โจทย์ปัญหา ห.ร.ม.

โจทย์ปัญหา ห.ร.ม. เป็นสถานการณ์ปัญหาที่เราเผชิญในชีวิตประจำวันค่อนข้างมาก ไม่ว่าจะเป็นการจัดสิ่งของ การแบ่งสิ่งของ หรือแม้กระทั่งการก่อสร้าง เช่น การติดหลอดไฟ คำนวณกระเบื้องปูพื้น เป็นต้น

ลักษณะของโจทย์ปัญหา ห.ร.ม. มีข้อที่น่าสังเกตคือ โจทย์นั้น ๆมักมีข้อความหรือคำที่มีความหมายในลักษณะ "มากที่สุด" "ยาวที่สุด" ในกรณีที่มีสิ่งของหลาย ๆชนิดมักมีเงื่อนไขเพิ่มเติมคือ "ไม่ปนกัน" เป็นต้น

กรณี 1. ถ้าโจทย์ให้หาจำนวนที่มากที่สุดที่หารจำนวนที่กำหนดให้แล้วเหลือเศษเท่ากัน หรือเศษแต่ละจำนวนไม่เท่ากัน โดยโจทย์กำหนดเศษมาให้ จะมีวิธีคิดคือ ให้นำจำนวนที่โจทย์กำหนดให้ลบด้วยตัวเศษ แล้วนำผลลัพธ์ที่ได้มาหา ห.ร.ม.

ตัวอย่างที่ 1 จงหาจำนวนนับที่มากที่สุดที่หาร 47, 62 และ 107 แล้วเหลือเศษ 2 เท่ากัน

วิธีทำ

47 - 2 = 45

62 - 2 = 60

107 - 2 = 105 * นำ 45, 60 และ 105 ไปหาห.ร.ม.

5) 45, 60, 105

3) 9, 12, 21

3, 4, 7

ห.ร.ม. ของ 45, 60 และ 105 คือ 5 x 3 = 15

ดังนั้น จำนวนนับที่มากที่สุดที่หาร 47, 62 และ 107 เหลือ เศษ 2 เท่ากัน คือ 15 ตอบ.

ตัวอย่างที่ 2 จงหาจำนวนนับที่มากที่สุดที่หาร 135 เหลือเศษ 5 และ หาร 198 เหลือเศษ 3

วิธีทำ

135 - 5 = 130

198 - 3 = 195 *นำ 130 และ 195 ไปหาห.ร.ม.

5) 130, 95

13) 26, 39

2, 3

ห.ร.ม. ของ 130 และ 195 คือ 5 x 13 = 65

ดังนั้น จำนวนนับที่มากที่สุดที่หาร 135 เหลือเศษ 5 และ 198 เหลือ เศษ 3 คือ 65 ตอบ.

กรณี 2. ถ้าโจทย์ให้หาจำนวนที่มากที่สุดที่หารจำนวนที่โจทย์กำหนดให้แล้วเหลือ เศษเท่ากัน โดยที่โจทย์ไม่ได้บอกเศษมาให้ และบางครั้งโจทย์ ให้หาว่าเศษที่เท่ากันคือจำนวนใด จะมีวิธีคิดดัง ตัวอย่างที่ 3

ตัวอย่างที่ 3 จงหาจำนวนนับที่มากที่สุดที่หาร 544, 712 และ 1048 แล้วเหลือเศษเท่ากัน

วิธีทำ นำจำนวนที่น้อยกว่าไปลบออกจากจำนวนที่มากกว่าดังนี้

712 - 544 = 168

1048 - 544= 504

1048 - 712 = 336 *นำ 168, 504 และ 336 ไปหาห.ร.ม.

2) 168, 504, 336

2) 84, 252, 168

2) 42, 126, 84

3) 21, 63, 42

7) 7, 21, 14

1, 3, 2

ห.ร.ม. ของ 168, 544 และ 336 คือ 2 x 2 x 2 x 3 x 7 = 168

ดังนั้น จำนวนที่มากที่สุดที่หาร 544 , 712 และ 1,048 แล้วเหลือเศษเท่ากัน คือ 168 ตอบ.

กรณี 3. ใช้ห.ร.ม.ในการทอนเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

ตัวอย่างที่ 4 จงทอน ให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

วิธีทำ หา ห.ร.ม. ของ 54 และ 69 ได้เท่ากับ 3

ดังนั้น 1. จะแบ่งเชือกยาวที่สุดยาวเส้นละ 7 เซนติเมตร

2. แบ่งได้ทั้งหมด 21 เส้น ตอบ.

............................................................................................................................................................................................................

ตัวอย่างที่ 7 กระดาษแข็งกว้าง 63 เซนติเมตร ยาว90 เซนติเมตร ต้องการตัดเป็นรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ใหญ่ที่สุดให้มีขนาดเท่า ๆ กัน โดยไม่เหลือเศษเลยจะต้องตัดกระดาษเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวด้านละกี่เซนติเมตรและได้กระดาษ รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดดังกล่าวกี่แผ่น

วิธีทำ 1. หา ห.ร.ม. ซึ่งหมายถึง ความยาวที่ยาวที่สุดในแต่ละด้านที่แบ่งได้ในแต่ละด้าน

2. หาว่าแบ่งรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้จำนวนทั้งหมดกี่แผ่น

3) 63, 90

3) 21, 30

7, 10

ห.ร.ม. ของ 63 และ 90 คือ 3 x 3 = 9

* ข้อสังเกต ห.ร.ม. คือ ความยาวที่ยาวที่สุดของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่จะแบ่งได้ในแต่ละด้าน โดยแบ่งได้ยาวด้านละ 9 เซนติเมตร

เศษ คือ ตัดกระดาษตามแนวด้านกว้าง 63 เซนติเมตร แบ่งได้ 7 ส่วนเท่่า ๆกัน และ ตัดกระดาษตามแนวด้านยาว 90 เซนติเมตร แบ่งได้ 10 ส่วนเท่า ๆกัน นั่นคือ จะได้กระดาษรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่ที่สุดขนาด 9 ×9 ตารางเซนติเมตรจํานวน ทั้งหมด 7 ×10 = 70 แผ่น

ดังนั้น 1. จะต้องตัดกระดาษแข็งเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวด้านละ 9 เซนติเมตร

2. กระดาษรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่ที่สุดแบ่งได้ทั้งหมด 70 แผ่น ตอบ.

............................................................................................................................................................................................

ตัวอย่างที่ 8 ห้องเรียนกว้าง 6 เมตร ยาว 8 เมตร ซึ่งจะต้องติดพัดลมเพดานจำนวน 6 ตัวโดยการให้คนงานมาติดพัดลม โดยบอกคนงานว่า ในการติดพัดลมนั้น จะต้องเว้นระยะช่วงห้างเท่ากัน คนงานจะต้องติดพัดลมให้ได้ หมดทุกตัวภายใน ห้องเรียนได้หรือไม่ ถ้าติดได้พัดลมแต่ละตัว จะอยู่ห่างกันเท่าใด

วิธีทำ โดยอาศัยแนวคิดในการหา ห.ร.ม. นั่นคือ นํา 6 และ 8 มาหา ห.ร.ม.

2) 6, 8

3, 4

ห.ร.ม.ของ 6 และ 8 คือ 2

นั่นคือ พัดลมแต่ละตัว จะอยู่ห่างกัน 2 เมตร

และ

แบ่งด้านกว้างออกเป็นช่องละเท่าๆกัน ได้โดยนํา 2 ไปหาร 6 เท่ากับ 3 ช่อง

แบ่งด้านยาวออกเป็นช่องละเท่่่าๆกัน ได้โดยนํา 2 ไปหาร 8 เท่ากับ 4 ช่อง

ตําแหน่งของการติดพัดลม หรือ 2 x 3 = 6 ตัว (จุดสีแดง)

ดังนั้น ต้องติดพัดลมหมดทุกตัวภายใน ห้องเรียนได้ พัดลมแต่ละตัว จะอยู่ห่างกัน 2 เมตร ตอบ.

สรุป ประโยชน์ของการหา ห.ร.ม. ก็คิอแบ่งสิ่งของที่ไม่เท่ากันให้ได้ มากที่สุด