Перетин поверхонь

10.ПЕРЕТИН ПОВЕРХОНЬ

ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ

Лінією перетину поверхонь є спільна для обох поверхонь упорядкована множина точок.

Форма лінії перетину поверхонь визначається формою і взаємним розташуванням поверхонь, які перетинаються.

Точки лінії перетину поверхонь знаходять, використовуючи той же метод посередників, що і точки лінії перетину площин загального положення.

Оскільки поверхні є більш складними геометричними об'єктами, ніж площини, то в якості посередників можуть використовуватись не лише площини окремого і загального положення, але й сфери, циліндри, конуси, ін.

Посередники обирають за умови, щоб в перетині ними поверхні утворювались найпростіші лінії перетину (пряма лінія, коло). З метою спрощення розв'язків використовують методи спрощення, наприклад, метод заміни площин проекцій.

Для загальних випадків перетину поверхонь план розв'язку задач наступний:

• перетинають задані поверхні площинами (поверхнями) посередниками;
  

• знаходять лінії перетину посередником кожної з поверхонь;
  

• визначають точки перетину отриманих ліній - це точки лінії перетину поверхонь;
  

• з'єднують отримані точки у відповідній послідовності, враховуючи видимість частин лінії перетину на кожній з площин проекцій.
  

Щоб лінію перетину побудувати більш точно слід посередник використати потрібну кількість разів. Як правило, посередники проводять спочатку через характерні точки лінії перетину. Якщо того вимагає розв'язок, обирають ще необхідну кількість допоміжних (випадкових, проміжних) точок. До характерних точок лінії перетину відносять: найвищу та найнижчу, крайню ліву та крайню праву, точки, що визначають межу видимості частин проекцій лінії перетину на проекціях і належать обрисам поверхні, особливі точки кривих другого порядку, вершини ламаних, ін.

Розглянемо деякі приклади, що демонструють використання посередників.

10.1.Метод площин-посередників.

При перетині поверхонь можливі три основних випадки утворення лінії перетину:

• якщо перетинаються два багатогранника, то в перетині утворюються одна або дві замкнених просторових ламаних лінії. Вершинами цих ліній є точки перетину ребер одного багатогранника з гранями іншого і ребер другого багатогранника з гранями першого;
  

• якщо перетинаються дві криві поверхні другого порядку, то в перетині утворюється одна або дві просторові плавні замкнені просторові криві, як правило, четвертого порядку. В окремих випадках ці криві можуть вироджуватись у криві другого порядку;
  

• якщо перетинається багатогранник з поверхнею обертання, то в перетині утворюється декілька плоских кривих другого порядку, які сходяться між собою на ребрах багатогранника.
  

Надалі розглядатимемо приклади перетину геометричних тіл - фігур з усіх боків обмежених частинами поверхонь.

Одне тіло може перетинати інше повністю або частково. Тоді внаслідок перетину утворюються дві або одна замкнені лінії:

• якщо перетин неповний на одному з тіл утворюється заглибина (врубка). Лінія перетину - одна замкнена лінія. Це випадок врізання.
  

• якщо одне тіло цілком проникає в інше, утворюються дві замкнені лінії перетину. Це випадок проникнення.
  

Після того, як точки лінії перетину знайдені, їх сполучають у відповідній послідовності, визначаючи видимість окремих частин лінії перетину на кожній площині проекцій окремо. При цьому виходять з наступного:

• якщо перетинаються дві видимі грані багатогранника, то лінія їх перетину буде видимою. У випадку, коли хоча б одна з граней невидима на деякій площині проекцій, лінія їх перетину вважається невидимою;
  

• якщо перетинаються дві видимі твірні кривої поверхні, то точка їх перетину буде видимою. У випадку, коли хоча б одна з твірних невидима на даній площині проекцій, точка їх перетину вважається невидимою;
  

• точки межі видимості частин лінії перетину поверхонь лежать на обрисних твірних кривої поверхні, або обрисних ребрах багатогранної поверхні.
  

Такі основні прийоми, що використовуються при побудові лінії перетину поверхонь. Розглянемо як вони використовуються на практиці.

10.2.Перетин багатогранників

В цьому розділі розглянемо особливості перетину багатогранників, а також чим відрізняється перетин поверхонь "врізанням" від "проникнення". Спочатку розглянемо випадок проникнення.

Розглянемо особливості знаходження лінії перетину поверхонь у випадку врізання однієї поверхні у іншу.

10.3.Перетин кривих поверхонь

10.3.1.Використання в якості посередників площин рівня

10.3.2. Використання сферичних посередників

ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ

Сфери використовують в якості посередників з наступних міркувань:

• проекції сфери на будь-яку площину є колами;
  

• в разі потреби на сфері можна виділити безліч сімей кіл;
  

• кожна пряма або площина, що проходить через центр сфери, є її віссю або площиною симетрії.
  

Використання сферичних посередників основано на наступній теоремі:

Дві співвісні поверхні обертання перетинаються по колам, кількість яких дорівнює кількості точок перетину твірних цих поверхонь, які лежать в одній меридіальній площині.

Кола перетину проекціюються на площину паралельну осі обертання в прямі лінії, а на площини перпендикулярні осі обертання в натуральну величину.

В методі сферичних посередників однією із співвісних поверхонь виступає сфера, а другою - будь-яка поверхня обертання. В наступному прикладі демонструється можливість використання сфери в якості посередника. Це також є прикладом двох співвісних поверхонь - конуса і сфери. В перетині сфери з тілами обертання отримують по два кола, рівних (у випадку перетину сфери з поверхнею прямого кругового циліндра) або різних діаметрів.

Для використання при розв'язку задач методу сферичних посередників необхідна наявність трьох умов:

• обидві задані поверхні, які перетинаються, повинні бути поверхнями обертання;
  

• осі заданих поверхонь повинні перетинатись;
  

• обидві осі повинні бути паралельними до якої-небудь площини проекцій.
  

Якщо остання умова не виконується, то слід попередньо виконати заміну площин проекцій або плоско-паралельне переміщення.

Цим методом задачі розв'язуються за наступним алгоритмом:

• з точки перетину осей заданих поверхонь, як з центра, проводять допоміжні сферичні посередники;
  

• визначають лінію (лінії) перетину сферичного посередника з кожною із заданих поверхонь;
  

• знаходять точки перетину отриманих ліній;
  

• з'єднують отримані точки у відповідній послідовності, враховуючи видимість частин лінії перетину на кожній площині проекцій окремо.
  

Існує декілька способів використання сферичних посередників. Розглянемо кожен із них.

СПОСІБ КОНЦЕНТРИЧНИХ СФЕР

СПОСІБ ЕКСЦЕНТРИЧНИХ СФЕР

СПОСІБ МИТТЄВИХ ЦЕНТРІВ

ОКРЕМІ ВИПАДКИ ПЕРЕТИНУ ПОВЕРХОНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

ВИПАДОК 1

ВИПАДОК 2

ВИПАДОК 3. ТЕОРЕМА МОНЖА

Інші випадки перетину поверхонь розглядаються в додатковій літературі.