Про ряд Тейлора

Библиография

[1] Лекции по математическому анализу Феоктистова В.В.

[2] II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного.

[3] V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Ряд Тейлора

Очень фундаментальная штучка для численных методов и всей непрерывной математики вообще. Названа по имени английского математика Б. Тейлора (1685-1731). Данную форму мне вывел проф. Феоктистов на лекции. Она напоминает форму Шлёмильха Роша.

Мы можем выбирать параметры p,n.

Но параметр teta будет некоторым числом в открытом отрезке (0,1), на которое мы не можем повлиять.

Шаги док-ва для вывода формы остаточного члена R(x):

1. Представим f(x)=T(x)+R(x)

Т.к. f(xo)=T(x0) => R(xo)=0 =>

Мы точно не знаем M(x). Дальше идёт интересный трюк - мы как бы фиксируем значение "x0" и "x"

2. Рассматриваем разность между функцией f и её представлением для Теоремы Тейлора: F(t(=x))= (f(t) - (Т(t)+(t-x0)^p M(t)) получаемого разложение ряда Тейлора в точке t.

3. F(x) = 0, F(xo) =0 => по Теореме Ролля существует точка в открытом интервале (x0, x) в которой F'(c)=0.

Дифференцируя функцию F и представляя точку с как

мы получим в результате формулировку Теоремы.

Остаточные члены:

1. В форме Лагранжа p=n+1

2. В форме Коши p=1

3. В форме Пеано -- R(x)=o((x-x0)^n), т.е. остаток более малая величина по сравнению с (x-xo)^n

p.s.

Определение остаточного члена с Википедии http://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Тейлора

1. Не соответствует приведённому здесь

2. Не совсем понятно как получается остаточный член в форме Коши из определения с википедии.

Ряд Тейлора для функции многих переменных

Например для скалярной функции двух аргументов вид разложения будет такой:

Замечания

1. Доказательство верности формулы базируется на обычном формуле Тейлора для функции одного скалярного аргумента посредством рассмотрения точек отрезка [a, a+dx*t]

2. Увы, но если быть абсолютно честным то Теорема Тейлора с остаточным членом в Форме Лагранжа перестаёт быть верной для случая векторной функции скалярного аргумента. Контрпример - [3, стр.111]