Embedded Files
L’electrònica digital és la base dels sistemes informàtics i té unes qualitats, entre les quals destaquen la simplicitat i la fiabilitat, que han propiciat un gran desenvolupament en el tractament de la informació i de les telecomunicacions, en el control dels processos industrials i, també, en el sector serveis. Cada vegada hi ha més aparells digitals d’ús quotidià, com ara televisors, vídeos, DVD, gravadores, càmeres fotogràfiques, etc., i altres aparells que incorporen elements digitals de control, com, per exemple, ascensors, neveres, rentadores, caixes registradores, balances automàtiques, etc. Qualsevol circuit digital, des dels més complexos (com ara els dels microprocessadors) fins als més simples, es construeixen amb portes lògiques. Una porta lògica és un circuit digital elemental a partir del qual s’executen les operacions lògiques de l’àlgebra de Boole, en què es fonamenta l’electrònica digital.
1. Els sistemes analògics i sistemes digitals
Quan una magnitud pot adoptar infinites posicions (estats) entre dos valors extrems, com és el cas de l’altura per mitjà d’una rampa, es tracta d’una magnitud o d’un senyal analògic. En canvi, quan la magnitud varia de manera discontínua, per nivells o esglaons, es tracta d’una magnitud o d’un senyal digital.
Els sistemes analògics són els que treballen amb senyals continus o alterns, en els quals, en un interval concret de senyal, la informació pot adquirir valors infinits, com en el cas del corrent continu o del corrent altern que hem estudiat en unitats anteriors. A l’Univers, la majoria de fenòmens i les magnituds físiques amb què es mesuren es poden considerar analògics: la temperatura, la pressió, la velocitat, la massa, el pes, el temps, el soroll, etc.
Els sistemes digitals són els que treballen amb senyals discontinus o digitals. Amb valors finits. D'entre els diferents sistemes digitals, el més important és el digital binari.
Rellotge analògic
Rellotge digital
Peu de rei analògic
Peu de rei digital
Definim senyal binari com una variable que només pot tenir dos valors, que corresponen a dos estats diferents i exclusius. Com per exemple el senyal d'una llum, només pot ser encès o apagat, o un motor que només pot estar encès o aturat, però tambè pot ser la resposta de llançar una moneda a l'aire, cara o creu.
Els circuits digitals que utilitzen senyals binaris també s’anomenen circuits lògics, ja que, en aquests circuits, la resolució i el plantejament d’accions es fa mitjançant respostes lògiques, del tipus sí o no, tal com hem vist en els exemples anteriors: el llum està encès (sí) o apagat (no); el motor està aturat (sí) o en marxa (no).
La facilitat en l’obtenció i la simplicitat en el tractament dels senyals binaris han convertit l’electrònica digital en una tecnologia amb un desenvolupament espectacular, tant en l’àmbit de la informàtica i les telecomunicacions com en el dels automatismes.
2. Els sistemes de numeració
La necessitat d’expressar-se i operar amb quantitats ha fet que, des de fa milers d’anys, s’hagin utilitzat diferents símbols gràfics per representar xifres. Aquesta simbologia s’anomena sistema de numeració.
Un sistema de numeració és un conjunt de símbols i regles que s’empren per representar quantitats o dades numèriques.
La característica distintiva de qualsevol sistema de numeració és la seva base. La base és el nombre de símbols emprats per representar les quantitats.
2.1. El sistema de numeració decimal
El sistema decimal és el que nosaltres utilitzem per comptar. És un sistema procedent de l’Índia que va ser introduït a Europa pels àrabs a principis del segle XII. Segons sembla, l’adopció d’aquest sistema deriva del fet que tenim deu dits a les mans.
El sistema decimal és de base 10, de manera que utilitza deu símbols anomenats xifres o dígits (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9). És un sistema de numeració posicional, és a dir, que el valor de cada dígit depèn de la seva posició relativa dins de la quantitat a la qual pertany: unitats, desenes, centenes, unitats de milers, desenes de milers, etc.
Un nombre es representa en funció de les potències de la base, d’acord amb la posició que ocupen els seus dígits respectius.
D’aquesta manera, una quantitat com 3.056 es pot expressar de la manera següent:
I si es tracta d’una quantitat fraccionària, per exemple el 27,35
Si bé, per comptar, el sistema decimal és pràcticament universal, per operar amb variables binàries o digitals es fa servir el sistema binari.
2.2. El sistema de numeració binari
El sistema binari és un sistema de numeració de base 2; per tant, utilitza dos dígits, 0 i 1, anomenats bits.
El bit, de l’expressió anglesa binary digit, és la unitat d’informació bàsica. Definim el byte com el conjunt de 8 bits i és la unitat de memòria informàtica més petita que es fa servir.
Exemple de byte: 10010011
Fixa’t que els bits són variables binàries, ja que només poden tenir dos estats excloents (0 i 1); per això, el sistema binari és un dels fonaments de l’electrònica digital.
L’ordinador transforma qualsevol dada o instrucció en uns i zeros (procés de codificació), fa el tractament de la informació i, després, presenta els resultats en un llenguatge comprensible per a nosaltres (procés de descodificació), sia alfabètic, numèric o gràfic.
En el sistema binari, els nombres es formen de manera similar a com ho fan en el sistema decimal, amb l’única diferència que ara només utilitzem dos dígits: 0 i 1. Cadascun dels dígits que formen un nombre binari també s’anomena bit; per exemple, el nombre 1 001 està format per quatre bits.
Conversió binària a decimal: Per convertir un nombre del sistema binari al decimal, es multiplica cada bit pel pes que té associat, i se sumen els resultats parcials, tal com es mostra en l’exemple següent:
Conversió decimal a binaria: Per convertir un nombre decimal en binari es divideix el decimal entre 2; el resultat es torna a dividir entre 2, i així successivament. Per obtenir el resultat s’agafa l’últim quocient i totes les restes de les divisions en ordre invers, tal com es mostra en l’exemple següent:
Operacions aritmètiques amb el sistema binari: La suma i la resta en el sistema binari es fan de la mateixa manera que amb el sistema decimal, però fent servir només els dígits 0 i 1.
En la suma binària tenim 4 casos: 0+ 0= 0 , 0+ 1= 1 , 1+ 0= 1 , 1 + 1 = 10 → (com 9 + 1 = 10) I en la resta també: 0 –0 = 0 , 1 –0 = 1 , 1 –1 = 0 , 0 – 1 = 1 → i en portem 1 (prèstec). Exemples d'operacions binàries:
3. L'àlgebra de Boole
Hem vist que el sistema de numeració binari permet fer operacions aritmètiques (sumar, restar, multiplicar, etc.) amb els bits de les variables binàries, com, per exemple, 1 + 1 = 10. En canvi, amb l’àlgebra de Boole , que va crear el matemàtic anglès George Boole (1815-1864) , es fan operacions amb les variables binàries el resultat de les quals només pot ser una altra variable binària (0 o 1). Per exemple, si disposem de tres interruptors per accionar un llum, el resultat de l’accionament dels diferents interruptors serà 1 si el llum s’encén i 0 si el llum no s’encén; també podríem assimilar-ho a cert (1), fals (0).
Les operacions amb variables binàries s’anomenen operacions lògiques, i les fonamentals són la suma lògica, el producte lògic i la inversió o negació.
L’àlgebra de Boole és el conjunt de lleis i postulats que permeten fer operacions lògiques amb les variables binàries
Cal no confondre la suma i el producte lògics amb la suma i el producte aritmètics, encara que en tots dos casos s’utilitzen els mateixos símbols (+ per a la suma i · per al producte). Les operacions lògiques es duen a terme amb variables binàries, i les aritmètiques, amb nombres binaris.
3.1. Operacions lògiques: Lleis de l'àlgebra de Boole
Les operacions lògiques són aquelles que operen amb les variables lògiques. A diferència de les operacions algebraiques (suma, resta, producte i divisió), les operacions lògiques només són tres: suma, producte i negació. Si tenim en compte que les variables binàries només poden tenir el valor de 0 o 1, a=0 o a=1 .
La suma lògica :
0 + 0 = 0
1 + 0 = 1
0 + 1 = 1
1 + 1 = 1
El producte lògic:
0 · 0 = 0
1 · 0 = 0
0 · 1 = 0
1 · 1 = 1
La inversió lògica o negació
Quan operem amb variables binàries:
La suma lògica presenta els postulats següents:
S = a + b
Una variable a la qual se suma 0 dóna com a resultat ella mateixa: a + 0 = a
Una variable a la qual se suma 1 dóna com a resultat 1: a + 1 = 1
Una variable sumada a ella mateixa dóna la mateixa variable: a + a = a
Una variable sumada a la seva inversa dóna com a resultat 1: a + ā = 1
El producte lògic :
S = a · b o S = a b
Una variable multiplicada per 0 dóna com a resultat 0: a · 0 = 0
Una variable multiplicada per 1 dóna com a resultat ella mateixa: a · 1 = a
Una variable multiplicada per ella mateixa dóna com a resultat la mateixa variable: a · a = a
Una variable multiplicada per la seva inversa dóna com a resultat 0: a · ā = 0
La inversió lògica es representa amb el símbol — sobre la variable, de la manera següent: F = ā
El postulat bàsic de la inversió és que una variable negada i tornada a negar dóna com a resultat la variable inicial:
3.2. Propietats de l'àlgebra de Boole
3.3. Teoremes de De Morgan
Els teoremes de De Morgan o llei de l’equivalència són uns dels més importants de l’àlgebra de Boole. Els enunciats són els següents:
Primer teorema: la negació de la suma lògica és igual al producte lògic de les variables negades. És a dir:
Segon teorema: la negació del producte lògic és igual a la suma lògica de les variables negades. És a dir:
3.4. Llei d'absorció
A+AB=A i A·(A+B)=A , tambè :
3.5. Lleis de transposició
3.6. Simplificacions lògiques amb àlgebra de boole
Apliquem la llei d'absorció.
4. Les portes lògiques
Quan una acció depèn dels elements que permeten executar-la, es diu que aquesta acció és una funció lògica d’aquests elements. Per exemple, si tenim un interruptor i un llum connectats segons l’esquema de la figura del marge, podem dir que l’estat del llum (encès o apagat) és una funció de l’interruptor (tancat o obert, respectivament), però aquesta funció lògica és binària, és a dir, només pot tenir dos estats, llum encès o apagat, que depenen de l’estat de la variable binària d’entrada, en aquest cas l’interruptor, que pot estar obert o tancat.
La funció lògica d’una variable binària és també una variable binària.
De manera que si a = variable binària d’entrada o senyal d’entrada, i S = variable binària de sortida o senyal de sortida podem escriure: S = f (a), I es llegeix: el senyal de sortida S és funció del senyal d’entrada a, o, simplement, S és funció d’ a.
Si ho generalitzem per a qualsevol nombre de senyals d’entrada, una funció lògica estableix una correspondència entre una variable d’entrada i una única variable de sortida, de manera que les variables d’entrada estan relacionades per operacions lògiques en funció de les quals s’obté el senyal de sortida, que també és una variable binària. Si el sistema disposa de més d’una sortida, s’anomena sistema multifunció, i cada una de les sortides es tracta individualment d’acord amb les entrades que l’afecten.
En general, els senyals d’entrada es representen amb lletres minúscules (a, b, c, etc.) i els de sortida amb majúscules (S, X, etc.) del final de l’abecedari.
4.1. Taules de la veritat
Una funció lògica també es pot representar per la taula de veritat, a partir de la qual i d’una manera molt senzilla s’analitzen tots els estats possibles de les variables d’entrada i de l’estat de la variable de sortida.
A la taula de veritat es representen, ordenades, totes les combinacions possibles dels valors d’entrada i de sortida que s’obté per a cadascuna. El nombre de combinacions possibles és de: 2n on n és el nombre de variables d’entrada.
D’aquesta manera, si una funció té dues variables d’entrada, seran 22 = 4 combinacions i la taula ha de tenir tres columnes i quatre files.
Si hi ha tres variables d’entrada, el nombre de combinacions ha de ser de 23 = 8; per tant, cal construir una taula de quatre columnes (tres per a les entrades i una per a la sortida) i de vuit files, una per a cada combinació de les entrades, tal com pots observar a les figures del marge.
4.2. Funcions i portes lògiques
Els sistemes digitals, per dur a terme la seva tasca, fan servir les funcions lògiques, i per obtenir una funció lògica calen uns dispositius que són els encarregats de processar o tractar els senyals binaris d’entrada amb operacions lògiques per generar el senyal de sortida corresponent.
Els dispositius que efectuen directament les diferents funcions o operacions lògiques s’anomenen portes lògiques.
Es pot simular el funcionament d’una porta lògica amb un circuit elèctric anomenat circuit elèctric equivalent.
Les funcions lògiques fonamentals fan les operacions definides a l’àlgebra de Boole i, per tant, en compleixen les lleis i els postulats. Aquestes funcions són:, que fa la suma lògica. , que fa el producte lògic., que fa la inversió lògica o negació.
Veiem dos tipus de simbologia, la DIN (Deutsches intitut fur normung) Normativa Alemana/Europea i la ASA (American Standards Association) Normativa Americana. A selectivitat només es pot fer servir la simbologia DIN.
La funció O (OR en anglès)
La funció O (OR) o suma lògica té dues variables d’entrada o més i es representa amb el símbol +. Una funció de dues variables d’entrada té l’expressió lògica X = a + b i es llegeix: X és igual a a més b. El dispositiu que duu a terme la suma lògica és la porta O (OR).
La funció O dóna 1 a la sortida quan almenys una de les variables d’entrada val 1.
Funció O implementada amb operadors elèctrics
Un circuit elèctric que permeti accionar un avisador acústic des de dos punts diferents, amb dos polsadors NO, es comporta com una porta O, ja que l’avisa- dor funciona (X = 1) si es prem qualsevol dels polsadors o tots dos (a = 1, o b = 1, o a = 1 i b = 1, respectivament).
Per implementar una funció O amb un circuit elèctric, es connecten tants elements en paral·lel (polsadors NO, interruptors, etc.) com variables d’entrada tingui la funció.
Porta OR de quatre entrades.
Y = A+B+C+D
La funció I (AND en anglès)
La funció I o producte lògic és una funció de dues variables d’entrada o més i es representa amb el símbol. Una funció I de dues entrades té l’expressió lògica X = a · b i es llegeix: X és igual a a per b. El component que duu a terme el producte lògic és la porta I (AND).
La funció I dóna 1 a la sortida quan totes les variables d’entrada valen 1.
Funció I implementada amb operadors elèctrics
Si volem realitzar un circuit elèctric que permeti engegar un cotxe només quan el conductor accioni la clau de contacte i porti posat el cinturó de seguretat, tal com es mostra en l’esquema, hem de saber que aquest circuit es comportarà com una porta I, ja que el motor d’arrencada només s’engegarà quan el conductor accioni la clau de contacte (a = 1) i porti cordat el cinturó de seguretat (b = 1).
Per implementar una funció I amb un circuit elèctric es connecten tants elements en sèrie (polsadors NO, interruptors, etc.) com variables tingui la funció.
Porta and de tres entrades.
F= a·b·c
La funció NO (NOT en anglès)
Amb el circuit lògic que fa la funció NO (també anomenada inversió, negació o complement) s’obté a la sortida l’estat invers de la variable d’entrada. Es representa amb el símbol – damunt de la variable. D’aquesta manera:
Si a = 0 ā = 1 i si a = 1 ā = 0
És una funció lògica d’una sola variable d’entrada i té l’expressió lògica, F = ā, que es llegeix: F igual a no a. El dispositiu que duu a terme aquesta funció és la porta NO (NOT) o porta inversora.
La funció NO dóna com a sortida l’estat invers de l’entrada.
Funció NO implementada amb operadors elèctrics R
Un grup de pressió d’aigua format per un motor bomba i controlat per un pressòstat funciona com una porta NO. El pressòstat és un detector de pressió que queda accionat entre dos valors, per exemple, entre 5 bar i 3 bar, de manera que, quan la pressió del circuit hidràulic arriba a 5 kg/cm2, obre el circuit elèctric que alimenta el motor bomba, i quan la pressió és inferior a 3 bar, el tanca fent funcionar el motor fins que torna a arribar als 5 bar.
A l’esquema elèctric pots comprovar que, quan el pressòstat no està activat (a = 0), el motor bomba funciona (F = 1), i si està activat (a = 1), obre el circuit i desconnecta el motor (F = 0).
La funció NO-O (NOR)
És la negació de la suma lògica o funció O. Primer fa la suma lògica i després nega el resultat. Una funció NO-O de dues variables té l’expressió lògica X = a + b i es llegeix: X és igual a la negació d’a més b. El component que duu a terme la suma lògica negada és la porta NO-O (NOR).
La funció NO-O dóna 1 a la sortida quan totes les variables d’entrada valen 0.
Funció NOR implementada amb operadors elèctrics: Si apliquem el teorema de De Morgan:
La funció NO-I (NAND)
La funció NO-I és la negació del producte lògic o funció I. Primer fa el producte lògic i després la negació. Una funció NO-I de dues entrades té l’expressió lògica i es llegeix: X és igual a la negació d’a per b. L’operador que duu a terme el producte negat és la porta NO-I (NAND).
La funció NO-I dóna 1 a la sortida quan almenys una de les entrades val 0.
Funció NAND implementada amb operadors elèctrics: Si apliquem el teorema de De Morgan:
La funció XOR
La pota lògica O-exclusiva, en anglès XOR, realitza la funció booleana A'B+AB'. El seu símbol és el mas (+) inscrit en un cercle.
La funció XNOR
La porta O-exclusiva negada, XNOR amb entrades A y B implementa la expressió lògica A⋅B+A¯⋅B¯= A⊕B¯
Les portes lògiques més habituals solen dur dues variables d’entrada. No obstant això, també és força corrent fer servir portes amb tres variables d’entrada. De tota manera, sempre es poden combinar portes de dues entrades per obtenir funcions amb les variables d’entrada que es desitgin.
5. Esquemes de circuits lògics
La representació gràfica d’un circuit digital utilitzant els símbols de les portes lògiques s’anomena logigrama, o simplement esquema del circuit lògic.
Per obtenir el logigrama d’una funció lògica a partir de la seva expressió booleana només cal utilitzar la porta corresponent a l’operació lògica que es vol fer. Per exemple, per representar gràficament la funció: F = ā · (b + c)
Primer es resolen els parèntesis, després els productes i finalment les sumes.
5.1. Obtenció d'una funció lògica a partir d'un logigrama
Per obtenir la funció lògica a partir de l’esquema del circuit es parteix de les variables d’entrada i s’escriu a la sortida de cada porta la funció que fa. Les sortides de les portes es tracten com a entrades de les portes a les quals estan connectades, i així successivament fins a arribar al final del circuit, en què obtindrem l’expressió booleana o equació que defineix la funció lògica del circuit.
Una funció lògica està expressada en forma canònica quan a cada un dels termes de l’equació figuren totes les variables d’entrada.
5.2. Obtenció i implementació d'una funció lògica a partir de la taula de la veritat
A partir de la taula de veritat s’obté una equació o expressió booleana de la funció lògica. Aquesta funció es pot expressar de dos formes:
Per mintems , expressant en suma de productes , les combinacions de variables que donen 1 a la taula de la veritat. Si la variable és un 0 es posa negada.
Per maxtems, expressant en forma de productes de sumes, les combinacions que donen 0 a la taula de la veritat. En aquest cas, si la variable és 1 es posa negada.
Exemple:
A partir de la següent taula de la veritat, expressem la funció lògica per minterms:
La variable de sortida té un valor 1 quan es compleix:
I l’operador O és la suma lògica. Per tant:
La variable de sortida té un valor 1 quan es compleix:
I l’operador O és la suma lògica. Per tant:
Aquesta expressió s’anomena forma canònica de la funció lògica com a suma de productes.
Per dibuixar el logigrama d’aquesta funció fem servir tres portes NO, per negar les variables d’entrada a i b; tres portes I de dues entrades, per fer els productes, i una porta O de tres entrades, per fer la suma de productes, tal com es mostra a la figura.
No obstant això, per realitzar o implementar el circuit és convenient simplificar l’equació, cosa que ens permetrà obtenir un circuit més simple i senzill. Hi ha diversos mètodes per simplificar funcions lògiques. Nosaltres només utilitzarem la simplificació algebraica, aplicant les lleis de l’àlgebra de Boole que hem vist.
En l’equació que ens ocupa,
, traient factor comú (b) en els termes segon i tercer, obtenim
i, com que ā + a = 1, finalment resulta:
Comprovem que el resultat de la taula de veritat és el mateix que el de la funció sense simplificar:
Per tant, per implementar el circuit de la funció F només necessitem dues portes inversores, una porta I i una porta O de dues entrades.
5.3. Simplificació amb taules o mapes de Karnaugh
El mapes de Karnaugh consisteixen en resoldre d'una manera gràfica la simplificació de circuits, aquest sistema te com a solera les lleis de l'àlgebra de Boole, on en un dels apartats ens diu:
5.3.1. Construcció de la taula:
Per aplicar aquesta tècnica tenim que construir unes taules, segons el nombre de variables, on cada casella correspon a una posició concreta dins la taula de veritat. Aquests mapes o taules de Karnaugh cal construir-los adequadament, al canviar de fila o columna només pot variar de valor una variable, en cap cas dos o mes variables. A més, no pot haver-hi més d'un canvi de variable entre columna i columna (el 01 no podrà estar al costat del 10, ni el 11 del 00).
5.3.2. Omplim la taula:
En l'aplicació de la tècnica dissenyada per Karnaugh, cal seguir unes normes per a que el sistema funcioni correctament. Si fem servir minterms, resumint seria:
S'han d'agrupar dins el llaç el màxim nombre possible de "1" de forma contínua.
El nombre de "1" dins el llaç vindrà donat per 2^n, es a dir 2, 4, 8, 16.
Els llaços s'han de traçar en horitzontal o en vertical, mai en diagonal.
La part superior de la taula te continuïtat amb l'inferior, així mateix, la part esquerra connecta amb la part dreta.
Un o varis "1" poden pertànyer a varis llaços
5.3.3. Simplifiquem:
Per simplificar eliminem dins de cada llaç o agrupació, la variable que canvia. Per exemple:
EXEMPLE: En aquest exemple senzill, es tracta d'aplicar la tècnica de Karnaugh partint d'una taula de veritat de tres variables
6. Circuits senzills a partir d'una expressió booleana
Veiem aquest exemple: Si hem de dissenyar i construir un circuit elèctric que controli l’enllumenat general d’una sala d’oficines amb dos punts d’accés. Per a l’accionament fem servir dos aparells de comandament, a i b, un a cada punt d’accés, i, per detectar la llum natural que arriba a la sala, un interruptor crepuscular, c.
Si a la sala hi arriba prou llum natural, el detector (c = 0) no permet que s’encengui l’enllumenat general (R = 0); si no és així (c = 1), permet que s’encengui i s’apagui l’enllumenat mitjançant els dos aparells de comandament, a i b, de la manera següent: Si a i b estan oberts (a = 0 i b = 0) o tancats (a = 1i b = 1), l’enllumenat està apagat.
Cada vegada que canvia l’estat d’un dels dos comandaments, l’enllumenat també canvia d’estat, és a dir, si estava encès s’apaga i viceversa.
Assignació de variables: Variables d’entrada: a = aparell de comandament b = aparell de comandament c = detector del nivell de llum natural a la sala Variables de sortida: R = bobina del relé que acciona l’enllumenat general de la sala Taula de veritat D’acord amb els requeriments de l’enunciat, l’enllumenat estarà encès (R = 1) si c = 1, a = 1o b = 0,o si c = 1, a = 0 o b = 1. En tots els altres casos estarà apagat (R = 0).
De la taula de veritat, en deduïm:
Si fem factor comú, c, ens queda:
Logigrama
Esquema elèctric equivalent
Page updated
Report abuse