Решение уравнения методом Монте-Карло на языке программирования

Цели:

Повторение основных понятий языка программирования
Изучение методов практического проименения программирования для решения прикладных задач
Знакомство с метоом Монте-Карло для поиска площади геометрической фигуры произвольной формы (интегрирования функции)

Метод Монте-Карло

$\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx$

Предположим, требуется вычислить определённый интеграл

Рассмотрим случайную величину

, равномерно распределённую на отрезке интегрирования . Тогда также будет случайной величиной, причём её математическое ожидание выражается как

$\mathbb{E}f(u)=\int\limits_a^b f(x)\varphi(x)\,dx$

$~\varphi(x)$

$\frac{1}{b-a}$

, где — плотность распределения случайной величины , равная на участке .

Таким образом, искомый интеграл выражается как

$\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx = (b-a)\mathbb{E}f(u)$

Но матожидание случайной величины можно легко оценить, смоделировав эту случайную величину и посчитав выборочное среднее.

Итак, бросаем

$\frac{1}{N}\sum^{N}_{i=1}f(u_i)$

точек, равномерно распределённых на , для каждой точки вычисляем . Затем вычисляем выборочное среднее: .

$\int\limits_{a}^{b}f(x)\,dx\approx\frac{b-a}{N}\sum^{N}_{i=1}f(u_i)$

В итоге получаем оценку интеграла:

Точность оценки зависит только от количества точек .

Этот метод имеет и геометрическую интерпретацию. Он очень похож на описанный выше детерминистический метод, с той разницей, что вместо равномерного разделения области интегрирования на маленькие интервалы и суммирования площадей получившихся «столбиков» мы забрасываем область интегрирования случайными точками, на каждой из которых строим такой же «столбик», определяя его ширину как

$\frac{b-a}{N}$

, и суммируем их площади.

Язык программирования Pascal

Web-среда программирования на языке Pscal - PascalABC

mc.pas

program mc;

var a,b,c,x1,x2,sum,S:real;

N,i:integer;

function ui(x:real):real;

begin

ui:=abs(a*x*x+b*x+c)

end;

BEGIN

write('x1,x2,a,b,c,N: ');

readln(x1,x2,a,b,c,N);

sum:=0;

randomize;

for i:=1 to N do sum:=sum+ui((random(round((x2-x1)*1E5)-x1*1E5))/1E5);

S:=sum/N;

writeln('Площадь: ', S)

END.

Язык программирования С

Среда разработки на языке C и C++ -

Углубленный уровень изучения

Инсталлятор Dev-C++ 4.9.9.2

Задание:

Рассчитайте площадь фигуры на отрезке [x1;x2], ограниченную осью x и функицией

mc.c

#include <stdio.h>

#include <math.h>

#include <stdlib.h>

#include <time.h>

float a, b, c;

float ui(float x);

main() {

srand(time(NULL));

printf("Введи x1, x2, a, b, c, N: ");

float x1, x2;

int N;

scanf("%f%f%f%f%f%d", &x1, &x2, &a, &b, &c, &N);

int i;

float S=0;

for(i=0;i<N;i++) S+=ui((float)rand()/RAND_MAX*(x2-x1)+x1)*(fabs(x2-x1));

float s=S/N;

printf("Площадь фигуры: %.4f", s);

}

float ui(float x) {

return fabs(a*x*x+b*x+c);

}

Домашнее задание:

Напишите программу вычисления трапеции на отрезке [x1;x2], если нижнее основание фигуры ограничено осью x, верхнее - линией, заданной функцией f(x) = kx+p.

Google Sites

Report abuse