Криві лінії та поверхні

У попередньо поданому у підручнику навчальному матеріалі розглядаються алгоритми, способи і методи розв'язку позиційних і метричних задач курсу, в яких вихідними даними є точки, прямі, площини.

Наступна частина курсу присвячується вивченню алгоритмів, способів і методів розв'язку задач, в яких вихідними даними є точки, прямі лінії, площини, криві лінії і поверхні.

8.1.КРИВІ ЛІНІЇ.

Крива лінія може розглядатись як:

• траєкторія точки, яка рухається у просторі;
  

• межа поверхні;
  

• лінія перетину поверхні з площиною;
  

• лінія перетину поверхонь.
  

Криві лінії розподіляються на просторові, всі точки яких не належать одній площині, і плоскі, всі точки яких належать одній площині. Плоскими лініями є, наприклад, коло, еліпс, парабола, гіпербола. Прикладом просторової лінії може бути гвинтова лінія.

Крім того, криві лінії розподіляються на закономірні і незакономірні. Закономірні криві задаються алгебраїчними або трансцендентними рівняннями. Всі незакономірні криві називають графічними, тому що вони можуть задаватись лише графічно у вигляді свого зображення. Всі інші криві лінії можуть задаватись як рівнянням, так і графічно.

Алгебраїчні криві характеризуються порядком і класом. Порядок кривої визначається найбільшим ступенем рівняння, яким задана крива. Геометрично порядок плоскої алгебраїчної кривої лінії визначається найбільшою кількістю точок її перетину прямою лінією. Порядок просторової алгебраїчної кривої лінії визначається найбільшою кількістю точок її перетину площиною загального положення. Клас кривої лінії визначається максимально можливою кількістю дотичних, проведених до неї із зовнішньої точки. Для кривих другого порядку (коло, еліпс, гіпербола, парабола) клас і порядок кривої лінії співпадають.

8.1.1.Січні, дотичні і нормалі плоскої кривої лінії

Пряма може перетинати плоску криву лінію у двох, трьох і більше точках. Відповідно цьому визначають порядок кривої. Чи може змінюватись порядок кривої при проеrціюванні? Кожній точці перетину двох ліній відповідає її єдина проекція, тому число точок перетину прямої з кривою лінією повинно зберігатись і на проекціях. Тобто порядок кривої лінії не змінюється при проеrціюванні.

При побудові ортогональних проекцій кривих ліній зберігаються наступні властивості:

• порядок проекції алгебраїчної плоскої кривої в загальному випадку дорівнює порядку самої кривої, а просторової дорівнює порядку кривої або менше;
  

• якщо точка належить кривій лінії, то проекції цієї точки належать одноіменним проекціям кривої;
  

• дотичні до кривої проеrціюються в дотичні до її проекцій;
  

На відміну від плоских кривих просторові криві задаються двома проекціями. Найбільш поширеними просторовими кривими є циліндрична спіраль (геліса) та конічна спіраль. Розглянемо побудову геліси.

Щоб за ортогональними проекціями визначити, яка задана крива лінія плоска чи просторова, слід перевірити чи належать всі її точки одній площині.

Найпростішим прикладом плоскої кривої є коло.

8.1.2.Властивості кола

З загальної геометрії відомі такі властивості кола:

• діаметри кола діляться навпіл у його центрі;
  

• спряженими називають будь-які два діаметри кола, які є взаємно перпендикулярними. Спряжений діаметр ділить хорди, які паралельні іншому спряженому діаметру, навпіл;
  

• дотична до кола наприкінці одного із спряжених діаметрів паралельна до іншого із спряжених діаметрів.
  

Розглянемо деякі властивості кола, які зберігаються при його проекціюванні.

8.1.3.Проекціювання кола

Розглянемо як проекціюється коло, яке лежить в площинах окремого та загального положення.

Для визначення розміру малої осі еліпса, в який проеціюється коло, що лежить у площині загального положення, крім методу заміни площин проекцій використовують метод обертання, лінію найбільшого нахилу площини, ін.

Отже проекціями кола можуть бути: коло, пряма лінія, еліпс. Існує багато способів побудови єліпса. Одним з найбільш поширених є спосіб побудови еліпса за його осями: великою і малою. Оскільки побудова еліпса в наступних задачах буде зустрічатись досить часто, розглянемо цей спосіб.

На основі задач, в яких розглядається проекціювання кола, яке знаходиться в площинах окремого та загального положення, розв'язують наступні задачі:

• побудова циліндрів та конусів, основи яких знаходяться в цих площинах;
  

• побудова кола, що лежить у площині загального положення, методами заміни площин проекцій, обертання, плоско-паралельного переміщення;
  

• побудова проекцій перетинів поверхонь обертання та їх натуральних величин, ін.
  

8.2.ПОВЕРХНІ

Існує три найбільш поширених способи задання поверхонь: аналітичний, каркасний і кінематичний.

При аналітичному способі задання поверхня розглядається як геометрична множина точок, координати яких задовольняють відповідне рівняння.

Каркасні поверхні задаються з певною точністю каркасом точок і ліній.

При кінематичному способі задання поверхня розглядається як сукупність послідовних положень лінії, яка переміщується у просторі за певним законом. Цю лінію називають твірною поверхні. Вона може бути як прямою лінією, так і кривою. Крива твірна може бути постійного виду або змінюватись. Закон руху твірної у просторі може бути заданий іншими лініями (однією або кількома), по яких ця твірна переміщається. Ці лінії називають напрямними.

Поверхні задаються визначником. Визначник поверхні відображає сукупність всіх геометричних елементів та незалежних умов, які відображають зв'язки між ними, що однозначно визначає поверхню у просторі. Визначник поверхні складається з двох частин: геометричної і алгоритмічної (кінематичної). В геометричній частині відображають основні геометричні елементи і співвідношення між ними. У алгоритмічній частині відображають послідовність і характер операцій зміни форми твірної і закону її переміщення.

При такому підході до утворення поверхні вона вважається заданою, якщо в кожен момент руху твірної можна визначити її положення і форму. Тобто відносно будь-якої точки простору можна вирішити питання про те належить вона даній поверхні чи ні.

Графічне задання елементів визначника поверхні не завжди забезпечує наочність креслення. Тому при побудові креслення поверхні часто показують проекції досить густого каркасу твірних, а також обрисні твірні поверхні. При ортогональному проекціюванні поверхні її проекції отримують як результат перетину проекціюючого циліндра, створеного проекціюючими променями, який огинає поверхню, і перетин якого з площиною проекцій створює обрис поверхні. На комплексному кресленні будь-яка поверхня має: на П₁ - горизонтальний обрис, на П₂ - фронтальний обрис, на П₃ - профільний обрис.

Ознакою класифікації поверхонь може стати єдність способу їх утворення. Сукупність умов, які відображають спосіб утворення поверхні, входить у визначник поверхні. Тому одним із варіантів класифікації поверхонь може бути систематизація за їх визначником.

За геометричною частиною визначника ці поверхні можна поділити на два класи:

• лінійчасті поверхні (твірна - пряма лінія);
  

• нелінійчасті поверхні (твірна - крива лінія).
  

З цих двох основних класів за алгоритмічною частиною визначника виділяють три підкласи:

• поверхні, утворені поступальним переміщенням твірних;
  

• поверхні, утворені обертальним переміщенням твірних;
  

• поверхні, утворені гвинтовим переміщенням твірних.
  

Поверхні, в кожному з цих підкласів можуть відноситись як до класу лінійчастих поверхонь, так і до класу нелінійчастих поверхонь, в залежності від форми їх твірної.

Більша деталізація особливостей поверхонь дозволяє в класах виділяти групи поверхонь. Наприклад, лінійчасті поверхні можуть бути поділені на групи в залежності від кількості напрямних, які утворюють дану поверхню, ін.

Зі всієї існуючої множини поверхонь в курсі будуть розглянуті поверхні, утворені кінематичним способом з твірними постійної форми.

Розглянемо приклади лінійчастих поверхонь, кількість напрямних яких не перевищує двох, гвинтових поверхонь та поверхонь обертання.

8.2.1.Лінійчасті поверхні

Лінійчасті поверхні утворюються рухом прямої лінії (твірної) за певним законом. Залежно від характеру руху твірної утворюються різні види лінійчастих поверхонь. Серед них можна виділити дві групи поверхонь: розгортні і нерозгортні. До розгортних поверхонь відносять такі, які суміщаються з площиною без розривів і складок. Це стає можливим тому, що у розгортних поверхнях дві нескінченно наближені твірні перетинаються у власній чи невласній точці, і тому частина поверхні, обмеженої цими твірними, суміщається з площиною. У нерозгортних поверхнях дві сусідні твірні мимобіжні. Як відомо, мимобіжні прямі не створюють одну площину.

Серед розгортних поверхонь розглянемо циліндричну, конічну і торсову поверхню. Всі ці поверхні мають одну напрямну.

8.2.2. Гвинтові поверхні

Гвинтові поверхні - це поверхні, криволінійною напрямною яких є гвинтова лінія. В залежності від виду твірної розрізняють лінійчасті гвинтові поверхні (твірна - пряма лінія) та нелінійчасті гвинтові поверхні (твірна - крива лінія). Якщо нахил твірної по відношенню до осі циліндра 90^о, то утворюється пряма гвинтова поверхня. Якщо нахил твірної по відношенню до осі циліндра не дорівнює 90^о, то утворюється коса гвинтова поверхня. Визначник гвинтової поверхні має вигляд: Σ (t, n, m)[A], де t - твірна, n - напрямна (гвинтова лінія), m - інша напрямна (гвинтова чи пряма лінія) (якщо напрямних дві), А - відображаються умови переміщення твірної по напрямній (напрямних).

8.2.3.Поверхні обертання

Поверхні обертання утворюються обертанням прямолінійної або криволінійної твірної навколо нерухомої прямої - осі обертання. Характер поверхні обертання залежить від виду твірної і її положення відносно осі обертання.

На поверхні обертання розрізняють такі характерні лінії:

• меридіани - лінії перетину поверхні площиною, що проходить через вісь обертання поверхні;
  

• паралелі - кола, що описують окремі точки твірної при її обертанні навколо осі. Паралелі можуть бути отримані в результаті перетину поверхні площинами, перпендикулярними до осі обертання поверхні;
  

• екватор - паралель найбільш віддалена від осі поверхні (паралель найбільшого діаметра);
  

• горло - паралель найменш віддалена від осі поверхні (паралель найменшого діаметра).

Розглянемо кілька задач для поверхонь обертання