Дифференциальное и интегральное исчисления

0. Библиография

[1] "V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных, издание 2000-го года"

1. Дифференциальное исчисление функции многих переменных

1. Формула конечных приращений, она же линейное приближение функции, выводимая из формулы Тейлора в многомерном случае

Правда для случая если под понимается ввиду кортеж функций f, то формула перестаёт быть верна контр-пример: 

[V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных, стр.108]

2. Дифференциал k-го порядка удобно записывать в виде

3. Функцию многих переменных называют непрерывной в точке a если существует предел фукции по множеству A равный значению функции в этой точке. Т.е. точка а не только принадлежит области A, но и является предельной точкой отображения f. Хотелось заметить что для функции многих переменных "стремление" к a может происходить вообще говоря по любой "кривой" в области определения. 

4. Матрицей Якоби, названную в честь немецкого математика Якоби (1804-1851) названа матрица частных производных отображения f '(x), играющая аналогичную роль производной в случае скалярной функции.

Запись совпадает с построчным записей градиентов функций входящих в многомерное отображение. В дальнейшем матрица будет записываться как F'(x)

Достаточна эксплуатируемой в инженерных и научных изысканиях имеет место матрица, названная в честь немецкого математика Гёссе (1811-1874). Составленная из вторых частных производных. В дальнейшем матрица будет записываться как F''(x)

7. Про формулы численного интегрирования. 

Порядок точности метода - ошибка в решении диф.ура при фиксировааное шаге сетки. 

Порядок аппроксимации - сравнение невязки метода с шагом сетки. При достаточно общих предположениях порядок точности совпадает с порядком аппроксимации.

8. Формула Рунге-Кутта второго порядка точности для решения системы дифференциальных уравнений y'=f(x,y) с постановкой задачей Коши. Область по x в которой ищется решение делится регулярной сеткой с шагом h.

Alpha=1

Помимо расчётов связанных со схемой второго порядка точности используются схемы четвёртого порядка

Пятичленные формулы обладают так же четвёртым порядком точности, шестичленные обладают шестым порядком но их вид весьма сложен.

9. Для скалярной функции многих переменных вводится понятие производной по направлению. 

Где a-вектор аргументов, n - нормализованный вектор, указывающий интересующее направление.

10. Градиент - вектор составленных из частных производных функций f по всем аргументам.

В 9 производная по направлению определяется односторонним пределом. Однако обходя с математической точки зрения этот момент аккуратно, и применяя (5) можно получить выражения связывающее градиент и производную по направлению

11.  Пусть имеется поверхность F(x,y,z) = 0; и на ней задана параметрическая кривая от параметра t => F(x(t), y(y), z(t))=0. Дифференцируя функцию по t получим grad F * (касательная годографа описывающего кривую) = 0.

Таким образом grad F ортогонален любой кривой лежащей на поверхности. Таким образом gradF указывает нормаль поверхности.

12. Тронем вопрос из раздела математики "геометрия поверхностей". Определим поверхность как область заданную гомеоморфизмом (по сути непрерывная биекция) из UxV=>RxRxR, назовём этот отображение через Ф. Т.е. поверхность задаётся в U,V координатах.

Кривая на поверхности задаётся как x(t), y(t), z(t). Т.к. любая точка на поверхности однозначно задаётся своими u,v координатами, то кривую можно задать как u(t), v(t).  Объединим u, v в аргументы векторной функции скалярного аргумента 

S(t) = (u(t), v(t))

=>

r(t) = Ф(S(t))

Согласно правилу дифференцирования r'(t)=Ф' * S'  или в не матричной форме:

Таким образом любой касательный вектор есть линейная комбинация двух колонок матрицы Якоби функции Ф.

Или что равносильно вектор нормали к поверхности равен

2. Решение систем нелинейных уравнений

1. Каноническая форма одношагового итерационного метода решения системы нелинейных алгебраических уравнений.

или же в разрешенном виде относительно X(N+1)

Если F(X)=Ax-B то приведённая выше форма задаёт каноническую форму одношагового итер. метода для решения СЛАУ.

Если итерационная последовательность X{i} сходится к пределу то как видно из формулировки данный предел является решением изначальной системы.

Кокретный метода определяется выбором B, и t. Известные методы:  

Метод релаксации: B(N+1)=E, t(N+1)=const

Метод Ньютона: B(N+1)=F'(x(N)), t(N+1)=1. При достаточно общих предположениях сходится локально с высокой скоростью.

После перегруппировки слагаемых можно получить F'(x(N)) * dx = -F(x(N)), который так же называется методом линеаризации.

Метод Бройдена

Данные методы в некотором смысле линейны, т.к. связаны с обращением матрицы B. И на каждом шаге представляют собой решение СЛАУ.

Так же существуют нелинейные методы, нелинейные вообще по своей сути.

Нелинейный метод Якоби

Берём из системы уравнений очередное k-ое уравнение. Фиксируем все X-ы кроме k-го значениями с предыдущего шага.

Для определения же X k-го, проиводим решение нелинейного уравнения Fk(x1,..., Xk, ...., xn)=0 одним из известных методов решения нелинейного уравнения.

Нелинейный метод Зейделя

Берём из системы уравнений очередное k-ое уравнение. 

Фиксируем все X-ы от 0 до k-1 уже посчитанными значениями с этого шага. 

Фиксируем все X-ы от k+1 до N уже посчитанными значениями с предыдущего шага.

Для определения же X k-го, производим решение нелинейного уравнения Fk(x1,..., Xk, ...., xn)=0 одним из известных методов решения нелинейного уравнения. (На пример метод Ньютона, метод секущих, метод деления пополам)

3. Решение Систем линейных уравнений

Для СЛАУ Ax=b можно показать, что вариация решения dx=A**-1 (db-dA*x).

В таком случае если элементы обратной матрицы велики или вообще det(A) достаточно мало, то система плохо 

обусловлена.

Метод Гаусса требует для решения СЛАУ примерно 2/3*N*N*N арифметических действий.

Число обусловленности := norm(M)/norm(M^-1). Если норма матрицы кольцевая, то c(AB)<c(A)c(B) и => с(A)>1

Для спектральной нормы, число обусловленности равно отношению модулей максимального собственного числа и минимального.

4. Интегральное исчисление

1. Центр масс плоской фигуры может быть найден как

5. Нюансы

1. В многомерном случае наличие частных производных является лишь необходимым условием дифферцируемости функции, т.к. возможности её локально представить в линейно виде. [1, стр.83]

2. Если функция имеет все частные производные и все они непрерывны то функция диффернцируема в точке.

3. Через C^1 обозначают функции которые имеют непрерывные частные производные. Я частенько забываю про требование непрерывности. Хотя оно важно.