บทเรียนออนไลน์ สมบัติของจำนวนนับ โดย นายอดิศักดิ์ มหาวรรณ

1.4 ตัวหารร่วมมาก

ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.)

Greatest Common Divisor (G.C.D.)

ให้นักเรียนพิจารณาแผนภาพต่อไปนี้

นักเรียนลองอ่านและดูภาพประกอบไปด้วยนะครับ

จากแผนภาพจะได้ว่า ตัวประกอบร่วมของ 12 และ 18 ได้แก่ 1, 2, 3 และ 6 เรียก 6 ซึ่งเป็นตัวประกอบร่วมที่มากที่สุดของ 12 และ 18 ว่า ตัวหารร่วมมากของ 12 และ 18 เขียนย่อๆ ว่า ห.ร.ม.ของ 12 และ 18 คือ 6

สรุป

ตัวหารร่วมมากของจำนวนนับใด ๆ คือ จำนวนนับที่มากที่สุดที่นำไปหารจำนวนนั้นๆ ได้ลงตัว

วิธีการหาตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) สามารถหาได้หลายวิธี ดังนี้

1. วิธีหาตัวประกอบ

2. วิธีแยกตัวประกอบ

3. วิธีตั้งหารสั้น และ

4. วิธีหารสองแถว(ยูคลิด)

1. การหาห.ร.ม.โดยวิธีหาตัวประกอบ

มีขั้นตอนการหา ห.ร.ม. ดังนี้

1) หาตัวประกอบของจำนวนนับที่กำหนดให้

2) หาตัวประกอบร่วม (ตัวหารร่วม) ของจำนวนนับในข้อ 1

3) นำตัวหารร่วมที่มีค่ามากที่สุดในข้อ 2 เป็น ห.ร.ม.

ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม.ของ 12 , 18

วิธีทำ

ตัวประกอบของ 12 คือ 1 , 2 , 3 , 4 ,6 , 12

ตัวประกอบของ 18 คือ 1 , 2 , 3 , 6 , 9 ,18

ตัวประกอบร่วมของ 12 และ 18 คือ 1 , 2 , 3 , 6

ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ 6 ตอบ

2. การหาห.ร.ม.โดยวิธีแยกตัวประกอบ

มีขั้นตอนการหา ห.ร.ม. ดังนี้

1) แยกตัวประกอบของจำนวนนับที่กำหนดให้

2) พิจารณาผลในข้อ 1 ว่ามีจำนวนใดซ้ำกันทุกบรรทัดบ้าง

3) นำจำนวนที่ซ้ำกันในข้อ 1 คูณกัน (สีเดง)

4) ผลคูณที่ได้จากข้อ 3 เป็น ห.ร.ม.

ตัวอย่างที่ 1 จงหาห.ร.ม.ของ 72 และ 84

วิธีทำ

ตัวอย่างที่ 2 จงหาห.ร.ม.ของ 36, 90 และ 144

วิธีทำ

3. การหาห.ร.ม.โดยวิธีตั้งหารสั้น

มีขั้นตอน การหา ห.ร.ม. ดังนี้

1) หารจำนวนนับที่กำหนดให้ด้วยตัวประกอบเฉพาะของมัน

2) หารผลหารที่ได้จากข้อ 1 ด้วยตัวประกอบเฉพาะ

3) ในกรณีที่ไม่มีตัวประกอบเฉพาะใดหารผลหารได้ลงตัวทั้งหมด จะหยุดทำการหารทันที

4) นำตัวหารทั้งหมดคูณกัน ผลคูณที่ได้คือ ห.ร.ม.

ตัวอย่างที่ 1 จงหาห.ร.ม.ของ 72 และ 84

วิธีทำ

2) 72, 84

2) 36, 42

3) 18, 21

6, 7 (ไม่มีตัวหารร่วมอีกแล้วให้หยุดการหาร)

ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 72 และ 84 คือ 2 x 2 x 3 = 12 ตอบ.

ตัวอย่างที่ 2 จงหาห.ร.ม.ของ 36, 90 และ 144

วิธีทำ

2) 36, 90, 144

3) 18, 45, 72

3) 6, 15, 24

2, 5, 8 (ไม่มีตัวหารร่วมอีกแล้วให้หยุดการหาร)

ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 36, 90 และ 144 คือ 2 x 3 x 3 = 18 ตอบ.

4. การหาห.ร.ม.โดยวิธียุคลิด(Euclidean Algorithm) หรือตั้งหารสองแถว

ยุคลิดแห่งอะเล็กซานเดรีย (Euclid of Alexandria) เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก ซึ่งมีชีวิต อยู่ประมาณ 450 – 380 ปีก่อนคริสต์ศักราช เป็นผู้ค้นพบวิธีการหา ห.ร.ม. ของจำนวนนับสองจำนวนที่มีค่ามาก ๆ ได้ อย่างรวดเร็ว ซึ่งเรียกว่า ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิด (Euclidean Algorithm)

การหา ห.ร.ม.โดยวิธีหารสองแถว เหมาะสำหรับจำนวนที่มีค่ามาก และถ้ามีจำนวนเกิน 2 จำนวน ก็ ให้นำจำนวนน้อยมาจับคู่ก่อนแล้ว นำ ห.ร.ม.ที่ได้ไปจับคู่กับจำนวนต่อไป (เอาจำนวนน้อยหารจำนวนมากเสมอ)

การหาห.ร.ม.โดยวิธียุคลิดมีขั้นตอน ดังนี้

1) นำจำนวนนับที่มีค่าน้อยไปหารจำนวนนับที่มีค่ามาก

2) จากข้อ 1 ถ้ามีเศษ ให้นำเศษไปหาจำนวนนับที่เป็นตัวหารในข้อ 1

3) ปฎิบัติเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งพบว่าจำนวนนับใดที่เหลือจากการหารแล้วหารลงตัว จำนวนนั้นคือ ห.ร.ม.

ตัวอย่างที่ 1 จงหาห.ร.ม.ของ 1,450 และ 1,800

วิธีทำ