Trigonometri og arealberegning

Det er også muligt at bruge trigonometri til beregning af arealet af en trekant - ikke bare retvinklede trekanter, men alle trekanter.

Du kender allerede en formel for arealet A af en trekant:

Arealet af en trekant er en halv højde ganget med grundlinjen.

A = ½ · h · g

Der findes også andre andre formler, du kan bruge til at beregne arealet af en trekant. Du har fx tidligere arbejdet med Herons formel til beregning af en trekants areal.

Du kan også finde arealet af en trekant, hvis du kender trekantens ene vinkel og dens hosliggende sider. Til beregning af trekantens areal, skal du bruge sinusfunktionen. Denne formel gælder for alle trekanter, og altså ikke kun retvinklede.

A = ½ · b · c · sin(A) A = ½ · a · c · sin(B)

A = ½ · a · b · sin(C)

Opgave 1

Beregn arealet af trekanterne:

1. Trekant ABC: a = 40, c = 30, vinkel B = 70º
2. Trekant DEF: Vinkel D = 63º, f = 27, e = 36
3. Trekant GHI: Vinkel I = 52º, g = 316, h = 236

Opgave 2

1. Beskriv to situationer fra virkeligheden, hvor det kan være praktisk at bruge formlen: A = ½ · b · c · sin(A).

Opgave 3

De tre elever Thomas, Anders og Hanne diskuterer, hvordan de trigonometriske funktioner kan hjælpe med at finde arealet af en enhedstrekant.

Alle tre elever er enige om, at de til beregning af en trekants areal kan bruge denne formel: A = ½ · højde · grundlinje.

De er dog ikke enige om, hvordan arealet kan beregnes.

Thomas, Anders og Hanne har følgende bud på, hvordan arealet af enhedstrekanten kan beregnes:

Thomas mener, at højden er sin(A), og grundlinjen er cos(A). Derfor bliver beregningen af trekantens areal:

A = ½ · sin(A) · cos(A)

Anders er enig, men påstår, at højden er tan(A), og grundlinjen er 1. Derfor bliver beregningen af trekantens areal:

A = ½ · tan(A) · 1

Hanne siger, at grundlinjen også kan være sin(A), og højden er cos(A).

1. Hvem af de tre elever har ret? Begrund jeres svar.
2. Hvor stor er den sidste vinkel i trekanten?
3. Skriv et regneudtryk der viser, hvordan I kan beregne trekantens areal ud fra vinkel B.

Opgave 4

Thomas, Anders og Hanne skal male en figur som vist ovenfor. For at kunne beregne, hvor meget maling der skal bruge til projektet, så må de finde ud af arealet af hver trekant.

1. Beregn arealet af hver af de tre trekanter.
2. Beregn det samlede areal af figuren.