Juros simples e compostos

Juros

A operação básica da matemática financeira é a operação de empréstimo. Alguém que dispõe de um capital C0 (chamado de principal), emprestá-lo a outra pessoa por um certo período de tempo.  Após esse período, ele recebe o seu capital C0 de volta, acrescido de uma remuneração  J pelo empréstimo. Essa remuneração é chamada de juro. A soma                   C0 + J     é chamada de montante.  A razão i =J C0, que é a taxa de aumento do capital, taxa de juros. Por exemplo, se Pedro tomou um empréstimo de R$ 100,00 e, dois meses depois, pagou R$ 120,00, os juros pagos por Pedro são de R$ 20,00, e a taxa de juros é 20100=0,20 = 20%/  ao bimestre. O principal, que é a dívida inicial de Pedro, é igual a R$ 100, e o montante, que é a dívida de Pedro na época do pagamento, é igual a R$ 120,00.

Note que Pedro e quem lhe emprestou o dinheiro concordaram que R$ 100,00 no início do referido bimestre têm o mesmo valor que R$ 120,00 no final do referido bimestre. É importante notar que o valor de uma quantia depende da época à qual ela se refere. Na próxima aula este fato será abordado com mais detalhes. Agora vamos falar um pouco sobre juros compostos. Imagine que Paulo tomou um empréstimo de R$ 100,00, a juros de taxa 10% ao mês.  Após um mês, a dívida de Paulo será acrescida de 0,10 . 100, ou seja, R$ 10,00 de juros, pois J = i C, passando a R$ 110,00. Se Paulo e seu credor concordarem em adiar a liquidação da dívida por mais um mês, mantida a mesma taxa de juros, o empréstimo será quitado, dois meses depois de contraído, por R$ 121,00, pois os juros relativos ao segundo mês serão de 0,10 . 110, ou seja, R$ 11,00. Esses juros aqui calculados são chamados de         juros compostos. Mais precisamente, no regime de juros compostos, os juros em cada período são calculados, conforme é natural, sobre a dívida do início desse período. Um fato extremamente importante é que: No regime de juros compostos de taxa              i, um principal C0transforma-se, após               n períodos de tempo, em um montante       Cn = C0 (1 + i)n. Com efeito, se um capital C recebe, em um período de tempo, juros de taxa i, ele se transforma, ao fim do período, em C + i C = (1 + i) C.  Ou seja, após cada período de tempo, a dívida sofre uma multiplicação por 1 + i. Então, depois de dois períodos de tempo, a dívida inicial C0 sofrerá duas multiplicações por 1 + i, isto é, ficará multiplicada por (1 + i)2. Prosseguindo nesse raciocínio, a dívida em n períodos de tempo será igual à dívida inicial multiplicada por (1 + i)n, ou seja, será igual a: 

Cn = C0 (1 + i)n+ i)3 =

= 150 . (1 + 0,12)3 =

= 150 . 1,123 =

= 150 . 1,404928 =

= 210,7392  Portanto, a dívida de Cristina ao fim desses três meses será de R$ 210,74.

EXEMPLO 6

Uma inflação mensal de 3% ao mês equivale a uma inflação anual de quanto?

Solução: A taxa de inflação é a taxa média de elevação dos preços dos produtos e serviços. Se o preço médio inicial é 100, após 12 meses ele será igual a 100 . (1 + 0,03)12. Com auxílio de uma calculadora, obtemos 142,58, aproximadamente. O aumento médio foi de 42,58 sobre um preço de 100, isto é, a taxa de inflação anual foi de 42,58%, aproximadamente.