U5 Circuits de corrent altern

L’energia elèctrica produïda a les centrals s’obté en forma de corrent altern pels seus avantatges pel que fa a la producció, transport, distribució i utilització, respecte del corrent continu.

1. El corrent altern. Valors fonamentals

Un corrent altern és un corrent variable en què les principals magnituds que el defineixen (la FEM, la tensió i la intensitat del corrent) canvien de valor i de sentit periòdicament. Es pot representar en un diagrama de coordenades cartesianes en què les ordenades assenyalen els valors que pren la magnitud a cada instant.

Els alternadors, generadors utilitzats a les centrals, estan fonamentats en la inducció electromagnètica i generen corrents alterns sinusoïdals, és a dir, corrents en què els valors instantanis de la FEM, la tensió i la intensitat són proporcionals als sinus de 0º a 360º, perquè el seu induït és format per bobines sotmeses a una variació uniforme i constant del flux produït per l’inductor.

El CA sinusoïdal és un fenomen periòdic, ja que es reprodueix en intervals de temps iguals. Els senyals periòdics tenen una sèrie de paràmetres que defineixen l’efecte altern. Aquests paràmetres o valors fonamentals són:

• • Període (T) és el temps necessari per fer un cicle complet. És format per dos semiperíodes que tenen el mateix valor absolut, però sentit contrari. El període es mesura en segons (s).

  • Freqüència (f) és el nombre de cicles que es produeixen en un segon. La seva unitat és l’hertz (Hz), que equival a un cicle cada segon. La relació entre la freqüència i el període és la següent:

• • Valor màxim (Vmàx , Imàx) és el valor instantani més gran de tots els d’un període. També s’anomena amplitud del senyal. Hi ha dos valors màxims, amb el mateix valor absolut: el que correspon al semiperíode positiu (Vmàx) i el que correspon al negatiu (−Vmàx).

  • Valor eficaç (V, I) és el valor més important dels corrents alterns, perquè quan operem matemàticament amb ell s’obtenen els mateixos valors que quan ho fem amb els valors instantanis contínuament variables. El valor eficaç d’un CA és aquell que produeix els mateixos efectes calorífics, en passar a través d’una resistència, que un CC del mateix valor, és a dir, diem que el valor eficaç d’un CA és de 220 V, perquè quan hi connectem una resistència R s’obté la mateixa quantitat de calor que quan la connectem a un CC de 230 V. En un CA sinusoïdal, el valor eficaç està relacionat amb el seu valor màxim mitjançant l’ expressió següent:

• • Valor mitjà ( Vmitjà , Imitjà ) és la mitjana algebraica dels valors instantanis d’un semiperíode (el valor mitjà d’un període complet val zero). Si el corrent és sinusoïdal, el valor mitjà val:

• • Valor instantani (v, i) és el que pren el senyal a cada instant. Venen donats per la fórmula: v=Vmàx·sinωt  ,  i=Imàx·sinωt. La seva unitat depèn de la magnitud que representa el senyal altern, la FEM, la tensió, la intensitat, etc. Aquests valors es poden representar gràficament en dues formes diferents: per coordenades cartesianes o vectorialment , representat per fasors.

Una qüestió important és l’angle de fase (φ) o desfasament. Aquest angle indica la posició que té a cada instant t, la funció respecte a l’origen de coordenades. Quan a l’instant inicial t = 0 el valor de la funció és v ≠ 0 , es diu que la funció està desfasada respecte a l’origen un angle φ (rad).

Representacions d'ones de CA

2. Els elements passius lineals en CA: R, L, C

Quan apliquem una tensió alterna a un receptor elèctric hi circula un corrent, que si és altern i de la mateixa freqüència que la tensió, diem que és un receptor lineal. D’acord amb el seu comportament en un circuit elèctric, els receptors es classifiquen en:

• • Resistències, R, que dissipen l’energia elèctrica en forma d’energia calorífica.

  • Inductàncies o bobines, L, que emmagatzemen l’energia elèctrica en forma de camp magnètic.

  • Capacitàncies o condensadors, C, que emmagatzemen l’energia elèctrica en forma de camp elèctric.

Com a conseqüència, hi ha circuits resistius o òhmics, inductius i capacitatius, si són formats per resistències, bobines i condensadors ideals, respectivament. En la pràctica, rarament es produeixen aquests casos per separat, i els circuits són òhmics inductius o bé òhmics capacitatius. Malgrat això, analitzarem els efectes que produeix cadascun d’ells per separat connectats a un corrent altern sinusoïdal.

2.1. Impedància (Z)

La dificultat que oposa un circuit al pas del CA s’anomena impedància (Z). La seva unitat es l’ohm (Ω) i matemàticament s’expressa:

2.2. Circuit amb resistència òhmica pura

Per calcular el corrent que circula pel circuit aplicarem la llei d’Ohm generalitzada: el corrent que circula per un circuit elèctric de CA és directament proporcional a la tensió aplicada als seus borns i inversament proporcional a la impedància que ofereix el circuit al pas del corrent.

En aquest cas Z = R, i llavors:

en què V i I són els valors eficaços.

En un circuit de CA que alimenta una resistència òhmica pura (ideal), la intensitat que hi circula està en fase amb la tensió aplicada:

v=Vmàx·sinωt  ,  i=Imàx·sinωt.

2.3. Circuit amb inductància pura

Un receptor inductiu pur és una bobina ideal, amb resistència nul·la (R = 0) i en la qual només es considera el seu coeficient d’autoinducció L. Aleshores la impedància Z = XL , en què XL s’anomena reactància inductiva o simplement inductància i el seu valor es determina a partir de l’expressió:

En un circuit amb reactància inductiva, la tensió aplicada està avançada 90° respecte del corrent que circula per la inductància. En conseqüència:    i = Imàx sin (ωt − 90) i   v = Vmàx sin ωt

La intensitat eficaç es calcula a partir de la llei d’Ohm, tenint present que la intensitat està desfasada 90° en retard, respecte de la tensió:

2.4. Circuit amb capacitància pura

Un receptor capacitatiu pur és un condensador ideal amb resistència infinita en què considerem exclusivament la seva capacitat C. En un circuit de CC amb un condensador, el corrent només circula quan es carrega o es descarrega, quan el connectem o desconnectem de la font d’alimentació. Si la tensió és alterna, el condensador es carrega i descarrega alternativament, d’acord amb la freqüència del corrent.

En un circuit amb un condensador i resistència nul·la (R = 0), la impedància Z = XC , en què XC s’anomena reactància capacitativa o simplement capacitància, i el seu valor es determina a partir de l’expressió:

En els circuits amb reactància capacitativa pura, la tensió aplicada està retardada 90º respecte del corrent que circula pel condensador:

i = Imàx sin (ωt + 90) i v = Vmàx sin ωt

Aleshores, la intensitat eficaç es calcula a partir de la llei d’Ohm, tenint present que la intensitat està desfasada 90° en avançament, respecte de la tensió:

3. Potència desenvolupada en CA

En el corrent continu, la potència desenvolupada per qualsevol receptor és el producte de la tensió en els seus borns per la intensitat que hi circula:  P=V·I (W)

En CA la potència depèn del tipus de receptor i podem distingir entre la potència activa, la potència reactiva i la potència aparent.

3.1. Potència desenvolupada pels diferents elements del circuit en CA

El valor de la potència instantània que desenvolupa una resistència en CA, vindrà donada per la següent expressió:

Com veiem en l'expressió, els valors del sinus estan elevats al quadrat, i per això quan el voltatge i la intensitat adopten valors negatius, la potència ho fa en positiu, com podem veure a la figura següent:

En canvi, quan tenim una bobina o un condensador , els dos elements emmagatzemen energia en un semicercle, per retornar-la al circuit al següent semicercle, i per tant, el balanç de potència és 0. (Més endavant veurem que aixó és referent a la potència activa, i si que produeix un altre tipus de potència, que és la reactiva).

3.2. La potència activa (P)

És la potència real desenvolupada per un receptor en un circuit. La seva unitat és el watt (W).

En un circuit de CA tenim que:  P = V I cos φ (W)  en què V i I són els valors eficaços. El factor cos φ rep el nom de factor de potència i es determina a partir de l’expressió: 

L’angle φ correspon al desfasament entre la tensió V aplicada al circuit i el corrent I que hi circula.

Si el circuit és resistiu pur, no hi ha desfasament entre el corrent i la tensió, φ = 0, per tant, cos φ = 1; llavors tenim que:

3.3. Potència reactiva (Q)

La potència que desenvolupa un receptor inductiu o capacitatiu es considera una potència fictícia que s’anomena potència reactiva (Q), de valor:

Q = V I sin ωt = V I sin φ (VAr)

La seva unitat, per distingir-la de la potència activa, és el voltampere reactiu (VAr). Si el circuit és inductiu pur o capacitatiu pur, el desfasament és de 90°, tal com ja s’ha explicat; i si φ = 90°, sin φ = 1. Llavors, els valors de la potència reactiva a causa d’una inductància (QL) i a una capacitància (QC) valen respectivament:

La potència reactiva causada per una capacitància és de sentit contrari a la d’una inductància, ja que, per conveni, la de la inductància és positiva i la de la capacitància és negativa:  Q = QL − QC 

3.4. Potència aparent (S)

La potència aparent (S) és la suma vectorial de la potència activa i la reactiva expressada en voltamperes (VA). La suma dóna lloc a l’anomenat triangle de potències. El seu valor es determina a partir de les expressions següents:

Les unitats de la potència aparent es donen en voltamperes (VA). Si el circuit és resistiu pur la potència aparent i l’activa coincideixen, ja que no hi ha la component reactiva.

4. Càlculs de circuits de CA en sèrie

El càlcul de circuits de CA amb valors instantanis és complicat i entretingut, per la qual cosa s’acostuma a simplificar utilitzant els valors eficaços amb la representació gràfica en forma vectorial i utilitzant els nombres complexos, sobretot expressats en forma binòmica i en forma de coordenades polars.

4.1. Els nombres complexos

Els nombres complexos representen totes les arrels dels polinomis, a diferència dels reals. El conjunt dels nombres complexos és l'extensió dels reals R , on i, que s'anomena la unitat imaginària, compleix que  i2=-1 . i  per tant:

Els nombres complexos, per tant, són tots aquells que tenen una arrel negativa, podem expressar aquesta arrel en la forma a+bi :

Aquests nombres es representen gràficament, la part imaginària (bi), a l'eix de les "y" i la part real (a) a l'eix de les "x".

Els nombres complexos es poden representar de dues maneres, com a suma de les components real i imaginària (notació cartesiana o binòmica), o com a mòdul amb angle (notació polar). En l'exemple anterior, per representar-lo en forma polar:

Per saber més i com operar amb nombres complexos: Els nombres complexos

Per transformar nombres polars a forma binòmica i a l'inrevés: Conversor online

4.2. Circuit en sèrie RL

És un circuit òhmic inductiu, format per una resistència R en sèrie, amb una inductància de coeficient d’autoinducció L. El corrent que hi circula està endarrerit respecte de la tensió aplicada un angle φ, comprès entre 0 > φ > −90°.

4.3. Circuit en sèrie RC

És un circuit òhmic capacitatiu, format per una resistència R en sèrie amb un condensador de capacitat C. El corrent que hi circula està avançat respecte de la tensió aplicada un angle φ, comprès entre 0° < φ < 90°. En l’exemple següent calcularem i analitzarem els paràmetres més  importants del circuit en sèrie RC.

4.4. Circuit en sèrie RLC

És el format per una resistència, una inductància i una capacitat en sèrie. El desfasament de la intensitat respecte de la tensió aplicada dependrà dels valors XL  i XC, de manera que si:

• • XL > XC, el circuit tindrà caràcter òhmic inductiu.

  • XL < XC, el circuit tindrà caràcter òhmic capacitatiu.

  • XL = XC, el circuit es comporta com un circuit òhmic pur.

5. Càlcul de circuits de CA en paral·lel

Per calcular circuits en paral·lel, ho fem igual que en CC, la impedància total serà la suma inversa de les impedàncies en paral·lel.

Aquesta forma de càlcul és la més real, tenint en compte que les dades que tenim dels receptors elèctrics no són les de la seva impedància, són la seva potència (útil o consumida) i el factor de potència. Per exemple:

• Làmpades incandescents: potència consumida. (P=60W i cosφ=1 )

• Làmpades fluorescents: potència consumida i factor de potència. (P=36W i cosφ=0,5) (Funcionen amb inductància)

  • Motors elèctrics: potència útil, rendiment i factor de potència. (P=15CV , µ=87% i cosφ=0,65)

• Forn elèctric: potència consumida. (P=3000W i cosφ=1 )

Per calcular qualsevol circuit mixt, aplicarem les mateixes lleis que en els circuits de corrent continu.

6. El factor de potència en circuits de CA

El factor de potència és el valor del cosinus de l’angle de desfasament entre el valor d'impedància i la tensió aplicada, o l'angle canviat de signe, del valor de la intensitat i el valor de tensió .

Aquest desfasament, hem vist que produeix la energia o potència reactiva. En artefactes com estufes, cuines elèctriques, làmpades incandescents, etc, la totalitat de l'energia consumida es transforma en calor o llum (energia activa). En motors, tubs fluorescents i molts electrodomèstics (que porten motor o compressor), una part de l'energia consumida es transforma en llum, moviment, etc (energia activa), però necessita a més, un consum energètic "extra" pel seu propi funcionament (energia reactiva), que és una energia que realment no s'aprofita i que les empreses subministradores ens cobren, degut a que es requereix una quantitat d'energia "extra", per produir la mateixa intensitat.

Les empreses subministradores penalitzen cobrant el KVARh (kilo voltamperereactiu hora) que es consumeix en instal·lacions amb un factor de potència inferior a 0,95.

Degut a que les empreses necessiten motors pel seu funcionament, la impedància dels seus circuits elèctrics tindran un comportament òhmic totalment inductiu, que es veurà penalitzat a la factura de la llum. En el següent exemple, veiem com per culpa d'aquesta energia reactiva, s'està pagant al més 275€ que no es consumeixen.

Per rebaixar aquesta energia reactiva, s'instal·len bateries de condensadors en paral·lel ala instal·lació de la

Cal comentar que l'angle del factor de potència és l'angle de desfasament de la impedància i de la potència aparent, igual que el de la intensitat però canviat de signe. Per això a la intensitat posem l'angle en negatiu.

Per tant, el factor de potència de la instal·lació serà: cos49,07= 0,655, força allunyat del 0,95 que necessitaríem per no pagar per la potència reactiva consumida.

Les potències seran les següents:

• • P= I·V·cosφ= 190,9A·230V·0,655= 28765W

  • Q= I·V·sinφ= 190,9A·230V·0,755= 33172,2VAr

  • S= I·V= 190,9A·230V= 43907VA

Càlcul de la capacitat total dels condensadors que haurem de posar en paral·lel a la instal·lació per reduir el factor de potència fins 0,95.

Primer de tot, dibuixem el triangle de potències. Haurem de trobar primer la QC que ens farà rebaixar l'angle de la potència aparent fins a 18,2° ja que arccos0,95=18,2°.

  7. El corrent altern trifàsic.

Qualsevol dels circuits estudiats en els apartats anteriors estan alimentats per un sistema monofàsic, però per a la producció, transport i distribució, així com per al consum industrial, s’utilitza el sistema trifàsic.

Un corrent altern trifàsic és format per tres corrents alterns monofàsics interconnectats, del mateix valor eficaç, de la mateixa freqüència i desfasats 120° entre ells. Rep el nom de fase del sistema cadascun dels corrents monofàsics que el formen. Cada fase alimenta un conductor del sistema i per diferenciar-los s’anomenen L1, L2 i L3 o també R, S i T.

Podem considerar que el terme fase fa referència als bobinats interns del generador i el terme línia als conductors que surten del generador i estan destinats a alimentar els receptors.

7.1. Connexió en estrella i en triangle dels generadors

A les centrals elèctriques es produeix el corrent altern trifàsic ala alternadors. Amb l’objectiu d’unir elèctricament les tres FEM induïdes, hi ha dues possibilitats d’interconnectar els tres bobinatges: en estrella o en triangle.

Els receptors en un sistema trifàsic poden estar connectats en estrella o en triangle.

7.2. La xarxa trifàsica

Quan la xarxa trifàsica arriba a les ciutats pot adoptar diferents voltatges, un cop passa per les diferents estacions transformadores. 

Es manté la relació entre la tensió de línia i la tensió de fase:

7.3. Connexió dels receptors trifàsics en CA trifàsic

Els receptors de CA trifàsic estan fets amb tres impedàncies ( resistències i/o bobines) que es poden connectar a la xarxa en estrella o en triangle. Són els mateixos receptors els que ens informen de com podem fer aquesta connexió en la seva fitxa tècnica, o placa (etiqueta) d'especificacions tècniques.

Per exemple, a la imatge següent veiem la placa d'informació tècnica d'un motor trifàsic. Ens indica que aquest motor es pot connectar en estrella a 400V o en triangle a 230V. Però s'ha de tenir en compte les tensions de la xarxa.

Receptor 230/400 V: Les seves fases han d'estar connectades a 230V com a màxim, aleshores:

• • Aquest receptor a una xarxa 400/690V: Si el connectem en estrella, les seves fases estaran a 400V, i per tant, cremem el receptor. Si el connectem en triangle, les seves fases estaran a 690V, per tant, pitjor.

  • Aquest receptor a una xarxa 230/400V: Si el connectem en estrella, les seves fases estaran a 230V, i funcionarà correctament. Si el connectem en triangle, les seves fases estaran a 400V, i per tant el cremem.

Receptor 400/690 V: Les seves fases han d'estar connectades a 400V com a màxim, aleshores:

• • Aquest receptor a una xarxa 400/690V: Si el connectem en estrella, les seves fases estaran a 400V, i per tant, funciona òptimament el receptor. Si el connectem en triangle, les seves fases estaran a 690V, per tant, cremarem el receptor.

  • Aquest receptor a una xarxa 230/400V: Si el connectem en estrella, les seves fases estaran a 230V, això provocaria un  funcionament per sota de la seva capacitat, i rendiria a una potència inferior a la que en diu la seva fitxa tècnica . Si el connectem en triangle, les seves fases estaran a 400V, i per tant funcionaria de forma òptima.

7.4. La potència en el sistema trifàsic

La potència activa d’un sistema trifàsic és igual que la suma aritmètica de les potències actives desenvolupades en cada fase. Igual passa amb la potència reactiva, però la potència aparent total és la suma algebraica de les potències de cada fase.

En un sistema trifàsic equilibrat, tan per connexió en estrella com en triangle, es compleix que:

Per exemple: Disposem d’una càrrega equilibrada formada per tres impedàncies de valor Z= 16 + 12 j Ω. Es connecta primer

en triangle i després en estrella a una xarxa trifàsica de VL=380V i 50Hz. Calculem les potències.

Veiem dels resultats, que una càrrega trifàsica equilibrada consumeix tres vegades menys corrent, connectada a una mateixa línia, amb connexió en estrella que amb connexió en triangle.

7.5. Connexió dels receptors monofàsics en CA trifàsic

Els elements monofàsics s'han de connectar en corrent altern trifàsic de manera equilibrada, es a dir, que les tres línies tinguin la mateixa càrrega. Connectats d'aquesta manera  equival a la connexió dels elements en estrella.

Per exemple,  si connectem 60 fluorescents de P=58W i factor de potència  0,5 en una xarxa trifàsica 230/400 V,  els hauríem de repartir 20 a cada línia:

Exemple: Tenim una instal·lació de CA trifàsic 230/400 V i  50 Hz, que alimenta un motor trifàsic de 5000 W de potència i cosφ=0,8 i 90 fluorescents de 20W i cosφ=0,5.   Calculeu la intensitat total de la xarxa connectant els fluorescents de manera equilibrada i el factor de potència de la instal·lació.  

També podríem calcular les potències parcials P i Q i sumar-les. A partir d'aquí trobar la potència total S que ens dona la intensitat total i l'angle de desfasament.

Una altre forma de calcular-ho, seria la de trobar les intensitats parcials i sumar-les, tal i com vam fer a monofàsica.