Unidad 1: CÁLCULO VARIACIONAL (3.5 clases)
1. Introducción al cálculo variacional. Primera variación. Ecuación de Euler-Lagrange.
2. Aplicaciones de la ecuación de Euler-Lagrange en matemáticas y física.
3. Criterio de Legendre. Variaciones de varias variables.
Bibliografía:
The Calculus of Variations, B. van Brunt, 2004 (Springer). An Introduction to the Calculus of Variations, Charles FOx, 1987 (Dover). Arfken G. y Weber H. Mathematical Methods for Physicist, Editorial Academic Press, London, 2001. Riley, K.F. Hobson, M. P. & Bence, S. J. Mathematical Methods for Physics and Engineering (CUP). S. Hassani, Mathematical Physics, Springer 1999.
Unidad 2: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (3.5 clases)
1. Ecuaciones Diferenciales Parciales Lineales. Clasificación de las Ecuaciones Parciales Lineales de segundo orden con coeficientes variables y constantes. Reducción de las ecuaciones diferenciales parciales a sus
formas canónicas.
2. Unicidad de la solución de la EDO de segundo grado. El método de Funciones de Green para la solución de EDO. Separación de variables en coordenadas cartesianas.
3. Aplicación de las condiciones de frontera. Separación de variables en coordenadas cilíndricas y esféricas.
Unidad 3: FUNCIONES ORTOGONALES Y TEORÍA DE STURM-LIOVILLE (7 clases)
1. Espacios de funciones. Espacios infinito-dimensionales, bases ortonormales. Norma y producto interno.
2. Espacios de Hilbert y L2. Funciones ortogonales. Ortogonalización de Gram-Schmidt en espacios de funciones.
3. Operadores de segundo orden: lineales, adjunto, autoadjunto y hermítico.
4. Autofunciones y autovalores. Función delta de Dirac de forma general.
5. Ortogonalidad de Autofunciones. Funciones especiales.
6. Problema de Sturm-Liouville.
7. Ecuaciones lineales inhomogéneas. Función de Green. Solución no homogénea.
Unidad 4: FUNCIONES DE BESSEL (4 clases)
1 Solución a ecuaciones hiperbólicas. Oscilaciones transversales en una cuerda. Oscilaciones longitudinales en cuerdas, varillas y resortes. Membranas oscilantes.
2. Ecuación de Bessel revisitada.
3. Funciones de Bessel de primera clase. Función generatriz, relaciones de recurrencia, ortogonalidad, aplicaciones.
4. Forma integral. Funciones de Neumann. Funciones de Hankel y esférica
Unidad 5: FUNCIONES DE LEGENDRE Y ARMÓNICOS ESFÉRICOS (6 clases)
1. Solución a ecuaciones de tipo parabólico. Ecuación del calor y ecuación de difusión.
2. Expansión del potencial eléctrico. Funciones de Legendre. Función generatriz, relaciones de recurrencia, ortogonalidad.
3. Fórmula de Rodríguez y aplicaciones. Funciones asociadas de Legendre.
4. Armónicos esféricos.
5. Operadores de momento angular.
6. Autofunciones del operador momento angular. Operadores escalera y aplicaciones para construcción de autofunciones y ortogonalización.
Unidad 6: FUNCIONES DE HERMITE Y LAGUERRE. (4 clases)
1. Solución a ecuaciones elípticas. Ecuación de Laplace y de Poisson. Aplicaciones al electromagnetismo y la termodinámica.
2. Funciones de Hermite, función generatriz, relaciones de recurrencia, ortogonalidad, fórmula de Rodríguez y aplicaciones.
3. Funciones de Laguerre, forma integral, relaciones de recurrencia, ortogonalidad, fórmula de Rodríguez y aplicaciones.
Sistema de Evaluación
El sistema de evaluación a seguir es el siguiente:
Cuatro exámenes parciales acumulativos del 25 % cada uno, con una duración de dos horas, en los cuales se evaluará el manejo operativo y conceptual, y las aplicaciones. Estos parciales tendrán como propósito
evaluar los contenidos conceptuales y procedimentales. El primer examen parcial corresponderá a las dos primeras unidades, el segundo a la unidad 3, el tercero a las unidades 4 y 5 (hasta funciones asociadas de
Legendre) y el cuarto examen a las unidades 5 (desde armónicos esféricos) y 6. Durante el semestre se dejará un conjunto de problemas como preparación de cada examen.
Estrategias metodológicas
Durante el desarrollo del curso se hará uso como metodología la cátedra magistral y la clase taller.
El presente curso tiene una carga académica de 4 créditos equivalente a 12 horas de dedicación semanales, las cuales la siguiente distribución:
1. Cuatro horas semanales de clases magistrales, las cuales deben ser teórico-prácticas en donde el docente presente los conceptos básicos, algunas demostraciones y ejemplos de problemas seleccionados que
ayuden a comprender la importancia y necesidad de la introducción de los conceptos del curso. Las horas del curso se distribuyen en 64 horas de docencia directa y 8 horas para los 4 parciales de 2 horas cada uno.
2. Seis horas semanales de trabajo independiente en donde el estudiante resuelva ejercicios y problemas que le permitan apropiarse de los conceptos e identificar situaciones problema en la comprensión de los temas
para plantear al docente del curso en el espacio de asesoría.
3. Dos horas de docencia asistida en donde se aclaren las dudas y conceptos.
Bibliografía
Arfken G. y Weber H. Mathematical Methods for Physicist, Editorial Academic Press, London, 2001.
Santos Bravo Yuste. Métodos Matemáticos Avanzados para Científicos e Ingenieros. , Uex (2006).
Sepulveda A. Lecciones de Física Matemática, Editorial Universidad de Antioquia, Medellín, 2004.
S. Hassani, Mathematical Physics, Springer 1999.
Riley, K.F. Hobson, M. P. & Bence, S. J. Mathematical Methods for Physics and Engineering (CUP).
Jacob Rubinstein, Yehuda Pinchover. An Introduction to Partial Differential Equations (Cambridge University Press, 2005).
Bibliografía complementaria
A. Tijonov - A. Samarsky. Equations of Mathematical Physics (Dover Books on Physics), 2nd edition (2011).
Dennis G. Zill y Michael R. Cullen, Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera, 7a Ed.
George E. Andrews, Richard Askey, Ranjan Roy. Special Functions (Encyclopedia of Mathematics and its Applications) 1st Edition.
Nico M. Temme. Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics (1st Edition).
Michael Stone, Paul Goldbart. Mathematics for Physics: A Guided Tour for Graduate Students. Cambridge Press (1st ed).
John W. Dettman. Mathematical Methods in Physics and Engineering (Dover Books on Physics).