Современные люди воспринимают цифры как данность, ведь людей учат считать с ранних лет, поэтому ни у кого не возникает проблем с подсчетом оставшейся наличности, пройденных шагов, дней до важного события. Но как именно люди научились считать? Когда это произошло?

Учиться считать люди начали с незапамятных времен, а учителем у них была сама жизнь.

Древние люди, наблюдая за окружающей их природой, от которой зависела их жизнь и процветание, из большого разнообразия предметов и вещей изначально научились выделять всего лишь отдельные предметы. Из стада животных – одно животное, из косяка рыб – одну рыбу. Изначально они смогли определить это отношение как «один» и «много».

Умение вести подсчет играло большую роль выживания не только одного человека, но и всего его племени. До того, как научиться считать, наши предки использовали конечности (пальцы рук и ног) и окружавшие их предметы: палочки, камушки.

Потребность в ведении счета крупных чисел дали толчок к появлению письменного счета. Так как бумагу еще не производили и не знали, как это делать, подсчеты проводились посредством зарубин на костях животных и палках, или узелками на веревках, или письма на глиняных дощечках.

Такой способ записи чисел назывался унарной системой счисления. Унарная система счисления - простейшая и самая древняя система, в которой для записи любых чисел используется всего один символ-палочка, узелок, зарубка, камушек. Длина записи числа при таком кодировании прямо связана с его величиной, что роднит этот способ с геометрическим представлением чисел в виде отрезков. Именно унарная система лежит в фундаменте арифметики, и именно она до сих пор вводит первоклассников в мир счёта. Унарные системы ещё называют системами бирок.

Дадим определение системе счисления.

Система счисления - это знаковая система, в которой приняты определенные правила записи чисел. Знаки, с помощью которых записываются числа, называются цифрами, а их совокупность - алфавитом системы счисления.

Можно выделить следующие виды систем счисления:

1) унарная система счисления;

2) непозиционные системы;

3) позиционные системы.

Система счисления называется непозиционной, если количественный эквивалент (количественное значение) цифры в числе не зависит от её положения в записи числа.

Примером непозиционной системы счисления является римская система.

У римлян были специальные обозначения для чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000. Римские цифры имели такой вид: 1 – I(ай), 5 – V(ви), 10 – X(экс), 50 – L(эл), 100 – C(си), 500 – D(ди) и 1000 – M(эм). Обозначая числа, римляне записывали столько цифр, чтобы их сумма давала нужное число. Например, число 7 они записывали так VII, а число 362 так CCCLXII. Как видите, сначала идут большие цифры, а потом поменьше. Но иногда римляне писали меньшую цифру перед большей. Это означало, что нужно не складывать, а вычитать. Например, число 4 обозначалось IV (без одного пять), а число 9 - IX (без одного десять). Запись XC (экс си) означала число 90 (без десяти сто).

В позиционной системе счисления, как раз все наоборот, величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих ее алфавит.

Алгоритмические числа образуются в ней следующим образом: значения цифр умножаются на «веса» соответствующих разрядов, и все полученные значения складываются. Это отчетливо прослеживается в числительных русского языка: «три – ста пять – десят семь».

Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число q > 1.

Алфавит десятичной системы составляют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде: A_q= ±(a_n-1·q^n-1+ a_n-2·q^n-2+…+ a₀·q⁰+ a _-1·q^-1+…+ a _-m·q^-m)

Здесь А - само число,

q (Кю) - основание системы счисления,

a_i (а итое) –цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления,

n (эн) - количество целых разрядов числа,

m (Эм)- количество дробных разрядов числа,

qⁱ (кю в итой степени) - «вес» i-го разряда

Запись числа по формуле называется развёрнутой формой записи. Свёрнутой формой записи числа называется его представление в виде ±an₋₁an₋₂...a₁a₀...a_−m.

Пример

Возьмем число 15246,410 (пятнадцать тысяч двести сорок шесть целых, четыре десятых, в десятичной системе счисления).

Так как число записано в десятичной системе, то q (кю)=10.

Цифры, принадлежащие алфавиту данной системы для этого числа, аi (а итое)= 1, 5, 2, 4, 6.

Количество целых разрядов n (эн) =5.

Количество дробных разрядов m (эм)=1.

Теперь соберем все это по формуле.

1·104+5·103+2·102+4·101+6·100+4·10-1=10000+5000+200+40+6+0,6=15246,6

От системы счисления, используемой в компьютере, зависят объем памяти, скорость вычислений и сложность выполнения алгоритмов. В компьютерах используются двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы счисления.

В жизни мы в основном пользуемся десятичной системой счисления (арабская нумерация).

Начало этой системе счисления было положено в Вавилоне и Древнем Египте. Цифры 1234567890 сложились в Индии около 400 г. н.э. Арабы стали пользоваться подобной нумерацией около 800 г. н.э. после перевода работ математика Мухаммеда аль-Хорезми. Цифры арабской нумерации уже были немного похожи на наши.

Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения. Та форма, которой мы пользуемся сейчас, установилась в XVI в.

В компьютерах десятичная система счисления используется для ввода и вывода информации.

Двоичная система счисления была придумана математиками и философами ещё до появления компьютеров (XVII — XIX вв.) Позже двоичная система была забыта, и только в 1936 — 1938 годах американский инженер и математик Клод Шеннон нашёл замечательные применения двоичной системы при конструировании электронных схем.

В настоящее время в компьютерной технике используется двоичная система счисления, обеспечивающая ряд преимуществ по сравнению с другими системами счисления:

• двоичные числа представляются в компьютере с помощью достаточно простых технических элементов с двумя устойчивыми состояниями;

• представление информации посредством только двух состояний надёжно и помехоустойчиво;

• двоичная арифметика наиболее проста;

• существует математический аппарат, обеспечивающий логические преобразования двоичных данных.

Обмен информацией между компьютерными устройствами осуществляется путём передачи двоичных кодов. Пользоваться такими кодами из-за их большой длины и зрительной однородности человеку неудобно. Поэтому специалисты (программисты, инженеры) на некоторых этапах разработки, создания, настройки вычислительных систем заменяют двоичные коды на эквивалентные им величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системах счисления. В результате длина исходного слова сокращается в три, четыре раза соответственно. Это делает информацию более удобной для рассмотрения и анализа.