen voor de optie Solve. (fig 1)
Veel wiskunde komt neer op het oplossen van vergelijkingen.
We nemen een kwadratische vergelijking (fig 2)
Na het geven van de oplossing (fig 3 en 4) zien we ook een hokje met de tekst: Step-by-step solution. (fig 3)
We kiezen dit en zien de hele uitwerking.
fig 5 fig 6 fig 7
Bovenaan bij fig 5 zien we staan: "Complete the square". Dit betekent dat de linkerkant (en rechterkant) wordt aangevuld totdat er een kwadraat staat.
Vervolgens kun je links en rechts de wortel nemen en x oplossen. In de schoolboeken heet dit het type A^2=B^2.
Het verschil met de sommetjes uit de schoolboeken is, dat in de boeken staat aan beide kanten al een kwadratische vorm, terwijl je hier dat kwadraat gaat maken.
In fig 6 staat wat je dan stap-voor-stap moet doen.
Eerst het getal naar rechts brengen [-17/3 dus naar rechts brengen]..
Vervolgens neem je de helft van het getal dat voor de 'x' staat en doet dat in het kwadraat [er staat 5x, dus het getal 5 door 2 delen, levert 5/2. Het kwadraat is 25/4]..
Tel dit resultaat aan zowel linker als rechterzijde op (daarmee verandert de oplossing niet; alleen de vergelijking ziet er anders uit)
Behalve met de methode Complete the square (kwadraat afsplitsen) kunnen we ook de methode Quadratic formula (kwadratische formule/ ABC formule ) gebruiken.
Daarom leer je ook meerdere technieken om een tweedegraads vergelijking op te lossen:
Ontbinden in factoren [optie Factor in deze App], kwadraat afsplitsen, ABC formule, AB is AD, ...
Bedenk dat een fietsenmaker een band ook met een hamer kan 'plakken' door net zo lang hard op het gaatje te slaan totdat het warm genoeg is geworden dat het rubber weer aan elkaar vast gaat kleven en het gat dicht is.
Ik ken echter geen fietsenmakers of mensen die een lekke band repareren die dat zo doen. Wat zou daar toch de reden voor zijn? Zou het soms handiger kunnen!?
LET OP: alhoewel de ABC formule natuurlijk uitsluitsel geeft bij iedere tweedegraads vergelijking, s dit niet altijd het handigste gereedschap om de vergelijking op te lossen.
fig 8 fig 9
In fig 8 en 9 zie je hoe met de ABC formule de antwoorden worden gevonden.
In deze App heb je de beschikking over 4 letters, zodat je ook de algemene tweedegraads vergelijking kan oplossen. Op dit moment zijn dat de letters x, y, z en t.
We kijken nu naar de optie Expand (haakjes wegwerken)
fig 10 fig 11 fig 12 fig 13
In fig 10 zie je het gekozen voorbeeld. Voor wiskunde B gaat dit net iets verder dan we in de praktijk tegen zullen komen, maar voor wiskunde A kan dit voorbeeld wel voorkomen (Binomium van Newton, hoofdstukken over kansrekening).
In fig 11 staat het resultaat en opnieuw kunnen we kiezen voor een stap-voor-stap oplossing. De oplossing die gegeven wordt in fig 12 en 13, maakt gebruik van het binomium van Newton.
We kijken nu naar de optie Factor (ontbinden in factoren)
fig 14 fig 15 fig 16 fig 17
We voeren een veelterm (polynoom) in, die we gaan ontbinden in factoren (fig 14).
In fig 15 zie je dat er één mooie factor (x-4) in zit en een [nog mooiere] factor met een wortel plus of min een getal..
In fig 16 staat hoe het resultaat verkregen wordt [met name van belang voor wiskunde B leerlingen. O.a bij Integreren (breuksplitsen) ]
Er staat hoe de factor (x+4) verkregen wordt. Als er een factor is dan is het getal [i.e. -4] een deler van de constante uit de veelterm [ i.e. -8 ].
Na het vinden van deze factor (x - -4) = (x+4), wordt de factor (x+4) weggedeeld uit de veelterm (fig 17).
Dit gaat net zo als een staartdeling die (sommigen van) jullie vroeger op de basisschool hebben geleerd.
Het antwoord staat onderaan in het gele vakje. Het kwadratische deel kan weliswaar verder opgelost worden, maar dan krijg je wortels in de factoren. Als we een veelterm willen ontbinden dan zoeken we alleen lineaire factoren zonder wortels.
We kijken nu naar de optie Analytic Geometry (analytische meetkunde)
In de bovenstaande 8 figuren zie je hoe de richtingscoëfficiënt (slope/helling) wordt berekend, de vergelijking van een rechte lijn wordt opgesteld (door twee punten, of met één punt en een richtingscoëfficiënt [kortweg r.c.]).
De didaktiek bij de laatste toepassing zou nog wat mooier kunnen met de step-by-step modus, maar die ontbreekt (nog).
De App Calculus Course assistant.
We kijken nu naar de optie Derivative (de afgeleide)
fig 1 fig 2 fig 3 fig 4
In de figuren 1 t/m 4 wordt de te differentiëren functie ingevoerd, de variabele en eventueel de orde (dus 1e afgeleide, 2e afgeleide, etc). Bij wiskunde B gaan we doorgaans niet verder dan een tweede afgeleide [soms een derde]. Het resultaat staat weergegeven, maar we kunnen om een step-by-step solution vragen.
fig 5 fig 6 fig 7
Vervolgens wordt de functie stap voor stap uitgewerkt. Zoals je kunt zien wordt hier de kettingregel gebruikt. Deze opgave komt echter uit een hoofdstuk waar de kettingregel op dit moment nog niet geïntroduceerd is, dus dat betekent dat je de afgeleide anders moet bepalen. Je werkt eerst met Algebra Course Assistent de haakjes weg met het commando Expand. Vervolgens differentiëer je de functie die je gekregen hebt.
We kijken nu naar de optie Integrate (Integreren)
fig 8 fig 9 fig 10
In de figuren 8 t/m 10 zie je hoe je een functie kunt invoeren en vervolgens daarvan een primitieve kunt laten uitrekenen.
Met behulp van de step-by-step optie kun je de stappen weergeven.