Programma del corso

PREREQUISITI:

PROPRIETA' ALGEBRICHE ELEMENTARI DELLE 4 OPERAZIONI

TRIGONOMETRIA: funzioni trigonometriche elementari,  loro periodicita', formule per la somma, differenza, duplicazione, e bisezione.

DISEQUAZIONI polinomiali, col valore assoluto, esponenziali e trigonometriche.

I. INSIEMI NUMERICI E FUNZIONI: 

Cenni di teoria degli insiemi. 

Insiemi numerici: numeri naturali, interi, razionali (irrazionalita' di radice di due), reali (assiomi dei numeri reali; massimi, minimi, estremi superiore ed inferiore).

Funzioni e loro rappresentazione cartesiana (funzioni iniettive, suriettive, biettive,  monotone, invertibili). 

Elementi di calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni, combinazioni e formula del binomio di Newton.

Il principio di induzione.

I numeri complessi: rappresentazioni algebrica, geometrica, trigonometrica,  esponenziale; radici n-sime; formule di de Moivre e di Eulero.

II. SUCCESSIONI E LORO LIMITI 

Definizioni di successione. Definizione di limite. 

Operazioni con i limiti. Forme indeterminate. Teoremi di confronto. Limiti notevoli. 

Successioni monotone. Il numero "e" di Nepero. Successioni estratte (sottosuccessioni) e teorema di Bolzano-Weiersrtass.

III. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE: LIMITI E CONTINUITA'

Definizione di limite (per successioni e con epsilon/delta). Operazioni con i limiti (compresa la composizione).

Definizione di continuita' (puntuale e in un insieme). Discontinuita' (eliminabile/non-eliminabile). 

Teoremi della permanenza del segno, dei valori intermedi, e di Weierstrass. 

Continuita' per le funzioni monotone e per le funzioni inverse.

IV DERIVATE E APPLICAZIONI 

Definizione di derivata. Interpretazione geometrica (coefficiente angolare della retta tangente). Applicazioni alla meccanica, economia, etc.

Operazioni con le derivate. Derivazione delle funzioni composte e delle fuzioni inverse. 

Derivate di funzioni elementari.

Massimi e minimi relativi e Teorema di Fermat. 

Teoremi di Rolle e Lagrange. Funzioni crescenti e decrescenti. Convessita' e concavita'. 

Le regole di de l'Hopital.  

Studio del grafico di una funzione.

Formula di Taylor [dopo gli integrali]: resti di Peano, integrale, di Lagrange.

Infinitesimi e loro confronto; approssimazione numerica di "pi greco" e del numero "e" di Nepero.

V INTEGRALI 

Integrali definiti: metodo di esaustione di Archimede, funzioni integrabili secondo Riemann, proprieta' fondamentali;teorema della media; integrabilita' delle funzioni continue (cenni).

Primitive e teorema fondamentale del  calcolo integrale. 

Integrali indefiniti. 

Metodi di integrazione: per parti e tabulazione, per sostituzione, per decomposizione in somma, delle funzioni razionali. 

Calcolo dell'area di figure piane. 

Integrali impropri.

VI SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI 

Serie numeriche; carattere, serie convergenti/indeterminate/divergenti.

Condizione necessaria per la convergenza e criterio della coda. 

Serie a termini non negativi. 

Serie geometrica, armonica, armonica generalizzata. 

Criteri di convergenza: criterio di condensazione di Cauchy, del confronto, del confronto asintotico, criterio integrale. 

Serie a segni alterni (teorema di Leibnitz). 

Convergenza assoluta.

Successioni e serie di funzioni (facoltativo):

Convergenza puntuale e uniforme. Teoremi di passaggio al limite sotto i segni di  integrale e di derivata.

Serie di potenze (intervallo di convergenza, teorema di D'Alembert).  Serie di Taylor. 

Cenni sulle serie di Fourier.

VII FUNZIONI DI DUE VARIABILI 

R^2 come spazio topologico: insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti, connessi.

R^2 come spazio vettoriale: prodotto scalare, norma, disugauglianza di Cauchy-Schwarz, disugaglianza triangolare per la norma.

Funzioni reali di due variabili reali: dominio di definizione.

Limiti e continuita'. Teoremi di Bolzano-Weierstrass, di Weierstrass, di esistenza dei valori intermedi.

Derivate parziali, derivate successive (teorema di Schwarz).

Differenziabilita' (teorema del differenziale), piano tangente. Gradiente (significato geometrico). Derivate direzionali. Linee di gradiente e curve di livello. Funzioni a gradiente nullo in un connesso. Funzioni di classe C^k(A).

Funzioni composte, formula di Taylor e applicazioni (massimi e minimi relativi, punti di sella).

VIII EQUAZIONI DIFFERENZIALI 

Definizione di equazione differenziale ordinaria: integrale indefinito, integrale generale, equazioni alle derivate parziali, forma normale (cenni al teorema di invertibilita' del Dini) e problema di Cauchy. Esempi. 

Il teorema di Cauchy di esistenza ed unicita' (senza dimostrazione: commenti ed esempi).

Equazioni differenziali lineari del primo ordine (omogenee e non).  Applicazioni alla dinamica delle popolazioni e all'economia.

Equazioni differenziali lineari del secondo ordine (omogenee e non). 

Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti di ordine n: polinomio caratteristico, alcuni metodi risolutivi per la ricerca delle soluzioni particolari (metodo della variazione delle costanti arbitrarie). 

IX INTEGRALI CURVILINEI, FORME DIFFERENZIALI, ED INTEGRALI DOPPI 

Curve regolari (piane):  lunghezza, orientazione, ascissa curvilinea, integrali curvilinei di campi sacalari (funzioni).

Forme differenziali: integrale curvilineo, forme chiuse, esatte, teoremi di caratterizzazione delle forme esatte (insiemi stellati, semplicemente connessi). 

Domini normali. Integrali su domini normali. Teorema di riduzione per gli integrali doppi. 

Formule di Gauss-Green.

Teorema della divergenza. 

Formula di Stokes. 

Cambiamento di variabili negli integrali doppi:  Jacobiano e sua interpretazione geometrica, coordinate polari.