Перетин поверхні площиною

9.ПЕРЕТИН ПОВЕРХНІ ПЛОЩИНОЮ.

Перетином поверхні площиною є спільна для них плоска лінія. Форма її залежить від виду поверхні та взаємного розташування площини та поверхні.

Так при перетині многогранників площиною в загальному випадку утворюються многокутники, вершини яких належать ребрам многогранника, а сторони - його граням. Тобто задачу на знаходження лінії перетину поверхні многогранника площиною можна звести до двох, вже відомих раніше задач, кожну з яких необхідно повторити певну кількість разів:

• визначення лінії перетину двох площин (грані многогранника і січної площини) - спосіб граней;
  

• визначення точки перетину прямої з площиною (ребра многогранника із січною площиною) - спосіб ребер.
  

Обрати той чи інший спосіб визначають у кожному конкретному випадку. Можна використовувати при розв'язку задачі обидва способи одночасно.

При перетині кривих поверхонь площиною утворюються плоскі криві лінії. Для побудови проекцій плоскої кривої лінії необхідно побудувати ряд її точок, які потім слід з'єднати за допомогою лекала. Точки будують наступними способами:

• за допомогою способу використання допоміжних ліній (наприклад, твірних поверхні, або ліній рівня, чи найбільшого ухилу площини, ін.);
  

• за допомогою способу допоміжних січних площин, які проводять через обрані точки лінії перетину.
  

Як правило, допоміжні січні площини проводять через характерні (опорні) точки лінії перерізу. До таких точок лінії перетину відносять: найвищу та найнижчу; найближчу і найбільш віддалену; точки дотику лінії перетину до обрисних твірних поверхні; точки, за якими відомими графічними прийомами можна побудувати всю лінію, наприклад, для еліпсів - точки кінців їх спряжених діаметрів ( в окремому випадку - точки, що є кінцями його великої і малої осей); для гіперболи і параболи - їх вершини і точки кінців їх найбільшої хорди.

Якщо необхідно, для більш точної побудови лінії перетину кривих поверхонь площиною назначають допоміжні точки, для побудови яких теж проводять допоміжні лінії або допоміжні січні площини.

ПЛАН ПОБУДОВИ ЛІНІЇ ПЕРЕТИНУ ПОВЕРХНІ ПЛОЩИНОЮ

1. Визначають форму лінії перетину поверхні площиною у просторі.
   

2. Визначають форму проекцій лінії перетину.
   

3. Назначають характерні точки лінії перетину.
   

4. Назначають допоміжні точки лінії перетину.
   

5. Будують проекції лінії перетину.
   

6. Визначають видимість окремих частин лінії перетину на кожній площині проекцій окремо.
   

Якщо необхідно, алгоритм доповнюють такими задачами:

• будують натуральну величину фігури (лінії) перетину.
  

• будують розгортку зрізаного тіла.
  

• будують аксонометричне зображення зрізаного тіла.
  

ОСНОВНІ ТИПИ ЗАДАЧ ТЕМИ "ПЕРЕТИН ПОВЕРХНІ ПЛОЩИНОЮ"

Серед множини задач, де розглядається перетин поверхні площиною, виділяють чотири типи задач, які різняться за видом поверхні, що перетинається, та за видом січної площини.

Перший тип: поверхня проекціююча, площина - окремого положення.

Другий тип: поверхня загального виду, площина - окремого положення.

Третій тип: поверхня проекціююча, площина - загального положення.

Четвертий тип: поверхня загального виду, площина - загального положення.

ЗАДАЧІ ПЕРШОГО ТИПУ

До задач першого типу відносять задачі, в яких поверхня, яка перетинається, є проекціюючою поверхнею, а січна площина займає в системі площин проекцій окреме положення. До проекціюючих поверхонь можна віднести поверхні, твірні, або ребра яких займають проекціююче положення по відношенню до якої-небудь площини проекцій. Це поверхні прямих кругових циліндрів та прямих призм. Розглянемо декілька задач цього типу.

ЗАДАЧІ ДРУГОГО ТИПУ

До задач другого типу належать задачі на перетин поверхні площиною, де поверхні загального виду перетинаються площиною окремого положення. До поверхонь загального виду можна віднести всі поверхні, твірні яких не займають проекціюючого положення по відношенню до площин проекцій (конус, сфера, піраміда, нахилена призма, ін). Розглянемо деякі з таких задач.

Отже конічними перетинами є криві другого порядку: коло, парабола, гіпербола..

ЗАДАЧІ ТРЕТЬОГО ТИПУ

До задач третього типу відносять задачі на перетин проекціюючої поверхні площиною загального положення. Розглянемо на прикладі особливості розв'язку задач цього типу.

ЗАДАЧІ ЧЕТВЕРТОГО ТИПУ

До задач четвертого типу відносять задачі, в яких поверхня загального виду перетинається площиною загального положення. Розв'язок таких задач може бути досить громіздким. Використання методів спрощення розв'язку задач нарисної геометрії, наприклад, методу заміни площин проекцій, дозволяє значно полегшити розв'язки цих задач. Розглянемо конкретний приклад.