1.5 ตัวคูณร่วมน้อย

ค.ร.น. หรือตัวคูณร่วมน้อย (Least Common Multiple) หมายถึง จำนวนนับที่น้อยที่สุด ซึ่งสามารถนำจำนวนนับอย่างน้อยสองจำนวนนั้นไปหารได้ลงตัว

วิธีการหา ค.ร.น. มี 3 วิธี คือ

วิธีที่ 1 วิธีพิจารณาพหุคูณ (Multiple) พหุคูณ หมายถึง จำนวนนับที่สามารถนำไปหารจำนวนนับใด ๆ ได้ลงตัว

เช่น พหุคูณของ 2 หมายถึง จำนวนนับที่นำ 2 ไปหารได้ลงตัว ได้แก่ 2, 4, 6, 8, 10, ฯลฯ โดยการหาพหุคูณที่เหมือนกันและมีค่าน้อยที่สุด

การหา ค.ร.น. โดยวิธีพิจารณาจากพหุคูณ มีขั้นตอนดังนี้

1) หาว่าจำนวนนับที่กำหนดมาให้เป็นพหุคูณ หรือเป็นตัวประกอบของจำนวนใดบ้าง

2) หาตัวพหุคูณร่วมของข้อ 1

3) นำตัวพหุคูณที่มีค่าน้อยที่สุดในข้อ 2 เป็น ค.ร.น.

ตัวอย่างที่ 1 จงหา ค.ร.น. ของ 15, 20

วิธีทำ

พหุคูณของ 15 ได้แก่ 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180, 195, 210,…

พหุคูณของ 20 ได้แก่ 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, 220,…

พหุคูณของ 15 และ 20 ที่เหมือนกันคือ 60, 120, 180,…

พหุคูณที่เหมือนกันและมีค่าน้อยที่สุดของ 15 และ 20 คือ 60

ดังนั้น ค.ร.น. ของ 15, 20 คือ 60 ตอบ.

ตัวอย่างที่ 2 จงหาค.ร.น. ของ 6 และ15

วิธีทํา หาพหุคูณของ 6 และ 15 ดังนี้

พหุคูณของ6 คือ 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, ...

พหุคูณของ15 คือ 15, 30, 45, 60, ...

พหุคุณของ 6 และ15 คือ 30, 60, ...

พหุคูณร่วมของ6 และ15 ที่มีค่าน้อยที่สุดคือ30

ดังนั้น ค.ร.น. ของ 6 และ15 คือ 30 ตอบ.

วิธีที่ 2 วิธีแยกตัวประกอบ

การหาค.ร.น. โดยวิธีแยกตัวประกอบ มีขั้นตอนดังนี้

1) แยกตัวประกอบของจำนวนนับที่กำหนดให้

2) พิจารณาผลในข้อ 1 ว่ามีจำนวนใดซ้ำกันทุกบรรทัดบ้าง ในกรณีที่ไม่มีจำนวนซ้ำกันทุกบรรทัด สามารถลดหลั่นลงได้

3) นำจำนวนที่ได้ในข้อ 2 คูณกัน

4) ผลคูณที่ได้จากข้อ 3 เป็น ค.ร.น.

ตัวอย่างที่ 1 จงหา ค.ร.น.ของ 6 และ 8

วิธีทำ

6 = 2 x 3

8 = 2 x 2 x 2

ดังนั้น ค.ร.น. ของ 6 และ 8 คือ 2 x 2 x 2 x 3 = 24 ตอบ.

ตัวอย่างที่ 2 จงหาค.ร.น.ของ 12, 18 และ 20

วิธีทำ

12 = 2 x 2 x 3

18 = 2 x 3 x 3

20 = 2 x 2 x 5

ดังนั้น ค.ร.น. ของ 12, 18 และ 20 คือ 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 180 ตอบ.

วิธีที่ 3 วิธีตั้งหารสั้น

การหาค.ร.น. วิธีตั้งหาร มีขั้นตอนดังนี้

1) หารจำนวนนับที่กำหนดให้ด้วยตัวประกอบเเฉพาะของมัน

2) ในกรณีที่หารไม่ลงตัวทั้งหมด สามารถลดหลั่นได้ตามลำดับ

3) หารไปเรื่อย ๆ จนผลหารของทุกจำนวนมีค่าเท่ากับ 1

4) นำตัวหารทั้งหมดคูณกัน ผลคูณที่ได้คือ ค.ร.น.

ตัวอย่างที่ 1 จงหา ค.ร.น.ของ 12 และ 18

วิธีทำ

2) 12, 18

3) 6, 9

2, 3

ดังนั้น ค.ร.น. ของ 12 และ 18 คือ 2 x 3 x 2 x 3 = 36 ตอบ.

ตัวอย่างที่ 2 จงหา ค.ร.น.ของ 12 , 30 และ 36

วิธีทำ

2) 12, 30, 36

3) 6, 15, 18

2) 2, 5, 6

1, 5, 3

ดังนั้น ค.ร.น. ของ 12, 30 และ 36 คือ 2 x 3 x 2 x 1 x 5 x 3 = 180 ตอบ.

ตัวอย่างที่ 3 จงหา ค.ร.น.ของ 15, 45 และ 60

วิธีทำ

5) 15, 45, 60

3) 3, 9, 12

1, 3, 4

ดังนั้น ค.ร.น. ของ 15, 45 และ 60 คือ 5 x 3 x 1 x 3 x 4 = 180 ตอบ.

จงหา ค.ร.น. ของจานวนต่อไปนี้ โดยใช้วิธีพิจารณาพหุคูณ, แยกตัวประกอบ หรือวิธีการหารสั้น

1. 18, 24

2. 7, 6

3. 10, 25

4. 54, 81

5. 70, 100

6. 6, 9, 15

7. 9, 11, 33

8. 42, 21, 210

9. 16, 12, 24

10. 6, 8, 15, 30

ต่อหน้า 2 ==> การนำค.ร.น.ไปใช้(โจทย์ปัญหาค.ร.น.)