Aumentos sucessivos

Vários fatores determinam o preço de um produto. A lei da oferta e da procura é um desses fatores que obriga , às vezes, mais de um reajuste de preços, para valores   maio-res (aumentos sucessivos) ou para valores menores (descontos sucessivos).

Imagine que um produto sofra um aumento de 30% em um mês e um de 20% no mês seguinte. Qual será a taxa de aumento total que sofrerá o preço do produto nesses dois meses?

Essa é uma pergunta interessante, porque a maioria das pessoas pensa, erroneamente, que a taxa de aumento total foi de 30% + 20% = 50%. Se o preço do produto era  de 100 (sempre podemos tomar o preço igual a 100; basta tomar como unidade de preço um centésimo do preço do produto), o primeiro aumento foi de 30% de 100, isto é,    de 0,30 . 100 = 30, o que elevou o preço do produto para 100 + 30 = 130; o segundo aumento foi de 20% de 130, isto é, de 0,20 . 130 = 26, o que elevou o preço do produto  pa-ra 130 + 26 = 156.  O aumento total foi de 156 - 100 = 56 sobre o preço de 100. A taxa total de aumento foi de 56/100 = 0,56 = 56%.

EXEMPLO 1

O preço de um artigo sofreu dois descontos sucessivos, de 30% e de 20%. Qual foi a taxa total de desconto?

Solução: Se o preço do artigo era 100, o primeiro desconto foi de 0,30 . 100 = 30, o que baixou o preço para 100 - 30 = 70; o segundo desconto foi de 0,20 . 70 = 14, o que mudou o preço para 70   - 1 4 = 56. A redução total do preço foi de 100 - 56 = 44 sobre um preço de 100. A taxa total de desconto foi de 44/100 = 0,44 = 44%.

EXEMPLO 2

Um artigo é vendido, em uma promoção, com um desconto de 30%. Encerrada a promoção, o artigo retorna ao preço normal.  Em quantos por cento aumenta o preço do artigo?

Solução: Se o preço era 100, o preço com desconto é de:

100 - 0,30 . 100 = 100 - 30 = 70

Para retornar ao preço normal, ele deve sofrer um aumento de 30 em relação a um preço de 70.  A taxa de aumento é de 30/70 = 0,428 = 42,8%.

Pode-se, também, usar a seguinte fórmula:

Se um produto com preço inicial Po sofre acréscimos sucessivos, cujas taxas porcentuais são i1, i2,...,in, então o preço desse produto após n reajustes é Pn, dado por:

Po = Po . (1+i1).(1+i2)...(1+in) 

Se os acréscimos apresentarem taxas percentuais iguais, i1 = i2 = ... = in = i. Neste caso temos: 

Pn = Po . (1+i)n 

EXEMPLO 3

O preço do café, que era de R$ 30,00 a saca, sofreu aumentos sucessivos de 10%, 5% e 15% nos três primeiros meses.

O preço atual é dado por:

P3 = 30 . (1+0,1) . (1+0,05) . (1+0,15)

P3 = 30 . (1,1) . (1,05) . (1,15)

P3 = R$ 39,85