Andengradsligninger

INTRODUKTION

En andengradsligning er en ligning, der kan skrives som

ax2 + bx + c = 0, hvor a, b og c er tal og a ≠ 0.

En andengradsligning kan fx være:

2x2 + 10x – 48 = 0, hvor a = 2, b = 10 og c = –48.

Løsninger i en andengradsligning

Der kan være op til to løsninger i en andengradsligning.

Ligningen x2 = a skal løses.

Hvis a > 0 er der to løsninger til ligningen.

Hvis a = 0 er der én løsning.

Hvis a < 0 er der ingen løsning til ligningen.

Løsninger af andengradsligninger med nulreglen

Ligningen x2 – 6x = 0 skal løses.

Fordi det er en andengradsligning, og hele udtrykket skal give nul,

så kan man bruge "nulreglen" til at løse ligningen.

Ligningens venstre side x2 – 6x kan omskrives til x ∙ x – 6 ∙ x.

Så andengradsligningen ser nu sådan ud: x ∙ x – 6 ∙ x = 0.

x indgår i begge led på venstre side, og derfor kan x sættes udenfor en parentes.

Ligningen kan nu omskrives til x ∙ (x – 6) = 0.

Hvis to tal ganget med hinanden skal give nul, så skal mindst et af dem være nul.

Det vil sige, at enten skal x = 0 eller (x – 6) = 0.

Løsningen til andengradsligning er derfor enten x = 0 eller x = 6.

Eksempel

Du får at vide, at et kvadrat har arealet 9 cm2.

Opgave 1

Løs ligningerne

  1. x2 + 8x = 0
  2. 2x2 – 10x = 0
  3. x2 = –14x
  4. x2 – 6x = 3x

Opgave 2

I et rektangel er den længste side dobbelt så lang som den korteste side. Arealet af rektanglet er 32 m2.

A. Hvad er længden og bredden af rektanglet?

Opgave 3

Oskar har fundet ud af, at hvis han ganger sin fars alder med sin egen alder, så bliver produktet deres husnummer. Oskars far er 3 gange så gammel som Oskar, og familien bor i nummer 432.

  1. Hvor gammel er Oskar?
  2. Hvor gammel er Oskars far?

Opgave 4

Løs gåden.

To tal passer til følgende oplysninger: Et tal plus 6 ganges med det samme tal plus 4. Produktet bliver 24.

A. Hvilke tal passer denne oplysning på?

Opgave 5

En smed har en kvadratisk plade, hvor sidelængden er 61 cm. Til et byggeri skal han bruge en cirkulær plade, der har et areal på 1131 cm2.

  1. Lav en beregning der viser, om det er muligt for smeden at benytte pladen til den cirkulære plade.
  2. Hvad er det maksimale areal, den cirkulære skive kan have, når den skal laves ud af pladen?

Opgave 7

En landmand vil bygge en silo på et kvadratisk stykke jord.

Siloen skal have en grundflade på 475,3 m2.

  1. Hvad skal sidelængden af det kvadratiske jordstykke være?

Hvad er sidelængden i kvadratet?

Du kan opstille ligningen x2 = 9.

Da x2 > 0 er der to løsninger.

De to løsninger er x = 3 og x = –3, fordi 3 ∙ 3 = 9 og (–3) ∙ (–3) = 9.

I opgaven vil løsningen –3 ikke give mening, fordi der er tale om en sidelængde.

Grafiske løsninger af andengradsligninger

Andengradsligninger kan løses grafisk.

Grafen for y = x2 + 8x indtegnes i et koordinatsystem.

Løsningerne til ligningen x2 + 8x = 0 kan aflæses ved grafens skæringspunkter med x-aksen.

Grafen skærer x-aksen to gange, så der er to løsninger til ligningen: x = 0 og x = –8.

Ligningen (x – 2)2 = y har én løsningen for y = 0.

Ligningen x2 + 1 = y har ingen løsning for y = 0.