大學與高中數學教學落差 Survey Report (I)

中華民國數學會教育議題工作小組召集人 林俊吉

　　許多數學界的同仁都注意到，近年國內數學研究所的招生無論是質與量都明顯下滑，大學部的學生也有學習落差、適應的問題，隨著大學的不同，這些差異甚至十分顯著。另一方面，有些大學的數學相關系所亦已更名，部分傳統的數學核心必修課程也有消失或改為選修的現象。許多人認為讀數學、懂理論，對個人的未來與社會的發展是沒有什麼用處的。但反過來看近一、二十年來的世界潮流，無論從相當熱門的金融數學還是當紅的人工智慧、大數據，許多的趨勢報告（例如 Career Cast）都透露，掌握數學的知識、能力與學位，對於未來個人職涯的發展有極大的優勢。

　　從教育的立場，我們不應該將數學的學習與個人職涯發展畫上等號，但上述的落差我們應該正視，甚至探討，為何學校教育系統裡的數學教學與時代的趨勢有如此大的反差甚至有逆向發展的呈現呢？

　　中華民國數學會基於對台灣數學的領域發展與學生在數學學習現況的憂心，認為應該積極提供平台以促進對於上述問題的討論與對話，進一步協助釐清問題與提供因應之道。我們了解不同的大學所面臨的發展困境不盡相同。我們評估，這些問題牽連廣泛，從學校教育現場、學術發展現況、數學文化生根、到社會與產業發展等，是複雜且彼此交錯關聯的。中華民國數學會教育議題工作小組便是在對於這些問題的憂心下成立的，目前我們跨出的第一步是選擇關注大學端微積分的教學現況，從今年的5月中下旬開始，針對近5年在各大專院校教授過微積分約400多位教員，發送意見調查。目前初步回收了229份回覆意見（7月初的統計），刻正整理、分析中。未來也歡迎對此議題有熱情的數學界同仁加入討論。

　　為了廣泛收集各方高見，我們將持續接受回覆意見，若有遺珠之憾，未收到邀請填寫函的數學界同仁，敬請直接聯繫中華民國數學會秘書: Ms. 吳佳臻 tms@math.ntu.edu.tw

　　底下是這份意見調查的邀請填寫說明、問題。教育議題工作小組將在下一期提出完整的報告，包括後續進展，詳細的分析，及進一步的討論。

大學與高中數學教學落差問卷

　　近年教改不斷變革，影響所及，大學之前的數學教學內容也持續變化。而大學端第一線教授微積分課程同仁的抱怨與挫折亦時有所聞。為了讓分散在不同時空的意見更加凝聚、具體，甚至更有改變政策的參考價值，中華民國數學會懇請各位授課教師協助我們留下您寶貴的教學經驗與意見。我們將做深入的整理與分析，這樣不但能回饋各位，更可做為未來數學會以國內最高專業數學家組織在參與教育政策的討論與擬定時，提供彌合大學與高中數學教學落差的重要參考資料。

　　底下是一些簡單的可能提示，或許可以協助釐清您的經驗或意見，讓回覆更為聚焦。您不見得要逐條回答，當然任何其他意見我們也都非常重視。必要時，請特別註明您所提之意見是針對數學系學生、理工科學生、或其他領域學生。

1. 你在教學歷程中對於大一新生特質的特別感受，不論正面或負面皆可，以能引起您的觀察興趣為重點。

2. 您最不滿意學生缺乏而高中理應培養的數學能力。(若無則免答)

3. 教學時，您相當訝異學生竟然高中之前沒有學過的數學知識，越具體的細節對我們越有幫助。請在下面的Ⅰ. Ⅱ.子題填入附表上各能力項目的代號。例如：若選「極限比較與夾擠定理」、「極坐標」時，可只填入4.1、7.2即可。請參閱「理工科大學修習微積分應有的先備知識與能力指標」

I. 重要但學生基礎薄弱

II. 對微積分不重要

III. 其他沒列入附表上的能力項目

4. 您通常如何處理這類教學落差？尤其是您認為大部分學生的數學能力不足或學生差異很大的時候。(若無則免答)

5. 關於不同招生管道的差異性，您個人的感受。

6. 您覺得特別值得分享給其他老師的教學體驗。

7. 您覺得大學端本身可以在大一階段做的調整或措施，進而改變現狀。

8. 您想建議教育部的意見。

附表連結:https://reurl.cc/Njx5lq

大學與高中數學教學落差 Survey Report (II)

中華民國數學會教育議題工作小組

1.前言

　　中華民國數學會本著關心臺灣數學領域發展與學生學習，積極提供平台以促進教育議題的討論與對話，期以協助釐清問題與提供因應之道。因此在這樣的的動機下成立教育議題工作小組，我們第一階段的工作原是希望訂定一些指標，結合部分理工科系申請入學的第二階段考試，促成選考理工科系大約前15%的高中生可以在數學有更扎實的準備。然而在瞭解現狀後，發現只有一些數學系及部分臺大系所在二階考試測驗數學，原來的方案窒礙難行。我們因此一方面構思成立教育資源平台，希望提供有興趣的學生可以自學的素材，並在這樣的背景下取得過去高中數學實驗本的電子檔，另一方面覺得有必要了解大學端微積分的教學現況，所以從2020 年的5 月中下旬開始，針對近5 年在各大專院校教授過微積分約400 多位教員，發送意見調查，並回收了大約230 份回覆意見。

　　在第36期電子報(http://www.tms.org.tw/tw/modules/filelist/download/get/170)曾刊載問卷的完整題幹內容，其中第1 題到第3 題偏重對學生高中數學知識背景的觀察，後面幾題則包括如何處理這類教學落差、特別值得分享給其他老師的教學體驗、覺得大學端可以在大一階段做的調整或措施、想建議教育部及其它意見等。受限於時間及篇幅，目前這份報告先僅針對第1題到第3題的回覆意見進行整理與解讀，雖然也已經對第4 題到第9 題的調查結果進行初步整理，但將留到後續的報告再彙整。我們計畫設置一個教育議題部落格，公布相關資料及進行中的工作，同時與數學界同仁透過這個園地有更多的交流討論。

　　在底下的分析，我們將大學粗分為二個組別，主要是依據大學入學考試理工科系大致的分數排序，第一組是在該排序上約略較前段且是傳統上的綜合型大學。歸類在第一組的大學有：臺大、政大、臺師大、中央、清大、交大、中興、中正、成大、中山，其它大學則列入第二組。做此分組的原因是在初步分析回覆意見時，發現到入學時不同學習表現的學生似乎有許多觀察上的差異，甚至有互相矛盾的地方。我們希望透過學校的分組，能更精準反應出不同層次的現象，以助於問題的分析。

　　當前臺灣的數學界面臨許多難題與挑戰，一方面在各方強調數學在AI 時代、量子電腦與計算來臨時的重要性時，也看到教育單位不重視數學的措施。教育議題工作小組除了針對高中到大學的數學落差進行意見調查與分析外，也十分關心其它的議題。例如，大學階段的數學課程（已有知名大學的工學院系所，縮減工程數學的必修學分），各數學系在教學、招生與其它面向也面臨許多不同的困難及挑戰，這些都是數學會教育議題工作小組未來希望能關注討論的議題。在今年數學年會我們將安排一場教育論壇，希望先針對此次「大學與高中數學教學落差」調查報告，與數學界同仁進行更深入與廣泛的討論。

　　這份報告探討的主軸是大學與高中數學教學的落差現狀，但論述過程中免不了會涉及高中數學課綱內容，針對部分理解不精確的部分，在徵詢負責課綱同仁的意見後已儘可能作出調整。由於大多數學界同仁對高中數學課綱並不熟悉，或許未來可以邀請曾參與過課綱訂定的同仁在電子報撰文向大家介紹說明。我們也期待未來有更多對教育議題有熱情的數學界同仁一起加入討論。

2.大學與高中數學知識落差

第2題題幹：您最不滿意學生缺乏而高中理應培養的數學能力。
第3題題幹：教學時，您相當訝異學生竟然高中之前沒有學過的數學知識，越具體的細節對我們越有幫助。

　　針對這次的「大學與高中數學教學落差」意見調查回覆意見整理，我們先呈現在大學教師心目中，因為高中數學教學差距而造成教學困擾的主要項目。在問卷上本來有兩個題目，第2 題針對比較關鍵性或急迫性的能力落差，第3 題則是藉由我們提供的課綱列表進行比較地毯式的調查。這兩題是本次問卷關於大學與高中數學知識落差的總結，因此底下將調查結果一起呈現。在這次的調查中，關於「大學與高中數學知識落差」部分，我們附上輔助大家填寫用的「綱要表列」。但不同於一般的問卷，我們是以開放式的問法呈現，而非一般作法針對每一項進行勾選問答。因此百分比的資料呈現意義上的解讀空間可以頗大。因此我們目前這份報告的寫法，比較像是針對問卷結果的說明與詮釋。但為了呈現答題者對某些議題回應的大致比率，我們也附上在意見調查第3 題的回覆中（全部11個子題），勾選回答比率最高的3個子題之比率，列在底下（該子題答題人數/第3 題全部有效答題人數）。

A. 基本邏輯能力：97/176
B. 三角函數：100/176
C. 函數觀念與能力：49/176

註：一般子題答題的回覆，大致上平均是31/176 上下。

A.基本邏輯能力:無法正確的閱讀、書寫及表達數學論述。

　　這是超過55%回覆之大學教師的共同意見(97/176)。邏輯思考不清晰，對於微積分所需的嚴謹論證過程將在學習上產生極大障礙。不少學生無法分辨數學命題的前提與結論（充分條件與必要條件），或者直覺知道卻無法正確表達。更嚴重的是某些高中或補習班老師的教學方式，很可能造成學生的數學推論反其道而行，從結論推回前提，而不是由前提推得結論。

　　另外由於大學之前的數學教育多以解題訓練為主，對於數學證明的書寫、理解與要求相對下降，數學作業或測驗更多採選擇題或填充題，缺乏思考與論證之練習。這些都導致學生進入大學學習微積分或高等數學時，面對問題或課本的論證往往無所適從。邏輯能力的缺乏尤其衝擊數學系或應用數學系學生的數學訓練。這些現象在近20年似乎有更趨嚴重的傾向，或許由於測驗方式改變、課程安排、教學時數減少、老師不再要求等因素影響，大學教師普遍觀察到大一新生在基本邏輯、反證法與數學歸納法方面的能力都嚴重弱化。

B.三角函數:對三角函數不熟悉，包括積化和差、和差化積以及反三角函數。

　　這是所有子題中，勾選回覆最高的項目（100/176=57%）。事實上，反三角函數從高中課程刪除已久，在99 課綱則首次將高中三角課程拆成兩部分，在高二上學習三角比，高三上學習三角函數。這樣的安排是基於考招制度的分割，但是高三上學期的數學內容僅被指考涵蓋，而目前已經有超過六成的理工學生是透過推甄申請入學，囿於這些因素，許多學生對三角函數的概念只停留在銳角三角函數（也就是三角比範圍），無法掌握微積分課程預設以廣義角概念為基礎的三角函數。99 課綱在高二介紹的三角比僅限於sin、cos、tan，到高三才學習剩下的cot、sec、csc 三角函數。這樣的分拆延續到最新的108 課綱，只是時間點分別提早到高一與高二。如此安排雖然讓學生學習坡度變得較為平緩，但對三角函數的整體性學習卻也造成破壞和影響。在這次調查中，許多大學微積分教師非常訝異有些學生幾乎不知道cot、sec、csc 這三個概念。目前108 課綱的安排，雖然將 cot、sec、csc 移到高二，但僅介紹這三個函數的定義與圖形，並未進一步探討它們的性質與相關恆等式，且課綱聲明這三個函數不列入大考的範圍。

　　微積分中時常使用的三角公式也是學生基礎薄弱的地方。從99課綱開始僅保留和差角、倍角、半角等公式，而不再介紹和差化積與積化和差公式。在意見調查回覆意見中，有許多大學老師對於學生不熟悉（一般）三角函數、極坐標、反三角函數等三角相關課題感到不解，上述課綱內容的刪減造成學生對這些內容沒有較為完整的學習，但顯然有些大學老師並未了解這個狀況，透過這次意見調查，我們發現這是一個極需要提醒微積分授課教師注意的地方。本次調查之學生在高中階段仍使用99課綱，三角函數題材拆成前後兩部分，造成三角函數的學習無法一氣呵成。值得注意的是，在108 課綱中「指數與對數」題材也被分拆成兩部分。為了高二的分流，課綱在高一時，對數只介紹表徵不涉及操作（例如對數律），要到高二才討論完整的指數對數公式與函數。另外，108 課綱強調指對數都以10（或2）為底數來處理，其餘指對數就以對數的換底公式來因應，對於指數遞減的模型，相對上討論少許多。這些高中生未來進入大學後，在指數對數題材是否也會出現類似三角函數無法完全掌握的現象，值得再深入關注。

C.函數觀念與能力:函數基本概念不足。

　　回覆意見中也有接近三成的大學老師提到此點。函數概念是微積分的重要基礎，雖然高中數學一般都會介紹多項式函數、倒數函數、指數與對數函數、三角函數等基本函數，但對多數學生來說，這些基本函數只是某種計算的對象與工具，缺乏對函數基本概念的理解，也多半不熟悉函數操作與相對應圖形平移、縮放的意義。

　　三次以上多項式函數與三角函數圖形的探討在99課綱是放在高三，如前述高三上學期的數學內容僅被指考涵蓋，造成許多學生輕忽這些內容。目前實施的108 課綱雖然將三次函數的圖形討論置於高一，但由於學生尚未習得微分的工具，無法在學習時處理三次函數圖形關於極值點、反曲點的內容，也將造成學習的不連貫。

D.其他:

　　在本次調查裡，教師們對於其他項目也有回饋，只是不如前三項集中。其中包括遞迴關係、部分分式分解等。遞迴關係牽涉到微積分的函數列與函數級數單元，可視為高中教材的進一步延伸。而部分分式分解則牽涉到多項式、分式函數的操作熟練度，因此就其關鍵能力而言，反映的是目前學生計算訓練普遍不足，對於基本操作如四則運算或移項等都不像以前的學生能熟練完成，這似乎也是高中階段應該可以好好加強的。

3.大一新生特質:學習態度與數學能力

第1題題幹：教學歷程中對於大一新生特質的特別感受。

意見調查的第1題則是針對大學教師對近年大一新生特質的觀察調查，我們主要是從學習態度與數學能力這兩個面向進行總結。

A.學習態度

• 第一組學校：

(a) 科系對數學的需求與科系的學習風氣對學生學習態度有密切影響。
　　不同學院學生的學習態度具有差異性，但系所學習風氣亦造成很大的影響。理工電資學院大一新生學習態度較為專注，有較高的學習動機，對課業充滿好奇，自我意識強且勇於表達，基礎好的同學很積極參與課程，與老師有較多的互動。部份學院例如生科、農學或管理學院的學生學習動機較弱，求知慾和企圖心較低，不清楚學習微積分的目的，及與其他科目發展的關聯性，可能和該科系未能對學生詳加說明整體課程規劃有關。

(b) 大一初期學習態度較主動積極，而後逐漸下降。
　　高三階段學生已經初步接觸微積分（雖然不夠嚴謹完備），因此較能掌握大學微積分課程剛開始的內容，態度也顯得積極，但也因為課程內容和高中的重複，很容易導致專注力漸漸下降。之後即使課程開始轉向新概念，學生卻常因參與系上、球隊、社團或其他活動，佔去更多學習時間，學習態度往往大幅鬆懈卻缺乏警惕。到了下學期，微積分課程進入全新內容，學生的能力已經無法應付。

(c) 缺乏挑戰心態和專注力，獨立性亦較弱。
　　認真積極的學生雖然充滿求知慾與好奇心，而且照理說網路世代應該更有自我學習和尋找課外資源的能力。但相對於過去的學生，現在的學生卻比較缺乏自學能力，往往處於為考試和成績而讀書的被動境地，學習多半只練習考古題，關心考試的範圍，欠缺學習的主動與完整性。同時，數學程度較差的學生則處於半放棄狀態，大部份學生仍然停留在高中階段的學習模式，無法建立自己有效的學習方法及習慣。

(d) 部份學生能主動規劃未來發展方向。
　　與十年前情況相比較，現今學生更懂得主動尋找規劃未來的發展方向，即使一開始進入非理想的科系，在大二之前已有部份學生休學重考或訂立轉學、轉系、修讀輔系或雙學位的計畫。

• 第二組學校：

(a) 學習動機不強、專注力不足、意願薄弱消極。
　　整體而言，問卷反應出第二組學校的學生學習態度幾乎皆為負面感受，許多老師反映學生的學習動機不強或學習意願薄弱消極，未能將電子產品如手機等轉換為協助學習的工具，反而造成學習干擾，專注力不足。這似乎和學生入學的數學程度不佳，學習困難有直接關係。

(b) 部份學生不能主動規劃未來發展方向。
　　有老師反應學生不在意自己就讀的科系與興趣是否相符，缺乏學習動機時亦不積極規劃轉系或重考，或許這和學生不知進入大學的真正目的為何有關，這一現象和第一組學校的學生態度有較大差別。

B.數學能力

• 第一組學校：

(a) 學習表現與學生出身背景或入學管道有關。
　　第一組學校學生大致上數學基礎能力還算不錯。一般來說，微積分教師無從得知個別學生的入學是通過學測或指考，因此無法判斷入學管道與學習表現上有無關係。不過，倒是有教授觀察到，有些科系招收部份的文科生、高職生、外籍或僑生，這些學生的數學基礎較弱，微積分學習表現欠佳。另外，根據北部某一所知名綜合型大學的統計資料顯示，學測數學成績與當年度大一微積分成績、GPA 等幾乎完全無關，比較相關的反而是語言能力科目如國文和英文。此外，繁星入學的學生入學分數或許較低，但學習態度和成效反而較好。不過，以該大學理工科系學生入學時的數學學測成績平均約有14 級分以上來說，這個表面上與直覺相反的現象，似乎顯示學測數學成績對於數學表現前段學生的鑑別度不足。但本質上學測原本的設計就只是門檻型測驗，因此單從學測成績來進行鑑別有其本質上的困難。

(b) 學習心態和學習方法需要調整。
　　學生沒有真正學習的志向和精神，許多只為考試而學習，大部份傾向於如何解題而非思考問題的解決過程，觀念理解較弱，無法完整回答問題。大量計算能力、邏輯推理能力、語文閱讀和表達能力皆需要再加強。部分學生要求快速解法，甚至有部份大一新生要求老師上課模式比照補習班使用講義，喜歡運用公式操作，卻不明白其意義與推導。

• 第二組學校：

(a) 學生來源背景不同程度差異大。
　　部份學校可能有招生壓力，學生的來源差異性大(高職生或文組學生)，導致背景知識不足，部份學生基本的邏輯推理及計算能力明顯不足、也缺乏閱讀文字的能力，學生程度差異大。

(b) 數學基礎能力不佳，理解能力逐年下降。
　　學生欠缺深入的思考能力，對理論和抽象思維接受度不高，基本數學符號的理解相當薄弱，不重視計算過程，只注重得到最後的答案，也無法確認答案的對錯。一般很難完整的寫出計算流程及細節，無法清楚寫下要表達的數學敘述。另外，英文能力不佳似乎也是數學學習的一大障礙。這些現象反映出第二組學校微積分教學現場所面臨的困境。

4.結語

　　該如何面對大學教師期待與新生數學背景的嚴重落差，及採取哪些因應對策，是我們迫切需要討論並採取行動的議題，這在不同學校所面對的情況也極可能大不相同。許多老師在第4、6-9題的回答中給了相當多建設性的意見，教育議題工作小組已經對此做了初步整理，希望後續能很快提出報告和數學界同仁更廣泛討論，共同訂出行動方針。這些建議大抵包括幾個面向: (1)了解學生背景，有適當網頁整理及解釋課綱，對學生進行先測，及課程分級。(2) 另開「基礎數學」、「pre-calculus」之類的課程作為補救措施。(3) 鼓勵學生及進行心理建設，並將課程進行方式及內容做適當調整。(4) 提供輔助教材如錄製影片、電腦繪圖及模型等，和教學輔助資源如助教、臉書或Line群組提供諮詢，與演習課等。(5) 其它也包括建立高中老師和大學老師之間的溝通管道，提高高中教學時數及對高中數學教育改進的建議等。(6) 建議教育部提供經費由各大學辦理微積分教學輔助措施。

　　有些好建議，例如另開「基礎數學」、「pre-calculus」課程作為補救措施，或是將微積分調整為每學期3學分，一共3學期的課程，這其實與目前各系精簡必修學分數的大趨勢相牴觸，受限於外在大環境並不太容易實現。在臺灣「考試領導教學」的常態下，考招制度強烈影響中學教學現場。目前的大學入學考試，無論是學測或指考，選擇題的比率都很高，這對於高中生學習數學的態度與方式有很大的影響。另一方面目前已經有超過六成的理工學生是透過推甄申請入學，大多數科系在第二階段並沒有另外的數學筆試，許多學生只針對入學測驗時的學測準備，而只針對這類深度不足的數學考題所進行的學習，及未能扎實學習高三數學課程，上大學後將不足以應付理工領域的微積分課程。許多問題的根源其實來自未能因材施教及臺灣一體適用的制度，目前就讀高中及大學比例提高，其中許多學生確實在數學的學習上發生困難，但因此的簡化內容，也同時弱化了臺灣前端理工人才的訓練與競爭力。如何克服這個困境與挑戰，是臺灣不只數學界，而是整個國家的燃眉之急。

大學與高中數學教學落差　Survey Report (III)

中華民國數學會教育議題工作小組

前言

　　在許多學校，微積分都是學生正式接觸近代數學的第一步。由於微積分是數學理性思想應用於大自然，造就自然科學大歷史的肇始，其廣泛應用之重要性自不待言。更因微積分經過19 世紀第一代嚴格化的革命洗禮，逐漸轉換成20 世紀的現代風格，通常也是學生認識嚴格數學的起點。因此微積分教學的歷史也稱得上淵遠流長，歷代不乏重要的微積分教科書，但也隨其教學目標改變與教師訓練背景的更迭而出現很多不同的可能變貌。

　　另一方面，台灣進入大學的新鮮人也不是一成不變的群體，過去我們（年紀相去跨越30 年的我們）用以描述新鮮人（我們自己）的許多實際觀察，有許多都變成理想性的期望或是反過來不實際的窠臼陳詞。如果教育最重要的原理是從實際走向理想的教化過程，我們首先需要面對的就是新鮮人的實況。數學課綱在過去三十年所謂「一路棄守」，其實是台灣教育從菁英走向全民面對現實情況的必然妥協。局部上容或有棄守與否的爭執餘地，但從大處而言不免輕舟已過萬重山。

　　相反的，如果大學要維持相對獨立而多元發展的教育位置，或許就不該一直強求大學前的數學課綱要與大學的微積分教學順利接軌，畢竟我們連是否能以正式課綱的形式來規範各大學的微積分教學仍有極大的疑義（這次的調查或多或少證成了這件事）。因此或許更重要的事情是討論在現在的限制下，如何在大學圈內進行微積分以及其他相關的數學教學討論。數學會這次的嘗試，就是希望能更清楚地呈現出大學和高中之間的落差，目前微積分教學的現貌，而且希望能集思廣益尋求暫時的解決方案。我們更想強調，這種討論的機會不多，數學會的嘗試也是希望能建立一種數學家討論國內數學（教育）的模式，打造出日後針對數學議題能有效團結發聲的平台。

分析結論

　　本文的任務在分析數學會問卷的第二部分。在第一部分，我們大致釐清現在高中生的數學訓練和微積分教學所需知識之間的落差。在這一部分，我們繼續分析問卷的第4、5、6、7 題：

4. 您通常如何處理這類教學落差？尤其是您認為大部分學生的數學能力不足或學生差異很大的時候。( 若無則免答)
5. 關於不同招生管道的差異性，您個人的感受。
6. 您覺得特別值得分享給其他老師的教學體驗。
7. 您覺得大學端本身可以在大一階段做的調整或措施，進而改變現狀。

　　這個問題群圍繞大學端的微積分（或數學）教學，希望能藉由問卷知道台灣的大學數學教師的實務狀況，了解大家教學所遇到的問題、處理的方式、經驗的分享，以及對超越個人的組織決策的期待。

底下先敘述我們透過問卷所觀察到的結論，然後再將各題的分析結果附列於後。結論將把重點放在第7題的角度，儘量從大學端可能實際建置之措施著眼。其他許多與個人經驗比較相關（如4.與6.）的教材、教法、師生關係等，請見後面各題分析的綜述。

（一）建立precalculus機制/課程

　　基於台灣高中課綱與大學微積分先備知識之間的落差，以及外籍生或其他入學管道數學訓練與正常台灣高中數學之間的落差，大學端都應該進行某種形式的precalculus銜接課程，拉齊學生在進入正式微積分課程時的起跑點。目前大學教師針對這些教學落差，通常採用在課內補充或兼用課外輔導的方式來補救，但由於無法兼顧，許多都會壓縮到微積分正課的進度。而且明顯因教師不同，補救的強度有明顯差別。這種混亂的干擾，只要大學端能建立銜接課程，就能讓原來的微積分教學正常化。銜接課程通常需要某種能力檢測的機制，將未通過的學生送入銜接課程。至於銜接課程的形式，是有學分或無學分，時間的長度，線上或實體，暑假前或開學後，則宜由各大學依本身的條件決定。

（二）能力分班

　　有一定比率的教師認為大學教育並非國民教育，因此微積分應該實施能力分班，以收因材施教之效。目前大學一般將微積分分成理工和非理工類型，而且許多學校以系為單位安排微積分班級，本身已經是某種程度的能力分班。但或許因為現在招生管道變多，同系學生的數學能力差異變大，微積分成績經常呈現M型分佈，因此才會希望依照某種能力檢測（和前述能力檢測可合併），讓學生依自己的能力進入或抵免微積分班。當然以系或院為單位安排微積分，與微積分課程的傳統功能有關，如何保持此優點進行能力分班，以及如何分班都是需要再討論的問題。其中可能牽涉到微積分課程的標準化、分段化、層級化，才能達到教師希望的精準能力分班，但這牽涉到各校微積分課程的變革。

（三）增加微積分時數

　　有些學校的部分微積分課程只有一學期，當然不足以涵蓋傳統的微積分題材。但許多老師覺得一學年的微積分課程依然有時數不夠的問題。他們的主要論點是目前學生程度較差，想要讓學生完整學習，教學的說明和演算必須慢而清楚，不然學生若無法充分吸收將阻礙後續的學習。為了擴張必須的時數，一個可能是增加微積分課程的學分數，另一個可能是將微積分課程重新設計成三學期的課程。由於西方許多大學的微積分課程都是三學期定位清楚的課程，因此這些意見絕非無的放矢。不過由於台灣的大學各系，目前正朝精簡必修學分的趨勢前進，可能不容易達成。

（四）善用數位工具

　　隨著科技進步，教學已可以運用很多數位工具，但是數學教學可能是最抗拒科技的學科之一，前人常覺得數學家只需要一張紙跟筆，而即使到現在，也仍然有很多老師主張數學教學不適合運用新科技，理由可能是板書和筆記是學生學習數學的一環。但從這次問卷，已經有許多數學教師運用新科技並樂於分享。例如他們建議善用數學軟體或網站資源，由於視覺思考經常有益於學生對數學概念的理解，尤其多變數函數圖形是學生學習的明顯障礙，他們特別推崇具有函數（立體）繪圖的程式或工具。另外，也許是因為疫情的影響，也頗有老師推崇遠距教學與上課同步錄影，有益於學生反覆思考困難的微積分。常見的意見還有使用社群媒體如FB或Line，來促進師生互動與諮詢。也有老師全面擁抱數位環境，希望以翻轉教室達成因材施教的理想。新時代的教學福音對很多老師來說可能還有很高的學習障蔽，數學會或許可以開設平台，協助大學教師分享與討論這項主題，當然也可利用網站，分享更多的數學教育資訊。

（五）與他系的競合

　　歷史上，微積分與自然科學共同提攜發展，造就數學和科學的密切夥伴關係。數學系提供微積分課程做基本數學訓練，也是它在大學內的重要服務。但數學並非一般大眾以為的單純工具學科，這個夥伴關係由於數學內在的發展與定位改變時而緊張。最常聽到的抱怨是其他科系抱怨數學系教的微積分太過抽象不符需要，或是微積分給分太過嚴苛，部分數學教師則寧可講授完整的理論（自認最有用），不願教導自己不擅長也認為不重要的應用題材（會妨礙轉系）。而現在精簡必修學分的趨勢，正好給其他學系一個蠶食微積分時數的藉口，數學系也勢必要重新檢視自己的「服務」成效。從問卷中，有些教師認為我們應該下功夫了解微積分的應用，他系教師也應該理解微積分對該領域的意義或對微積分教學有所共識。因此除了積極和他系溝通，說服部分老師改變教學習慣，或許也應該提出一個當代的新合作論述，或者改變整個課程結構如不分系。

（六）微積分教學的支援

　　從不同問題的零星答覆中，可以勾勒出一個完整的要求：我們的微積分教學，尤其是試著加強或改變教學的老師，需要有效的支援。譬如有老師直言公私立大學的微積分教學方式應該不同，一種解讀是學生程度差異，但是更可能的是資源不同。若以微積分教學完善為目標，可能需要教學能力強並善於擘劃教學的長聘教師，課程必須搭配助教提供習題課與輔導時間，甚至推動全校的微積分輔導系統。又例如有老師提及應有專人設計開學第一個月的課程，做不只是知識也包括大學適應的銜接。我們似乎應該要有平台，提供最新的高中教育變動與討論，各校（甚至國際）微積分教學的分享，介紹甚至評價教學的新數位科技或網站教學資源。

（七）招生管道

　　數學系或微積分現在的學生來源非常複雜，正常高中生的入學管道就有保送、特殊選才、繁星、申請入學、指考（或許加上弱勢生名額，以及以後可能還有科學班），另外還有外籍生/僑生、體保生、高職生、教師進修等。背景不同，訓練的差異大大提高了大學課程的教學難度，需要完整先備知識的微積分課程當然首當其衝。一般來說，非正常高中生管道的學生數學訓練都比較差，最好先做微積分銜接。至於正常高中生管道，由於很多老師不清楚學生背景，有些泛泛地回答無差別，比較清楚的意見樣本少且意見分歧。比較明顯的意見通常是針對申請入學管道（學測無鑑別度、高三訓練差、收到十分不適合的學生）。至少就微積分教學，學校應該可以進行成就與管道之分析並考慮應對措施（如前述更精準之能力分班與補救措施）。

各題分析

說明：雖然各題會儘量附上有效答覆筆數以及各小題的統計筆數。但這些只能參考，因為有些答覆比較豐富，可以分成好幾筆，但也有答覆雖然有意義，但不屬於本題的範疇，只能不計。由於是填答型的問卷，這種出入在所難免。又，問卷總回覆筆數為228筆。回收意見之筆數以下將以中括號呈現在文中，如[7]。

第4題：您通常如何處理這類教學落差？尤其是您認為大部分學生的數學能力不足或學生差異很大的時候(若無則免答)。

問卷整理：林景隆、賴青瑞、黃美倫。有效回覆數：176

　　第四題問題承接第三題，詢問老師如何因應銜接的落差，當然班內落差有時不完全是因高中／大學之銜接不足而引起，尤其到了微積分後面的教學，教師可能還要應付學生差異、數學程度／能力／興趣不足的問題（尤其對第二類學校），這些也會反映在教師的答題上。

（一）銜接落差的處理

絕大部分的老師都是在教學時做某種方式的說明，例如視需要臨時做補充[68]，有些老師在進度壓力下，只是稍做說明，但也有老師會做課上或課外詳細的說明[9]，甚至重頭教起[10]、使用自編的教材[14]或錄製教學影片，這樣的教學經常會耽誤上課進度，對教師的教學形成壓力。也有學校如中央大學是在開學第一個月使用教科書的教材，統一這些銜接落差。

（二）課程落差之一般處理

　　由於高中和大學的學習方式嶄然有別，對於大一新生遇到微積分的困難，主要大致反映在兩個問題上：
a. 學習不夠主動、動機不夠、易受挫折失去信心，分心他去後形成惡性循環。
b. 微積分課程的概念、作業與難度往往超出學生預期，又無法投入足夠多的時間。
根據問卷，底下說明教師大致如何因應這些難題。

（A）心理建設[9]

　　問卷中，有些老師會採用嚴師的立場，申明大學的學習並不容易，勸學生少修課，減輕學習壓力。對於缺乏動機、無心學習的學生，則予以淘汰。但也有老師因爲如此，努力啟迪學生的學習動機，時時關注學生進度，循循善誘，他們認為應讓學生知道，能力不足或學習落差並不完全是學生的錯，應給予更多鼓勵。也有教師強調學生應先理解為何必須學習數學。問卷中在這方面的回答相對少，因此只能把上述的意見視為樣本，略窺教師心理建設的方式。

（B）上課現場、輔導與評量

　　上課遇到落差比較大的情況，教師需要調整教材或簡化上課內容[6]，有人只教核心概念，有人減少理論成分，許多老師甚至會放慢進度[8]，重複講解[3]。由於上課時以平均程度為主，對於相對優秀或不足的學生，則在課後另行輔導。在說明內容時，許多老師會詳細說明例題或反例[11]，並且會加強作業或學習單[9]，讓學生多練習，並請助教在習題課講解學生不會的內容[8]。

　　教師也會鼓勵學生主動問問題[3]，並且自己[23]或要助教[11]提供office hour對主動的學生作額外指導，協助學生理解困難的概念，老師也會建立FB/line群組[3]，提供學生討論與問問題的線上平台[3]。如果老師沒有時間多做說明，有時也會請學生使用google或提供其他網路資源協助學生[8]。

　　針對評量，許多老師都提出教多考少[4]，雖然會教授比較進階的題材，但強調考試不考。另外就是考試的考題偏基礎或簡單的概念。但有老師強調他會要求學生把答案寫完整，藉以養成學生的基本能力。

（三）小結

　　相對於過去的教學傳統，由教師的回答可看出，現在的教學更體諒學生的條件，儘量不揠苗助長，同時希望喚起學生學習的主動性。當然這樣的做法，在兩類學校中還是可以看出一些差別。

第二類學校的學生由於數學入學成績相對比較低，教師面對的是能力較差與較無學習動機的學生。因此平均來說，第一類學校的教師對於學生比較信任，能比較正面的協助學生。但第二類學校相對比較少提到課後輔導（僅3個），反而強調老師該先了解學生實際的基礎與能力，這些學校也更反映需要減少或簡化上課內容，進行重點式教學，他們更常運用多媒體教材，讓學生自行上網找資料。一個關鍵可能是在課後輔導規劃與落實的問題，需要有好的助教系統和分級系統，而這些受限於資源，對於很多私立學校根本是不可求的。

　　有一則私校意見，特別強調他們的學生救不起來了，但他們的方法可能對於前面的學校就會有用。換句話說，他們可能做了相當的努力，只是面對無動於衷的學生終歸於無效。

第5題：關於不同招生管道的差異性，您個人的感受。

問卷整理：林景隆、賴青瑞、黃美倫。有效回覆數：165

（一）說明

　　由於許多老師對招生管道未特別注意或者對管道的解讀不同，需要在此說明：
　　直言對這些管道「未注意」所以無法比較者有[21]筆。只回覆「未感覺差異」者有[43]筆，若將回答「無」者計入則共有[60]筆。但「未感覺差異」可能有一部分和「未注意」其實意思一樣；「無」也無法分辨是未感覺差異，無法判斷或無意見。認為有差異者包括有差異[5]與差異很大[14]者共19筆，但這些回覆並沒有特別再加說明，我們無法知道答題者所認定的管道為何（見下）。

（二）非正常高中招生管道

　　雖然問卷之本意是詢問「特殊選才」、「繁星」、「個人申請」、「指考」管道之差異，但入學管道也可解釋為「外籍生/僑生」、「體保生」、「高職生」、「進修教師」這類非正常管道，因此我們都納入統計。扣除認為所有學生皆不好的3筆之外，關於「外籍生/僑生」[9]、「體保生」[4]、「高職生」[6]、「進修教師」[1]，答者皆認為數學基礎較差。

（三）正常高中招生管道

　　對於「特殊選才」、「繁星」、「個人申請」（申請入學）、「指考」各管道之比較或良窳，有明顯回答意見者的筆數都偏低，因此底下之說明僅能做為參考，應該從各校更明確的統計數字才能看出結果。

（A）特殊選才[3]：學生程度好壞不定，似乎不很特殊。
（B）繁星入學[11]：不論第一類或第二類大學，正面反應均較多。大多數認為此管道學生較認真積極，學習成效較佳，不過好壞還是難料。
（C）申請入學[13]：第一類學校皆為負面[2]，第二類學校則負面[6]略多於正面[5]。一般的意見是申請入學生的高三數甲基礎不穩，不利於學習微積分。
（D）指考入學[12]：第一類學校對於指考生的印象較好（6比2)，第二類學校則為負面[4]。一般的意見是高三數學基礎可能較好。

（四）一般性意見

　　對整個多元入學的負面意見，大致如下：不論入學有無差異，最重要的還是學習心態才能決定最後的表現[10]；和家庭社經地位有明顯關係[3]；學測成績用於招生只是門檻，沒有鑑別力，造成後續教學困難；學校為招生降低標準；為基礎不夠的學生大開方便之門；在理工科可能收到第一類組學生，對教學和學生本人都有負面影響；學生差異大，班級經營困難。比較中性的意見如：用意良善，但學校和課程未能配合分流，失去多元入學原意。另外較不相干的意見如下學期要教大一者應參與招生；希望入學有能力測驗，讓未通過的學生轉到銜接微積分課程。

（五）小結

　　除了部分明顯狀況如外籍生/僑生、體保生、高職生、第一類組跨二類組的情形以外，有半數回覆認為不同招生管道入學的大學新生對微積分學習差異不大，主要還是在學習動機與積極態度。另一半的回覆則是反應學生程度有很大差異，其中較明確的意見是學測後通過申請入學的學生普遍對於高三數學不熟練，這可能是學習鬆懈所致。另外，繁星與特殊選才好壞互見，尚待進一步探討。

第6題 您覺得特別值得分享給其他老師的教學體驗。

問卷整理：沈俊嚴、王夏聲、黃美倫。有效回覆數：90

　　由於本問題是開放式的問題，邀請教師自由分享他認為值得分享的教學體驗，因此很多人沒有填答，有效的回覆90筆，結果非常分散，我們稍做整理分項條列於下：

（一）教材教法[29]
（A）教材方面[6]：多半基於老師個人經驗，提醒我們學生比較不熟的題材（如廣義三角函數），或活潑的教材運用，另外是推薦台大的「微積分經典範例」網頁提供實際問題的微積分應用。
（B）教法方面[18]：

• 要檢查學生的先備知識，先複習需要的知識，再由淺入深。有老師建議假設高中生不會數學。也有老師強調不要受高中影響，實質微積分內容才能吸引好的學生。

• 上課的定位宜針對中階且認真的學生；新進老師則應時時確認需要改進的地方。

• 教師應多利用例題講解觀念，詳細講解，引導學生理解抽象的概念。有老師認為應儘量安排學生上台演練，才能理解學生的狀況。也有老師說明證明的重要性，是讓學生理解數學知識的條理，考試倒不見得要考。

• 畫圖或視覺性工具有助於學生的理解，立體圖形更要畫正確。

• 有老師覺得對一般學生還是要多計算練習，但也有老師強調建立概念為第一要務。

• 有老師建議編寫講義；也有老師建議點名，學生有上課才能敦促學生的學習。
（C）其他整體意見[5]：要建立學生對數學的正確價值觀：數學是有用且可掌握的；因材施教才是教學的重要原則；教師應該要做經驗分享；公私立大學的教學方式應有不同；推薦一學期再分成兩段的模組課程，如台大實施的微學分模組課程。

（二）習題/作業[5]

　　也許是所用教科書難易不同或一類、二類大學的差別，有些老師建議出課本習題之外的挑戰題，有些老師則建議不要勾太多或太難的習題，避免學生初入大學不適應，反而養成抄作業的壞習慣。有一個老師乾脆建議，應該利用數位工具，把作業設計的人人些微不同。

（三）考試/評量[8]

　　大家不約而同將小考與考試視為協助學生專心學習與調整進度的好工具。兩週一次的小考遠比單純做習題更有助於學生的學習。由於學生高三數學學的不很紮實，剛考上大學又太過放心，很多學生都是到期中考前一週才開始讀書，因此老師建議要提前利用小考來警惕學生。第二類大學的老師，則強調教學內容可以難，但考題要簡單，控制深淺，才有助於建立學生的信心。

（四）新工具[20]

　　不分一類或二類大學，許多老師都提到可以好好利用新數位工具協助教學。例如數學軟體Wolfram|Alpha, Maple, Matlab, Desmos, Rhino的功能有助於學習，尤其是其中的立體繪圖功能更有助於學生克服多變數微積分的困難。幾位老師強調上課同步錄影，對於學生學習困難的微積分有很大的幫助，更有老師建議利用數位工具的翻轉教室更有助於達成因材施教的目標。另外還有老師提及社交平台如FB或Line，對於師生互動、諮詢以及公告資訊都很方便。

（五）高中/大學[5]

　　首先教師應隨高中課綱調整教學單元與目標，因此要有管道讓教師知道高中數學教育的狀況。教師應留意高中生某些錯誤的習慣影響深遠。受環境影響，現在學生程度差異比以往大,需多花心思於備課上。第二類大學在這方面的意見比較多。

（六）外籍生[2]

　　有老師提到，外籍生的學習處境非常辛苦，背景差異很大，學校應該有完善的方案，並且讓外籍生接受能力檢測，未達目標應先上銜接課程。

（七）學生/師生關係[12]

　　有老師比較理性的觀察現在的學生普遍缺乏自主性，甚至可到「尋求幫助的能力」也匱乏的程度，逐漸需要個人化的輔導來幫助他們成爲大學生。從另一個角度，有老師強調目前學生的差異不只是入學管道的不同，更是學習環境差異太大所致。

　　許多老師分享自己的體驗，他們都希望能積極提升師生關係，他們強調多正向鼓勵、真誠的關心、尊重個體性、建立信賴感，不但學生能夠感受到，而且會確實的轉化他們的行為，甚至改變其生涯，其效果如指數成長。因此不要抱怨學生（因為多半不是他自己的錯）；要有耐性；讓學生了解知識的學習不等於通過考試；

（八）其他[9]

　　有些教師鼓勵同僚對微積分要有熱情，有信心，才能進一步快樂分享給學生；也有老師用比較理性的語氣分析說，大部分微積分老師都很努力，努力改變學生訓練上的偏差，希望能在大學階段導回正軌。

　　另外有些像是箴言的意見，如：「大一很重要, 小心帶上來」「嚴格把關，國家才有得救。」也分享給大家。

第7題：您覺得大學端本身可以在大一階段做的調整或措施，進而改變現狀。

問卷整理：林延輯、潘戍衍、黃美倫。有效回覆數：176

大學端微積分課程遭遇的問題，大致可分為與高中數學之銜接、班內學生程度落差、時數之合理性、如何精進教學，以及作為服務性課程與外系之關係等。

（一）高中數學之銜接[63]

　　一零八新課綱讓高中生有更多的選修空間，提早分流，使得高中生修習的數學課程差異越來越大。而多元的選才方式，以及外籍學生的增加，讓大一新生的數學程度更為參差，有不少大一學生可能無法具備足以修習微積分課程的預備知識。

　　本題最大宗的回覆即針對此問題，不少大學微積分教師建議大學端應該開設某種形式無／有學分的微積分銜接課程（precalculus）[63]：入學前暑假銜接課程[16]、入學後正式銜接課程[41]、融入原本微積分之前期銜接課程[3]，或者由學生參考系所提供資源進行自修銜接課程[3]。若不想影響原來課程時數，也有人建議可改用線上課程[4]，讓學生先行或融入課程進行。

　　許多人建議，大學端新生入學時，在開學前舉辦一個分級測驗[14]，未達標準者，則需先修習銜接課程，才能正式修讀微積分課程。（關於分級測驗，也請參見二）。

（二）班內學生程度落差

　　大學微積分教學現場除了與高中銜接之落差之外，也常發現班內學生數學能力有所差異，造成教師教學困難。本題次多比例的回答皆在反映此問題。

　　不少教師希望能跳脫以系為主體的微積分分班模式，改採能力分班[15]，並配合適當之教學內容。他們認為應舉辦分級測驗[14]，依照成績分配學生到適當的班級，有些學生必須先上銜接課程，另外分級測驗特別優秀的學生，則可考慮抵免部分課程，避免重複學習。另一種可能，則是在課程清楚說明的前提下，由學生全自由選課，甚至不分系。

　　為了更徹底的避免入學學生不適應的問題，有些老師也建議，數學系或其他系應減招不必要的學生，或檢討招生管道，招收好一點的學生。

（三）時數不足

　　另一個較高比例的回覆意見，則是針對微積分教學時數不夠的問題[15]。其中部分是因為其學校某些系所微積分已經改為一學期，根本無法充分授課。但更多老師認為目前兩學期（每學期三或四學分）的課程安排難以教授完整的課程內容，教學應該慢而清楚，若學生無法充分吸收，就形成後續學習的阻礙。建議改為三個學期的課程進度（或包含銜接課程的1+3課程），若不延長則應增加課程的學分數。不過這個想法在目前各系精簡必修學分的趨勢之下，可能不容易施行。

（四）內容與進行方式

　　這部分的意見比較零星[45]。

　　有老師將重點擺在微積分教學內容的重新檢討上：訂立學期之學習目標或課程大綱（但也有教師認為應尊重教師之教學自由）；可削減內容或解題的份量，把重點擺在觀念或證明的學習；放慢前面的節奏，等學生適應再加速；調整順序；應增加微積分應用甚至建模的教學；因應他系需要教授向量微積分，並因此刪除前面的內容等等。

　　也有老師在意教學方式，提出零星的不同建議：例如因應目前的科技應用、網路世代與新興媒體，大學端應該更善加利用電腦程式輔助教學、線上課程，製作教學影片，並使用網路資源，讓學生有更多自主學習的機會。或者隨著世代的改變，雖然學生的某些能力弱化了，但是也有些能力強化了，應該善用新一代高中生的能力，重新設計課程，增加主動探究式或主題式的課程。

有些老師則著重在學生的學習狀態，他們建議在開學初應關注學生學習狀況，甚至建議在最初幾週慎重設計能真正銜接高中與大學生活的課程；也有老師建議養成學生良好的學習習慣，甚至主張應該點名鼓勵學生上課等。

有些老師認為大學應該強化課程的協助機制，包括教學專任老師的聘任、教學助理的配置，增加習題課、提供校級課外的輔導或諮詢機制等，來協助學生解決課程中所遇到的困難。另外應該有平台提供微積分有趣的故事、有意義的經典範例或應用，甚至配合通識課或演講，讓學生更認識數學的意義。

（五）與他系的溝通[9]

　　服務性的微積分課程是數學系在大學的重要任務。如何合宜的完成這項挑戰，兼顧微積分的完整性又能兼顧微積分的應用性並非易事。有老師提到目前其他學院想將微積分收回去自己教，這種切割或蠶食微積分時數的趨勢必須注意。我們似應加強與其他院系的溝通，一方面數學系教師應該了解微積分的應用，他系教師也應該理解微積分對其學科的意義，或應對微積分教學內容有所共識。

　　雖然目前大學的微積分課程已經都有針對數學內涵區分成不同等級，但授課教師不見得都能提供符合各系所需求的教學內容。如果太過在乎數學本身的學習，而沒有考慮到系所與題材的關聯，可能造成學生的學習挫折，或影響其學習意願及動機。另一方面，如果將微積分內容區分太細，也可能反過來造成學生轉系的學分認定的困擾，這個問題值得數學系和其他院系好好思考。另外，有一兩位老師特別提到對物理系經常先用到微積分的課程規劃感到困擾。

　　微積分教學的應用比重如何是一個傳統的問題。有人認為應該排除應用，只以微積分能力的學習為主（例如（二）內建議能力分班的部分教師，其想法就隱含將微積分教學單純化的目標），但也有許多教師認為微積分內容應更配合他系。

（六）其他[8]

　　有老師特別提到僑生或外籍生常見的數學銜接問題。據知相對於台灣本土的銜接，外籍生的問題往往更為嚴重，與台灣高中數學的落差或學習重點有很大的差異。因此他們更需要有一個鑑別性的考試，在無法通過時，更需要作銜接教學。而且他們甚至可能需要英文教學班，才能順暢的學習。

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**附言

隨著問卷分析的過程，我們越來越發現本次調查有項不足：缺乏對目前大學教師微積分課程內容的掌握。當初因為把重點擺在高中銜接，擔心老師沒有時間填答，便以使用的微積分課本來大致理解。但是由於授課時間限制（譬如有些課程只有一學期），即使用同一本教科書，選擇的教材也可能不同，而一旦有選擇，就會顯示教師或該課程綱要所重視的「部位」抑或會透露出學生的程度。既然要談大學端的微積分課程，這樣的調查本身無疑就是一份珍貴的資料，這個遺憾或許只能等以後的機會了。