Goniometrische functies
Onderaan bij de documenten is het volgende toegevoegd:
Lissajous figuren: dit is een kort uittreksel uit Fundamentele naturkunde, dl 1 Mechanica . Alonso & Finn. Een kort overzicht van de lissajous figuren met een aantal geplotte voorbeelden.
Lissajous figuren bewerkt is het document dat ik met het digibord bewerkt heb. Dit wordt telkens weer ge-updated.
In de les heb ik laten zien dat je bij lissajousfiguren 2 typen hebt, namelijk: de 'rondlopende' grafieken en de grafieken die over zichzelf teruglopen. Om die laatste categorie goed te kunnen bekijken (en toppen te tellen) stel je de GR in op plotten met grafiek en bewegend rondje: -0
Dit doe je door in de formule-editor Y= helemaal links op het grafiektype te gaan staan en vervolgens net zo vaak op ENTER te drukken totdat het teken -0 in beeld komt. Nu wordt de grafiek niet alleen geplot, maar je ziet ook het rondje over de grafiek bewegen. Dit is met name handig als de grafiek over zichzelf terugloopt, zoals bij opgave 67.
In het document lissajous figuren lees je o.a dat je kunt kijken naar de snelheid van de y-component om de bewegingsrichting te bepalen. In dit document wordt gesteld dat je de afgeleide bepaald in een punt waar de x-component maximaal is; dus sin(t) = 1.
In de grafiek van opg 67 zien we dat dit het geval is voor t=pi/2.
Je ziet dat de y-component daar ook maximaal is, dus de afgeleide moet daar ook 0 zijn.
De afgeleide van y=sin(ct) is y=c. cos(ct).
Het eerste vermoeden is vaak dat c=6. Vul je dat in bij de afgeleide dan krijg je: y = 6. cos(3 pi) = -6. Dus c is geen 6, want we hebben te maken met een extreme waarde voor x= pi/2 dus we verwachten een afgeleide die dan nul is!!!!
Als je de grafiek plot zoals hierboven beschreven dan zie je op bijv [-pi/2, 1.5pi] dat de grafiek over zichzelf terugloopt en dan zie je dat de cursor 5 keer in een top komt, dus probeer c=5.
De afgeleide is dan y = 5. cos(2.5pi) = 0. (2.5pi komt van c=5 en t=pi/2: zodat de hoek wordt 5 . pi/2 = 2.5 pi)
Met je rekenmachine kun je ook snel even berekenen hoe groot de afgeleide is in t=pi/2 + 0.01:
5. cos(2.5pi+0.01) = -0.00999... dit is negatief dus de snelheid (= afgeleide) is naar beneden gericht. De grafiek loopt dus kennelijk terug over 'zichzelf'.
69: We zien 3 toppen in x-richting dus a=3. (van [0,2pi] doorloopt y een hele periode)
In de punten A en B is y=0, zodat sin(t+b) = 0.
De sin is 0 voor x=0 en x = pi.
Voor t moeten we 7pi/4 resp 3pi/4 nemen.
3pi/4+ b = 0 dan is b = -3pi/4. Dan is 7pi/4 + b = 7pi/4 - 3pi/4 = pi. En sin(pi)=0
Lossen we eerst op t= 7pi/4, dan vinden we b=-7pi/4
Plot de grafiek met beurtelings b= -3pi/4 en b = -7pi/4 en je ziet dat in het eerste geval je het spiegelbeeld krijgt van de gegeven grafiek en in het tweede geval krijg je de juiste grafiek en je komt ook eerst door punt B.
70: a) In de punten A, B, C en D is x=0. oplossen sin(2t) = 0 etc.
b) Bereken EH. Bereken eerst sin(2t)=-1/2. In de grafiek zie je al dat er 4 oplossingen zijn. Je hebt de grootste en de kleinste nodig.
Vul deze in in de y component en bepaal het verschil.
c) Merk op dat t= a en t= pi + a de hoeken voorstellen in eerste en derde kwadrant. De waarden zijn hetzelfde op een min-teken na.
Dus de afstand is de absolute waarde van eén van de functiewaarden, maal 2.