Notions avancées

1— Exclusivité : entre deux catégories, un seul item est en corrélation avec un autre. Donc, s’il existe une corrélation entre deux items, alors il faut éliminer les autres items restants.

2— Élimination : entre deux catégories, il y a au moins une (1) corrélation. Donc, si toutes les possibilités de corrélations sont éliminées sauf une seule, alors celle qui reste doit être la solution.

3— Transitivité : il y a transitivité de relation entre les items corrélés* : ce qui est vrai pour un item est aussi vrai pour l’item corrélé. Donc, si une corrélation est établie entre deux items, il faut transposer les négations ou les affirmations déjà attribuées à l’un des items de la corrélation à l’autre item de cette corrélation.

* La transitivité est un principe mathématique qui se rapporte au valeur équivalente et qui s’articule comme suit : si a = b et que b = c, alors a = c. Or, en vertu du fait que les items sont corrélés de façons exclusives les un aux autres, implique qu’ils soient équivalent. Car, si ce qui est corrélé à un item lui appartient de façon nécessaire et unique, alors l’un n’existe pas sans l’autre ; ils sont équivalents, alors ils sont transitif.

4— L’exclusion par égalité correlationnelle : si deux* items d’une catégorie ont les même possibilités de corrélations, alors il faut éliminer les possibilités de corrélations restantes.

* Il pourrait s’agir de trois dans le cas où il y aurait six items par catégorie.

5— L’exclusion par corrélations contradictoires : si un item d’une première catégorie a deux* possibilités de corrélation avec deux autres items d’une deuxième catégorie, mais que ces deux possibilités de corrélation sont des exclusions avec un item d’une troisième catégorie, alors on peut exclure cet item de la troisième catégorie de la première catégorie.

* Il pourrait s’agir de trois dans le cas où il y aurait six items par catégorie.

Les trois premiers principes sont fondamentaux au fonctionnement de la grille, alors ils se retrouveront de façon nécessaire dans toutes les énigmes qui se résout à l’aide d’une grille d’analyse. Quant aux deux derniers (4e exclusion par égalité corrélationnelle et 5e exclusion par corrélations contradictoires), ils ne s’appliquent pas systématiquement à toutes les énigmes de type intégramme, car ils dépendent de la façon dont s’articulent les indices et du niveau de difficulté de l'énigme. Heureusement d'ailleurs, car le dernier principe (exclusion par corrélations contradictoires) est plus difficile à repérer sur la grille ; il se retrouve dans toute sorte de configuration et est parfois bien dissimulé.

Principes d'inférences à appliquer lorsqu'on émet des hypothèses

Lorsque la grille est remplie et que vous ne pouvez plus rien déduire à partir des principes d’inférences liés à la grille, il faut se rabattre sur les indices pour tenter d’y tirer des informations supplémentaires. Et c'est d'autant plus vrai lorsque vous n’avez même pas de grille pour vous aider à résoudre une énigme. La manière de procédé est alors d’émettre des hypothèses sur des corrélations probables afin de voir s’ils correspondent aux informations déjà établies. La logique propositionnelle analyse justement ce genre de circonstance et c’est à partir de cette analyse que nous pourrons établir des principes d’inférences.

En logique propositionnelle, une hypothèse se présente sous la forme d’une phrase (proposition) dite conditionnelle ou hypothétique ; une proposition qui se formule avec les deux conjonctions « si » et « alors » :

Exemple : S’il pleut, alors il y a des nuages.

Analysons ensemble la structure de cette hypothèse :

En logique propositionnelle, tout ce qui vient avant la conjonction « alors » s’appelle l’antécédent et tout ce qui vient après s’appelle le conséquent. Pour analyser les implications de l’antécédent sur le conséquent, on confronte l’antécédent et le conséquent en les mettant sous la forme d’un syllogisme. Un syllogisme est une opération logique qui consiste à tirer une conclusion à partir de deux propositions ; les prémisses. C’est-à-dire que nous allons utiliser en première prémisse notre proposition conditionnelle de départ (S’il pleut, alors il y a des nuages) et nous allons la confronter, en deuxième prémisse, avec son antécédent ou son conséquent.

Ex. : (Prémisse 1) S’il pleut, alors il y a des nuages ; (Prémisse 2) Or, il pleut ; (Conclusion) ?

Maintenant, avant de poursuivre et pour des raisons de clarté, nous allons introduire certains symboles qu’utilise la logique propositionnelle. Par convention, l’antécédent devient la lettre « P » et le conséquent devient la lettre « Q » et l’on remplace la conjonction « alors » par ce symbole « → » pour signifier que l’antécédent implique la nécessité du conséquent. Donc, notre phrase de départ sera maintenant « P » (pour [s’il pleut]) et « → » (pour [implique]) et « Q » (pour [il y a des nuages]) :

P → Q

Maintenant nous allons voir comment s’articule notre hypothèse dans un syllogisme. On affirme donc d’abord notre phrase de départ en première prémisse, puis l’on affirme l’antécédent en deuxième prémisse (voir le premier exemple de proposition conditionnelle). Que peut-on conclure ? Eh bien, on ne peut que conclure « Q », parce que l’implication de « P » implique nécessairement « Q » ; s’il pleut, il y a nécessairement des nuages :

(Prémisse 1) P → Q ; (Prémisse 2) or, P ; (Conclusion) donc, Q.

Il s’agit ici de notre premier principe d’inférence : modus ponendo ponens ou preuve par l’antécédent. Si vous êtes en mesure de démontrer que « P » est vrai, alors vous prouvez que la possibilité de corrélation « Q » est vraie.

Nous allons introduire maintenant le symbole « ¬ » qui représente la négation en logique propositionnelle. Alors, lorsqu’on voit ce symbole avant une lettre, cela signifie que la chose qu’elle représente est niée. Donc (¬Q) veut dire qu’il n’y a pas de nuages.

Alors, qu’arrive-t-il si l’on nie le conséquent ?

P → Q ; or, ¬Q ; donc, ¬P.

En effet, si l’on nie le conséquent, la situation « P » est fausse. Si vous mettez le nez dehors et qu’il n’y a aucun nuage (¬Q), alors cela implique qu’il ne pleut nécessairement pas (¬P). Il s’agit maintenant de notre deuxième principe d’inférence : modus tollendo tollens ou preuve par contradiction. Donc, quand votre possibilité de corrélation « P » implique « Q », mais qu’il a déjà été établi que « Q » est impossible (¬Q), alors votre hypothèse « P » est fausse (¬P) et vous pouvez alors exclure « P » en tant que possibilité de corrélation (voir l'exemple de résolution ici).

Par ailleurs, qu’advient-il si l’on nie l’antécédent :

P → Q ; or, ¬P ; donc ?

Eh bien, il n’arrive rien. Car il n’est pas valide de nier l’antécédent ; s’il ne pleut pas, il est tout de même possible qu’il y ait des nuages et tout aussi possible qu’il n’y ait pas de nuages ! On ne peut rien conclure. Ce n’est donc pas un principe d’inférence, car il n’est pas valide. Par contre, il est important de se souvenir de ce faux raisonnement, parce qu’on utilise souvent ce procédé pour nous faire croire des bêtises. Par exemple, un politicien vous dirait : « Mon parti veut refaire toutes les routes du Québec. Donc, si vous ne votez pas pour moi, alors on ne refera pas les routes de votre région. »

De même si l’on affirme le conséquent :

P → Q ; or, Q ; donc, ?

Encore une fois, on ne peut rien conclure, car, s’il y a des nuages, il peut tout aussi bien pleuvoir ou ne pas pleuvoir. Et, encore une fois, retenez bien ceci parce qu’on utilise souvent ce faux raisonnement, consciemment ou non, pour justifier une prise de position. Par exemple, j’ai déjà entendu ceci : « S’il y a trop d’émigrants, il n’y aura plus d’emplois pour nous. Le taux de chômage est si élevé que ça ne peut être que de la faute des émigrants. »

Un autre principe d’inférence est reductio ad absurdum ou preuve par l’absurde. Il fonctionne de la même manière que la modus tollendo tollens dans la mesure où il nie le conséquent (¬Q), mais pas parce que l’implication « Q » a déjà été démontrée fausse, mais parce que « Q » mène à une absurdité. Par exemple, à cause du principe d’exclusivité, il ne peut y avoir qu’une seule corrélation possible par catégorie. Alors, si une possibilité de corrélation « P » mène à deux possibilités de corrélation pour un même item d’une catégorie, cela impliquerait que « Q » est à la fois vrai et faux (Q et ¬Q) ; ce qui est absurde. Alors, on peut exclure cette possibilité de corrélation, car elle mène à une absurdité :

P → Q ; or (Q et ¬Q) ; donc, ¬P.

Le dernier principe d’inférence est la preuve par cas. Il s’agit du même procédé que modus ponendo ponens, car on prouve le conséquent en prouvant l’antécédent, mais cette fois-ci il s’agit d’une série de propositions dont l’implication est « Q ». Autrement dit, s’il n’y a qu’un nombre fini de possibilités « P1, P2… Pn », mais que ces possibilités mènent à la même implication « Q », alors on peut être certain de cette conclusion.

(P1, P2 … Pn) → Q ; or, (P1, P2 … Pn ) ; donc, Q.

Voici donc, en résumé, les quatre principes majeurs d’inférences qui vous permettent de déduire des faits à propos des indices de tous les genres d’énigmes :

Preuve par l’antécédent (modus ponens) : si vous démontrez « P », vous prouvez « Q » ;

Preuve par contradiction (modus tollens) : si vous démontrez « ¬Q », vous prouvez « ¬P » ;

Preuve par l’absurde (reductio ad absurdum ou modus tollens) : si vous démontrez « Q et ¬Q  », vous prouvez « ¬P »  ;

Preuve par cas (modus ponens) : si vous pouvez démontrer que toutes les possibilités « P1, P2 … Pn  » mène à « Q », vous prouvez « Q ».

En conclusion

Tous les éléments qui sont abordés sur cette page se retrouvent dans les solutions détaillées qui seront accessibles sur la page des énigmes. Vous serez donc à même de voir de quelle manière ces principes s’articulent dans la résolution des énigmes. Il n’est donc pas nécessaire de les apprendre par cœur. La logique se développe par la pratique et l’application de ses principes se fera tout naturellement à mesure que vous résoudrez des énigmes. Si toutefois vous avez des questions à propos des techniques de preuve ou si vous éprouvez des difficultés à résoudre des énigmes n’hésitez pas à m’écrire à : docsibyllin@gmail.com

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