Calendario delle Lezioni (2024-5)

Mercoledi' 25 settembre 2024 (ore 16-18) TEORIA DEGLI INSIEMI (Cap. I, Sez. 4)

CONNETTIVI e SIMBOLI LOGICI: "elemento di", "sottoinsieme di"; esiste; per-ogni; implicazione; equivalenza; negazione; et; vel; aut.

INSIEMI: elementi, inclusione, intersezione, unione, insieme vuoto, differenza di due insiemi, complementare di un insieme, formule del DE MORGAN, insieme delle parti di un insieme (e sua cardinalita'), prodotto cartesiano di due insiemi.

RELAZIONI BINARIE: Relazioni di equivalenza, insieme quoziente, ESEMPI (rette del piano e loro parallelismo);  Relazioni d'ordine, ESEMPI (rappresentazione dei numeri razionali).

Giovedi' 26 settembre 2024 (ore 9-12) CALCOLO COMBINATORIO E PRINCIPIO DI INDUZIONE (Cap.1, Sez. 11; Cap.2, Sez.13 e 14)

ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO: disposizioni D(n,k), permutazioni P(n), combinazioni C(n,k); n! fattoriale; (n su k) coefficiente binomiale; LEMMA/TRIANGOLO di Tartaglia

PRINCIPIO DI INDUZIONE: le tessere del domino; ESEMPIO: somma di GAUSS; ESEMPIO: disuguaglianza di Bernoulli; ESEMPIO: 1 + x + x^2 + ... + x^n

TEOREMA BINOMIALE DI NEWTON: simbolo di SOMMATORIA; teorema e sua dimostrazione

Mercoledi' 2 ottobre 2024 (ore 16-18) INSIEMI NUMERICI (Cap.1, Sez.5; Cap.2, Sez.12)

NUMERI: naturali (N), interi relativi (Z), razionali (Q) e le loro operazioni. 

TEOREMA (Pitagora) Radice di 2 NON e' razionale. Significato "filosofico" di questo risultato.

NUMERI REALI: definizione assiomatica (proprieta' algebriche, ordine TOTALE, e ASSIOMA DI COMPLETEZZA). ESEMPI (relativi agli elementi SEPARATORI)

MASSIMO, MINIMO (se esistono) DI UN INSIEME DI NUMERI REALI. ESEMPI

Giovedi' 3 ottobre 2024 (ore 9-12) INSIEMI NUMERICI (Cap.1, Sez.12; Cap.2, Sez.15)

NUMERI REALI: maggioranti; insiemi limitati superiormente/inferiormente; insiemi limitati

ESTREMI SUPERIORE E INFERIORE DI UN INSIEME DI NUMERI REALI  (teorema-definizione)

TEOREMA: N (insieme dei numeri naturali) non e' limitato (proprieta' ARCHIMEDEA)

TEOREMA: DENSITA'  DI Q IN R (con dimostrazione)

L'INSIEME DEI NUMERI COMPLESSI E LE LORO OPERAZIONI

SOMMA: proprieta' associativa e commutativa, elemento neutro, opposto di un numero complesso

PRODOTTO: proprieta' associativa e commutativa, elemento neutro, inverso (di un numero complesso non nullo); (0,1)^2 = - (1,0)

R come sottoinsieme di C e compatibilita' con le operazioni

RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA DEI NUMERI COMPLESSI: piano di Argand-Gauss; asse reale; asse immaginario; 1 = (1,0); i = (0,1) UNITA' IMMAGINARIA

RAPPRESENTAZIONE ALGEBRICA DEI NUMERI COMPLESSI: compatibilita' della rappresentazione algebrica con le operazioni; parte reale, parte immaginaria, coefficiente dell'immaginario.

CONIUGIO: interpretazione geometrica

MODULO DI UN NUMERO COMPLESSO: il valore assoluto di un numero reale a eguaglia il modulo del numero complesso a; il modulo di un numero complesso z come la distanza di z dallo zero 0 = (0,0); giustificazione della formula per l'inverso

Mercoledi' 9 ottobre 2024 (ore 16-18) NUMERI COMPLESSI (Cap.2, Sez.15)

FORMA TRIGONOMETRICA

Modulo, argomento (o anomalia), argomento principale, RADIANTI: esempi

Espressione del PRODOTTO di due numeri complessi in forma trigonometrica

Espressione del CONIUGATO/RECIPROCO di un numero complesso in forma trigonometrica

Espressione del RAPPORTO di due numeri complessi in forma trigonometrica

FORMULA DI DE MOIVRE

TEOREMA FONDAMENTALE DELL'ALGEBRA (solo enunciato): esempi

RADICI n-SIME DI UN NUMERO COMPLESSO

Giovedi' 10 ottobre 2024 (ore 9-12) NUMERI  COMPLESSI e FUNZIONI (Cap.2, Sez.15 e Cap.1 Sez. 7 e 8)

TEOREMA (Esistenza e cardinalita' dell'insieme delle radici n-sime) Dato un numero complesso z non nullo,
esistono esattamente n radici n-sime DISTINTE di z. In particolare, se rappresentate graficamente sul piano di Argand-Gauss, esse costituiscono i vertici di un n-gono regolare (inscritto nella circonferenza di raggio r uguale alla radice n-sima reale del modulo di z).

Esempi.

FORMA ESPONENZIALE: e^{it}= cos(t) + i sen(t); FORMULA DI EULERO: e^{iπ}+1 =0

FUNZIONI: dominio, codominio, grafico, rappresentazione con le frecce; FUNZIONI INIETTIVE; FUNZIONI SURIETTIVE; FUNZIONI BIETTIVE; interpretazione di iniettivita'/suriettivita'/biettivita' tramite il grafico; COMPOSIZIONE DI FUNZIONI; FUNZIONI INVERSE (interpretazione insiemistica (con le frecce invertite); il grafico della funzione inversa); funzione IDENTITA'

FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE:  DOMINIO di una funzione; ESEMPI

Mercoledi' 16 ottobre 2024 (ore 16-18) FUNZIONI (Cap.1, Sez.7-10)

FUNZIONI CRESCENTI, DECRESCENTI, MONOTONE, (e propreita' dei loro GRAFICI); una funzione strettamente monotona e' iniettiva

FUNZIONE VALORE ASSOLUTO: f(x) = |x|; disuguaglianza traingolare

POTENZE, FUNZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE: a^n, a^{m/n}, a^x (e sue proprieta'); loga_a (e sue proprieta')

TRIGONOMETRIA: IL RADIANTE; sin(x), cos(x), tan(x) e loro interpretazione geometrica; formula pitagorica fondamentale: cos^2(x) + sin^2(x) = 1; TABELLA DEI VALORI FONDAMENTALI (primo quadrante); FORMULE DI ADDIZIONE, DUPLICAZIONE, e BISEZIONE per sen(x) e cos(x)

Giovedi' 17 ottobre 2024 (ore 9-12) SUCCESSIONI (Cap.3, Sez. 16 - 19)

DEFINIZIONE DI SUCCESSIONE: Esempi

SUCCESSIONI CONVERGENTI e LIMITE (la scommessa: voi scegliete epsilon (piccolo a piacere) e io trovo n_epsilon (sufficientemente grande)...), Interpretazione grafica; Esempio: a_n = 1/n

SUCCESSIONI DIVERGENTI ed IRREGOLARI: Esempi

TEOREMA DI UNICITA' DEL LIMITE

SUCCESSIONI LIMITATE; Teorema: ogni successione convergente e' limitata; Attenzione (il viceversa non e' vero): esistono succssioni limitate che NON sono convergenti

TEOREMA (OPERAZIONI CON I LIMITI): limite della somma, del multiplo, (e quindi della differenza), del prodotto, del reciproco, (e quindi del rapporto)

Mercoledi' 23 ottobre 2024 (ore 16-18) SUCCESSIONI (Cap.3, Sez.20-23)

LIMITE di una successione polinomiale; LIMITE del rapporto di DUE POLINOMI

FORME INDETERMINATE

Teorema della PERMANENZA del SEGNO e suo corollario

Teorema dei CARABINIERI

TEOREMA (prodotto di una successione infinitesima per una successione limitata)

Esempi

LIMITI NOTEVOLI con la disuguaglianza di BERNOULLI: a^n (a in R)

Giovedi' 24 ottobre 2024 (ore 9-12) SUCCESSIONI (Cap.3, Sez. 23 - 25)

LIMITI NOTEVOLI con la disuguaglianza di BERNOULLI: radice n-sima di a, a > 0; radice n-sima di (n^k), k in R).

LIMITI NOTEVOLI trigonometrici: se a_n --> 0 allora:sin(a_n) ---> 0 (con dimostrazione geometrica); cos(a_n) --->1; sin(a_n)/a_n ---> 1 (con dimostrazione geometrica); (1-cos(a_n))/a_n^2 ---> 1/2

SUCCESSIONI MONOTONE: TEOREMA: una successione monotona e' regolare

IL NUMERO e DI NEPERO: Lemma 1:  a_n = (1+ 1/n)^n e' crescente;; Lemma 2:  b_n = (1+ 1/n)^{n+1} e' decrescente; OSS:  2 = a_1 < a_2 < a_3 < ... < a_n < b_n < ... < b_3 < b_2 < b_1 = 4; TEOREMA (definizione di "e"). La successione a_n e' convergente.

SUCCESSIONI ESTRATTE (SOTTOSUCCESSIONI): TEOREMA (una sottosuccessione estratta di una successione convergete/divergente e' convergete/divergente)

Mercoledi' 30 ottobre 2024 (ore 16-18) SUCCESSIONI (Cap.3, Sez.20-23; Cap.4, Sez. 31-32)

SUCCESSIONI ESTRATTE (SOTTOSUCCESSIONI): TEOREMA (una sottosuccessione estratta di una successione convergete/divergente e' convergete/divergente) RIPASSO.

TEOREMA DI BOLZANO WEIERSTRASS (con dimostrazione)

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LIMITI DI FUNZIONI 

DEFINIZIONI (per successioni): limite finito per x --> x_0; limite +/- infinito per  x --> x_0; ESEMPI

EQUIVALENZA DELLE DEFINIZIONI DI LIMITE mediante: (i) successioni (ii) epsilon e delta_epsilon (per limiti finiti)

ATTENZIONE: se limite per x --> x_0 DEVE ESSERE SEMPRE x DIVERSO DA x_0 !!!

Giovedi' 31 ottobre 2024 (ore 9-12) LIMITI DI FUNZIONI E CONTINUITA' (Cap.4, Sez. 31-32 e 33 - 34)

LIMITI DI FUNZIONI 

DEFINIZIONI: limite finito per x --> +/- infinito; limite +/- infinito per  x --> +/- infinito; ESEMPI

EQUIVALENZA DELLE DEFINIZIONI DI LIMITE mediante: (i) successioni (ii) epsilon e delta_epsilon (per limiti finiti) RIPETIZIONE; M e delta(M) per limiti infiniti

LIMITI DESTRO E SINISTRO

Il limite esiste SSE esistono limite sinistro, limite destro, e sono uguali

ESEMPI IMPORTANTI: f(x) = a^x (per x --> +/- infinito); f(x) = polinomio(x); f(x) = sen(x), cos(x), tan(x)  (per x --> +/- infinito); f(x)= sen(x)/x (per x --> 0); f(x) = (1-cos(x)/x^2 (per x --> 0)

FUNZIONI CONTINUE

DEFINIZIONE DI CONTINUITA' IN UN PUNTO

CONTINUITA' a destra e a sinistra: Una funzione e' continua in x_0 SSE e' ivi continua a destra e a sinistra.

DISCONTINUITA': eliminabile; di prima e di seconda specie; ESEMPI

DEFINIZIONE DI CONTINUITA' IN UN INSIEME (INTERVALLO) DI DEFINIZIONE

CONTINUITA' ED OPERAZIONI ELEMENTARI: continuita' del multiplo e della somma/prodotto/rapporto di funzioni continue; continuita' delle funzioni COMPOSTE

ESEMPI di FUNZIONI CONTINUE: polinomi, sen(x), cos(x), tan(x)

Mercoledi' 6 novembre 2024 (ore 16-18) SUCCESSIONI (Cap.4, Sez. 35-36)

TEOREMA della PERMANENZA del SEGNO

TEOREMA DEGLI ZERI

PRIMO TEOREMA DELL'ESISTENZA DEI VALORI INTERMEDI

IMPORTANZA DELLE IPOTESI DI CONTINUITA' nei suddetti teoremi

Giovedi' 7 novembre 2024 (ore 9-12) LIMITI DI FUNZIONI E CONTINUITA' (Cap.4, Sez. 35-38)

TEOREMA DI WEIERSTRASS  (con DIMOSTRAZIONE)

SECONDO TEOREMA DELL'ESISTENZA DEI VALORI INTERMEDI

IMPORTANZA DELLE IPOTESI DI CONTINUITA' e DI CHIUSURA E LIMITATEZZA DELL'INTERVALLO DI DEFINIZIONE in: TEOREMA DI WEIERSTRASS (importanze delle IPOTESI); SECONDO TEOREMA DELL'ESISTENZA DEI VALORI INTERMEDI

TEOREMI sulle funzioni MONOTONE:

(i) f : [a,b] ---> R strettamente monotona e continua e' invertibile (rispetto a f([a,b])).

(ii) caratterizzazione delle funzioni monotone continue (mandano intervalli in intervalli)

TEOREMA: CONTINUITA' DELLE FUNZIONI INVERSE Dimostrazione rigorosa (corollario di (ii)); argomento intuitivo geometrico.

ESEMPIO: le funzioni ARCSIN(x), ARCOS(x), e ARCTAN(x)

Mercoledi' 13 novembre 2024 (ore 16-18) DERIVATE (Cap.5, Sez. 39-41, 44)

VELOCITA' MEDIA E VELOCITA' ISTANTANEA

IL RAPPORTO INCREMENTALE (variazione della variabile dipendente diviso la variazione della variabile indipendente); le due espressioni equivalenti [f(x)-f(x_0)]/[x - x_0] oppure [f(x_0+h) - f(x_0)]/h

DEFINIZIONE DI DERIVABILITA' IN UN PUNTO E DI DERIVATA: Notazioni: f'(x_0) et df/dx(x_0) (notazione di Leibnitz)

INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DELLA DERIVABILITA' e della DERIVATA: EQUAZIONE della retta tangente al grafico in un punto e suo coefficiente angolare

ESEMPI (calcolo della derivata): f(x) = c  (funzione costante);  f(x) = mx+q (funzione lineare), f(x) = x^2.

RELAZIONE TRA CONTINUITA’ E DERIVABILITA’ (derivabilita' implica continuita'); CONTROESEMPIO per il vice versa: f(x) = |x|.

OPERAZIONI CON LE DERIVATE: derivata della somma; derivata di una funzione moltiplicata per uno scalare; derivata del prodotto (REGOLA DI LEIBNITZ), ATTENZIONE: la derivata del prodotto non e' il prodotto delle derivate: CONTROESEMPI; derivata del reciproco; derivata del rapporto; OSSERVAZIONE: (derivata reciproco ET regola di Leibnitz) ==> (derivata del rapporto ET derivata funzioni costanti)  ===> derivata del reciproco.

Giovedi' 14 novembre 2024 (ore 9-12) DERIVATE (Cap.4, Sez. 41-43)

OPERAZIONI CON LE DERIVATE: derivata del reciproco

DERIVATE DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI. derivata di x^n: (a) dimostrazione con la formula binomiale di Newton; (b) dimostrazione per induzione

DERIVATA DELLE FUNZIONI COMPOSTE (chain rule): esempio con le tre ruote dentate

DERIVABILITA' E FORMULA PER LA DERIVATA DELLE FUNZIONI INVERSE: (a) interpetazione geometrica (mediante i grafici e i coefficienti angolari delle rette tangenti); (b) per dimostrazione diretta; (c) come corollario della formula per la derivata delle funzioni composte

DERIVATE DI ALCUNE FUNZIONI: d/dx[radice(x)] = 1/(2 radice(x)); d/dx [ln(x)] = 1/x; d/dx[exp(x)] = exp(x); d/dx[a^x] = ln(a) a^x; d/dx[sin(x)] = cos(x);  d/dx[cos(x)] = -sin(x); d/dx[tan(x)] = 1/cos^2(x); d/dx[arcsin(x)] = 1/radice(1-x^2); d/dx[arcos(x)] = -1/radice(1-x^2); d/dx[arctan(x)] = 1/(1+x^2)

Mercoledi' 20 novembre 2024 (ore 16-18) DERIVATE (Cap.5, Sez. 46-48)

MASSIMI E MINIMI RELATIVI: definizioni ed esempi; caso dei massimi e minimi assoluti; punti ESTREMALI

TEOREMA DI FERMAT: importanza del fatto che il punto di max/min relativo sia INTERNO (CONTROESEMPI)

TEOREMA DI ROLLE: essenzialita' delle 3 ipotesi (CONTROESEMPI); interpretazione geometrica

TEOREMA DI LAGRANGE: interpretazione geometrica (confronto col Teorema di Rolle ed equivalenza)

TEOREMA (criterio di monotonia (debole)): f crescente <===> f ' non-negativa.

Giovedi' 21 novembre 2024 (ore 9-12) DERIVATE (Cap.4, Sez. 48-50)

TEOREMA (criterio di monotonia (forte)): f   strettamente crescente <=== f ' > 0. ATTENZIONE: il viceversa NON e' sempre vero (ESEMPIO: f(x) = x^3).

TEOREMA (caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo). ATTENZIONE: essenzialita' che il dominio di definizione sia un intervallo (CONTROESEMPIO). ESEMPIO: f(x) = arctan(x) + arctan(1/x)

FUNZIONI CONCAVE E CONVESSE: definizioni (funzione non necessariamente derivabile; funzione derivabile (quella che utilizziamo)); interpretazione geometrica; OSSERVAZIONE: f convessa/concava <===> (-f) concava/convessa

TEOREMA (criterio di convessita'):  f convessa <==>  f ' crescente  <===> f '' non-negativa.

IL TEOREMA DI DE L'HOPITAL: Enunciato generale e dimostrazione nel caso particolare in cui le funzioni f(x) e g(x) sono infinitesime per x ---> x_0 e derivabili con derivata continua in x_0 con g'(x_0) diverso da zero. Idea di dimostrazione quando f(x) e g(x) tendono all'infinito. Enunuciato quando x ---> +/- infinito. ESEMPI. ATTENZIONE: non si deve applicare la formula dell'Hopital quando la forma f(x)/g(x) NON e' indeterminata 

Mercoledi' 27 novembre 2024 (ore 16-18) STUDIO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE (Cap.5, Sez. 51)

STUDIO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE f(x):

(A) Il DOMINIO D(f)

(B) eventuali SIMMETRIE (funzioni pari/dispari, periodiche); intersezioni con gli assi coordinati; positivita'/negativita'.

(C) eventuali ASINTOTI ORIZZONTALI/VERTICALI/OBLIQUI

(D) intervalli di CRESCENZA/DECRESCENZA (studio del segno di f '(x)); MASSIMI/MINIMI RELATIVI/ASSOLUTI

(E) intervalli di CONVESSITA'/CONCAVITA' (studio del segno di f ''(x)); punti di FLESSO

ESEMPIO: STUDIO della funzione f(x) = x exp(1/x)

Giovedi' 28 novembre 2024 (ore 9-12) INTEGRALI (Cap.8, Sez. 61-63)

IL METODO DI ESAUSTIONE (Archimede): Calcolo dell'area del cerchio con il metodo di esaustione; PARTIZIONI regolari (x_0 = a, x_1 = a+(b-a)/n, ..., x_i = a +i(b-a)/n, ..., x_n = b); SOMME: L_n, R_n,  s_n (detta anche SOMMA INFERIORE) , S_n (detta anche SOMMA  SUPERIORE), M_n, ed r_n di una funzione continua (e quindi limitata) f:[a,b] ---> R.

TEOREMA (definizione di integrale di una funzione continua): lim L_n = lim R_n = lim s_n = lim S_n = lim M_n = lim r_n

Definizione di INTEGRALE DEFINITO di una funzione (continua): estremi di integrazione, funzione integranda, variabile di integrazione; Significato geometrico dell'integrale (area col segno del sottografico)

PROPRIETA' dell'integrale definito: linearita', additivita' rispetto agli intervali, monotonia (confronto degli integrali)

IL TEOREMA DELLA MEDIA  (integrale); Significato di media (confronto con la media discreta); Interpretazione geometrica/fisica.

PRIMITIVE di una funzione: Caratterizzazione delle primitive di una funzione in un intervallo

TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO. Interpretazione geometrica: ovvero, la sua importanza per il calcolo delle aree e rivisitazione dei calcoli delle aree col metodo di esaustione.

ESEMPIO: \int_0^b (x^2)dx: (i) area del sottografico con il metodo di ESAUSTIONE; (ii) mediante il TFC: con F(x) = x^3/3 primitiva di f(x) = x^2.

Mercoledi' 4 dicembre 2024 (ore 16-18) INTEGRALI INDEFINITI (Cap.5, Sez. 67-70 e 74)

MEDIA DI UNA FUNZIONE: Significato di media (confronto con la media discreta); MEDIA DELLA VELOCITA' = VELOCITA' MEDIA

INTEGRALI INDEFINITI: PRIMITIVE di una funzione; Esempi

CALCOLO DI AREE DI FIGURE PIANE: Esempi

CALCOLO DI ALCUNI INTREGRALI PARTICOLARI (usando l'interpretazione geometrica): \int_0^\pi sin^2(x)dx = \int_0^\pi cos^2(x)dx = \pi/2; \int_0^\R \sqrt(1 - R^2)dx = (\pi R^2)/4

INTEGRAZIONE PER DECOMPOSIZIONE IN SOMMA: Esempi

Giovedi' 5 dicembre 2024 (ore 9-12) INTEGRALI (Cap.8, Sez. 71-73)

INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE: come corrispettivo della formula di derivazione delle funzioni composte; ESEMPI; L'integrazione per sostituzione per gli integrali definiti (ATT.NE agli ESTREMI di integrazione!)

INTEGRAZIONE PER PARTI: come corrispettivo della formula di Leibnitz (per la derivazione del prodotto); ESEMPI

INTEGRAZIONE DELLE FUNZIONI RAZIONALI: Definizione di funzione razionale; divisione euclidea di due polinomi (col resto); funzioni razionali PROPRIE  (il grado del numeratore e' strettamente minore del grado del denumeratore); OSS: per l'integrazione di funzioni razionali ci si puo' limitare al caso delle funzioni razionali proprie.

Mercoledi' 11 dicembre 2024 (ore 16-18) INTEGRALI INDEFINITI (Cap.5, Sez. 71)

INTEGRAZIONE DELLE FUNZIONI RAZIONALI: OSS. Per l'integrazione di funzioni razionali ci si puo' limitare al caso in cui il grado del numeratore e' strettamente minore del grado del denumeratore (funzione razionale PROPRIA) ed il denominatore e' MONICO.

CASO (grado denominatore = 1): Soluzione generale; ESEMPIO

CASO (grado denominatore = 2):

- sottocaso DISCRIMINANTE > 0, fratti semplici e soluzione generale, ESEMPI

- sottocaso DISCRIMINANTE = 0, fratti semplici e soluzione generale, ESEMPI

- sottocaso DISCRIMINANTE < 0: metodo per ottenere una costante al numeratore ("isolando" al numeratore (un multiplo de) la derivata del denominatore, il che, integrando, da'  (un multiplo de) il logaritmo del denominatore);

COMPLETAMENTO DEL QUADRATO:

- soluzione dell'equazione di secondo grado (a coefficienti complessi)

- soluzione generale dell'integrale corrispondente (con l'arcotangente):  

Giovedi' 12 dicembre 2024 (ore 9-12) ESERCITAZIONE

Esercizio 1: dimostrare per induzione che SOMMA_{k=-n}^n  k^2 = n(n+1)(2n+1)/3

Esercizio 2: Data f(x) definita mediante f(x) = (sen(x^2)-x)/x per x diverso da 0, et f(0) = -1, determinare: (a) DOMINIO D(f) di f(x); (b) DOMINIO DI CONTINUITA' di f(x); (c) DOMINIO D(f') DI DERIVABILITA' di f(x); (d) ed ESPRIMERE f'(x) per x in D(f').

Esercizio 3: Risolvere in C (e rappresentare graficamente le soluzioni sul piano di Argand-Gauss) l'equazione(|z|^2 + |z*| - 2)^3 (z + z*-4) ((z*)^3+1) = 0, ove (a+ib)* = a-ib.

Esercizio 4 (utilizzo della DERIVATA per problemi di MIN/MAX): (a) Lattina di COCA-COLA; (b) Problema VILLA- SPIAGGIA (cf. leggi di Snell e Fresnel)

Esercizio 5 (relazioni tra limiti di successioni e limiti di funzioni): Studiare l'ESISTENZA/VALORE dei segg. LIMITI: (a) lim_{n --> infty} tan(1/n^2)/n^2; (b) lim_{n --> infty} tan(1/n^2)/(1/n^2)

Mercoledi' 18 dicembre 2024 (ore 16-18) ESERCITAZIONE

DIMOSTRAZIONE PER INDUZIONE: d^n/dx^n(1/(1-x)) = n! (1/(1-x))^{n+1}

COEFFICIENTE BINOMIALE "n SU k" (con 0 ≤ k ≤ n): (a) definizione; (b) sua interpretazione combinatoria; (c) DIMOSTRARE PER INDUZIONE: SOMMA_{k=0}^n "n SU k" = 2^n;  (d) dedurre la formula in (c) dal teorema binomiale di Newton

DIMOSTRAZIONE che RADICE(6)  NON e' RAZIONALE

DATO z_0 = 2i + (RADICE(3)+1)/2 + 5/(3i-1) deteminare in FORMA TRIGINIMETRICA: (a) z_0,  (b) z_0^*, (c) z_0^{-1}, (d) z_0^{2024}; risolvere in C l'equazione z^4 = z_0 e rappresentare graficamente le soluzioni nel piano di Argand-Gauss

CALCOLO dell' INTEGRALE DEFINITO: \int_0^{2 \pi} x^2sin(x)dx.

Giovedi' 12 dicembre 2024 (ore 9-12) ESERCITAZIONE

DIMOSTRAZIONE per INDUZIONE: 2 \sum_{i=0}^n 3^i = 3^{n+1}-1

DIMOSTRAZIONE di \log_2(5) NON e' razionale

E sottoinsieme di R. DEFINIZIONE di E limitato superiormente; DEFINIZIONE di maxE (se esiste); DEFINIZIONE di supE.

DETERMINARE a,b in R: f(x) definita da x^2sin(1/radice(x)) per x > 0 e ax + b, altrimenti sia (A) continua; (B) derivabile.

CALCOLARE l'AREA della regione del piano delimitata dalle curve: x=0, x-3\pi, y=0, e y = e^{2x}sin(x/2), previo DISEGNO.

CALCOLARE l'integrale indefinito \int(x^3-2x+2)/(x^2-4x+4)dx

RISOLVERE nel piano complesso l'equazione: (|z|^2 + |z*|-2)^3 (z+z*-4)(z*3+8) = 0

Data una successione (a_n)_{n in N}: DEFINIZIONE di \lim_{n \to \infty} a_n = + \infty; VERIFICARE che \lim_{n \to \infty} radice{n} = \infty; DETERMINARE \lim_{n \to \infty} (radice[n]{n^2+1} - 2)^3

Data f(x) definita da (sin(x^2)+2x)/x per x \neq 0 e f(0) = 2, DETERMINARE D(f), D_c(f), D(f') ed esprimere f'(x). La derivata f'(x) e' CONTINUA ?

Giovedi' 27 febbraio 2025 (ore 9-12) FORMULA DI TAYLOR (Cap.6, Sez. 52 e Cap.10, Sez. 77)

INTRODUZIONE: il problema dell'attraversamento della strada. Il DNA di un polinomio: una funzione polinomiale f(x) (di grado n) e' univocamente determinata dai valori f(x_0), f'(x_0), f''(x_0), f'''(x_0), ..., f^{(n)}(x_0).

Il polinomio di Taylor (di ordine n=0,1) di punto iniziale x_0 come migliore approssimazione della funzione in x_0.

POLINOMI DI TAYLOR DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI: exp(x), sin(x), cos(x), 1/(1-x).

TEOREMA: FORMULA DI TAYLOR CON IL RESTO DI PEANO con dimostrazione (con la regola di de l'Hopital)

INFINITESIMI E LORO CONFRONTO: infinitesimi dello stesso ordine, di ordine superiore/inferiore.

Mercoledi' 5 marzo 2025 (ore 14-17) FORMULA DI TAYLOR (Cap.10, Sez. 79-80)

INFINITESIMI e loro confronto: infinitesimi dello stesso ordine, di ordine superiore/inferiore; gli "o piccoli";  Riformulazione del TEOREMA (FTRP) con gli "o piccoli";  LEMMA fondamentale (gli infinitesimi sono TRASCURABILI: Orazi & Curiazi)

TEOREMA: FORMULA DI TAYLOR CON IL RESTO INTEGRALE con dimostrazione (per induzione/per parti)

TEOREMA: FORMULA DI TAYLOR CON IL RESTO DI LAGRANGE con dimostrazione (corollario del Teorema (FTRL)+Teorema di Weierstrass+2^o Teorema di esistenza dei valori intermedi); ETIMOLOGIA: il caso n=0

POLINOMI DI TAYLOR DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI: exp(x), sin(x), cos(x), 1/(1-x);PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE e DERIVAZIONE/INTEGRAZIONE: 1/(1+x), ln(1+x), 1/(1+x^2), arctan(x); POLINOMIO DI TAYLOR DEL PRODOTTO (e riscoperta della Formula di Leibnitz)

LINEARIZZAZIONE ed uso della Formula di Taylor (con il resto di Lagrange) per il calcolo dei valori numerici: "\sqrt{65}", "e", e "\sqr{e}".

Giovedi' 6 marzo 2025 (ore 9-12) FORMULA DI TAYLOR (Cap.10, Sez. 78) ed INTEGRALI IMPROPRI (Cap.9, Sez. 75)

FORMULA DI TAYLOR

Stima dell'errore nell'approssimazione numerica con Taylor (corollario della FTRL); applicazione della FTRP al calcolo dei limiti (forme indeterminate)

INTEGRALI IMPROPRI

1^o tipo (intervallo limitato NON chiuso): Definizione e significato geometrico; ESEMPI FONDAMENTALI: f(x) = 1/x^p (p reale)

2^o tipo (intervallo chiuso NON limitato): Definizioni e significato geometrico; ESEMPI FONDAMENTALI: f(x) = 1/x^p (p reale)

TEOREMA DEL CONFRONTO

TEOREMA DEL CONFRONTO ASINTOTICO: applicazione della FTRP per lo studio della convergenza di integrali impropri

ESEMPIO IMPORTANTE: f(x) = exp(-x^2/2) (CAMPANA DI GAUSS)

Mercoledi' 12 marzo 2025 (ore 14-17) SERIE NUMERICHE (Cap.10, Sez. 82-85)

SERIE NUMERICHE: Successione (s_n) delle SOMME PARZIALI associate ad una successione; Serie CONVERGENTE, serie DIVERGENTE, e serie INDETERMINATA. Serie REGOLARE. SOMMA di una serie convergente.

ESEMPI: serie di MENGOLI (serie telescopica); serie INDETERMINATA; serie ARMONICA.

OSSERVAZIONE: a_n > 0 se e solo se (s_n) e' crescente; quindi, una serie a termini positivi (negativi) e' regolare.

TEOREMA FONDAMENTALE (Condizione NECESSARIA per la convergenza di una serie) e sua applicazione per il TEST di convergenza di una serie.

Criterio della CODA (il carattere di una serie \sum_{n=0}^\infty a_n non cambia se si cambiano un numero finito di termini a_n)

Serie GEOMETRICA: Applicazione della serie geometrica 1: (1/2+1/4+1/16+...+1/2^n+..) = 1; TRIPARTIZIONE di una torta. Applicazione della serie geometrica 2: TEOREMA: x reale. Allora x e' razionale se e SOLO SE la sua parte decimale e' (semi)periodica. RAZIONALIZZAZIONE dei numeri con parte decimale (semi)peridico

CRITERIO DI CONDENSAZIONE DI CAUCHY (se a_n > 0, a_n > a_{n+1} allora \sum_{n=0}^\infty a_n ~ \sum_{k=0}^\infty 2^k a_{2^k}). ESEMPIO: Serie ARMONICA GENERALIZZATA (con il criterio di condensazione di Cauchy).

Giovedi' 13 marzo 2025 (ore 9-12) SERIE NUMERICHE (Cap.10, Sez. 82-85)

SERIE NUMERICHE: 

Teorema del CONFRONTO

Teorema del CONFRONTO ASINTOTICO

Criterio del RAPPORTO.  ESEMPIO: Serie ESPONENZIALE (x > 0)

Criterio della RADICE

Criterio INTEGRALE (ES. serie armonica generalizzata)

Mercoledi' 19 marzo 2025 (ore 14-17) SERIE NUMERICHE (vol I, Cap.10, Sez. 87-88) e FUNZIONI DI 2 VARIABILI (vol II, Cap.2, Sez. 9)

SERIE NUMERICHE:

Serie a segno ALTERNO: CRITERIO DI LEIBNITZ (per le serie a segno alterno); ES: SERIE ARMONICA ALTERNATA

Serie ASSOLUTAMENTE CONVERGENTI: Teorema (criterio di convergenza assoluta : ogni serie assolutamente convergente e' convergente); NON vale il VICEVERSA (ESEMPI); ES1: Serie ESPONENZIALE (x in R); ES2: SERIE ARMONICA ALTERNATA; ES3: SERIE ARMONICA GENERALIZZATA ALTERNATA

FUNZIONI DI DUE VARIABILI

R^2 come SPAZIO TOPOLOGICO METRICO

I_r(P) = Intorno circolare APERTO di raggio r di un punto P di R^2; \bar{I}_r(P) = Intorno circolare CHIUSO di raggio r di un punto P di R^2

Insiemi APERTI, CHIUSI:  Lemma (I_r(P) e' aperto);  Lemma (\bar{I}_r(P) e' chiuso); confronto con il caso unidimensionale e riconoscimento della terminologia (intervalli aperti/chiusi). ATTENZIONE: ci sono insiemi che non sono ne' apreti ne' chiusi ! 

PROPRIETA' degli insiemi APERTI/CHIUSI : (1) vuoto ed R^2 sono sia aperti, sia chiusi; (2) unione arbitraria di aperti e' aperta; (3) intersezione di due (od n) aperti e' aperta; (4) unione  di due (od n) chiusi e' chiusa; (5) intersezione arbtraria di chiusi e' chiusa.

Giovedi' 20 marzo 2025 (ore 9-12) FUNZIONI DI 2 VARIABILI (vol II, Cap.2, Sez. 9)

R^2 come SPAZIO TOPOLOGICO METRICO:

FRONTIERA di un insieme; PUNTI DI ACCUMULAZIONE di un insieme; CHIUSURA di un insieme

Insiemi LIMITATI; insiemi COMPATTI; insiemi APERTI CONNESSI

R^2 come SPAZIO VETTORIALE EUCLIDEO:

Spazio vettoriale: definizione (generale) ed esempio di R^2

PRODOTTO SCALARE: definizione (generale) ed esempio di R^2; NORMA di un vettore; Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (con dimostrazione); disuguaglianza triangolare per la norma (con dimostrazione).

Mercoledi' 26 marzo 2025 (ore 14-17) FUNZIONI DI 2 VARIABILI (vol II, Cap.2, Sez. 10)

LIMITI di funzioni di 2 variabili:  INTERPRETAZIONE GEOMETRICA; il METODO delle RETTE; il METODO delle CURVE; METODO delle COORDINATE POLARI; LIMITI INFINITI

CONTINUITA' di funzioni di 2 variabili

Teorema di WEIERSTRASS (enunciato)

Teorema dell'ESISTENZA DEI VALORI INTERMEDI (enunciato)

CONTROESEMPI (se manca COMPATTEZZA/CONNESSIONE)

Giovedi' 27 marzo 2025 (ore 9-12) FUNZIONI DI 2 VARIABILI (vol II, Cap.2, Sez. 11-13)

DERIVATE PARZIALI: Derivabilita'; Relazione con la continuita`  (confronto: funzioni di 1 e 2 variabili); ESEMPI;

DERIVATE PARZIALI SECONDE (miste e pure): HESSIANO (matrice Hessiana); Teorema di SCHWARZ; ESEMPIO di una funzione con derivate parziali miste diverse

DIFFERENZIABILITA`: definizioni equivalenti; relazione con la continuita'; comparazione con le funzioni di 1 variabile; piano tangente

Mercoledi' 2 aprile 2025 (ore 14-17) FUNZIONI DI 2 VARIABILI (vol II, Cap.2, Sez. 13-15)

GRADIENTE e DIFFERENZIABILITA`: TEOREMA DEL DIFFERENZIALE

FUNZIONI COMPOSTE: Curve in R^2; TEOREMA DI DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE;Espressione della DERIVATA della FUNZIONE COMPOSTA mediante il prodotto scalare tra GRADIENTE e VETTORE TANGENTE

DERIVATE DIREZIONALI: ;Definizione di derivata direzionale; SIGNIFICATO GEOMETRICO DEL GRADIENTE

CURVE DI LIVELLO e LINEE DI GRADIENTE: Esempi;  perpendicolarita' delle linee di gradiente con le curve di livello (con dimostrazione)

ESERCIZIO: dominio di funzione (PESCE D'APRILE)

Giovedi' 3 marzo 2025 (ore 9-12) FUNZIONI DI 2 VARIABILI (vol II, Cap.2, Sez. 16-18)

CARATTERIZZAZIONE DELLE FUNZIONI A GRADIENTE NULLO IN UN APERTO CONNESSO (con dimostrazione)

FORMULA DI TAYLOR AL II ORDINE: con il resto di Lagrange; con il resto di Peano

MASSIMI E MINIMI RELATIVI; PUNTI CRITICI (o STAZIONARI); PUNTI DI SELLA

TEOREMA: Condizione Necessaria (per MAX/MIN RELATIVO) al  I ordine (con DIMOSTRAZIONE)

TEOREMA: Condizione necessaria (per MAX/MIN RELATIVO) al II ordine (con DIMOSTRAZIONE)

TEOREMA: Condizione sufficiente (per MAX/MIN RELATIVO) al II ordine (solo enunciato)

Mercoledi' 30 aprile 2025 (ore 14-17) (vol II, Cap.3, Sez. 21-23)

Equazioni del tipo f(x,y)=0, con f funzione di 2 variabili reali: cosa significa risolvere l'equazione.

EQUAZIONI DIFFERERNZIALI ORDINARIE: ORDINE di una equazione differenziale; FORMA NORMALE; cosa significa risolvere una equazione differenziale: INTEGRALE GENERALE;  PROBLEMA DI CAUCHY (significato dei DATI INIZIALI)

ESEMPI.  E0: y' = f(x); E1: y' = ky; E2: y''=ky'; E3 (equazione del moto armonico): y''+k^2y = 0 

TEOREMA di Cauchy (Esistena ed unicita' per il PC): ENUNCIATO senza dimostrazione; COMMENTO (limiti della METEREOLOGIA)

EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI di ORDINE n: coefficienti, termine noto, FORMA CANONICA; OMOGENEA ASSOCIATA; OPERATORE DI DERIVATA; OPERATORE DIFFERENZIALE LINEARE

TEOREMA: caratterizzazione dell' integrale generale di una equazione differenziale lineare di ordine n OMOGENEA

Mercoledi' 7 maggio 2025 (ore 14-17) (vol II, Cap.3, Sez. 23-24)

EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI di ORDINE n

TEOREMA: caratterizzazione dell' integrale generale di una equazione differenziale lineare di ordine n OMOGENEA (Ripasso)    

TEOREMA: caratterizzazione dell' integrale generale di una equazione differenziale lineare di ordine n (NON omogenea)

EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI del PRIMO ORDINE

TEOREMA: formula risolutiva per le equazioni differenziali lineare del primo ordine (OMOGENEA e NON OMOGENEA)

ESEMPIO: y' = y/tan(x) + sin(x)

ESEMPI: dinamica della popolazione; Legge di Newton sul raffreddamento di un corpo ed applicazione alla criminologia

EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL SECONDO ORDINE

Richiamo di ALGEBRA LINEARE: dipendenza ed indipendenza lineare.

WRONSKIANO di due funzioni derivabili: Teorema del Wronskiano 1 (due funzioni derivabili il cui Wronskiano NON e' identicamente nullo, sono linearmente indipendenti).

Giovedi' 8 maggio 2025 (ore 9-12) (vol II, Cap.3, Sez. 21-23)

EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL SECONDO ORDINE

TEOREMA del WRONSKIANO: caratterizzazione dei sistemi fondamentali di soluzioni (della omogenea) mediante il Wronskiano (dimostrazione completa)

TEOREMA: completezza di un sistema fondamentale di soluzioni (della omogena) per l'integrale generale (della omogenea).

EQ. DIFF. LINEARI DEL 2^o ORDINE A COEFF COSTANTI: POLINOMIO CARATTERISTICO. Casi: DISCRIMINANTE > 0, DISCRIMINANTE = 0, DISCRIMINANTE < 0. Sistemi fondamentali di soluzioni associati. ESEMPI

Metodo della VARIAZIONE DELLE COSTRANTI (LAGRANGE) per la risoluzione di una equuzione differenziale linearre del secondo ordine NON omogenea

Mercoledi' 14 maggio 2025 (ore 14-17) (vol II, Cap.3, Sez. 25 et 34-35)

EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL SECONDO ORDINE A COEFFICIENTI COSTANTI NON OMOGENEE

ESEMPIO: y''+y' = 1/sin(x) col metodo della variazione delle costanti (Lagrange) 

OSSERVAZIONE: se g(x) = g_1(x)+g_2(x) + ... + g_n(x) allora y_p = y_{p,1}+y_{p,2} + ... + y_{p,n}

CASI PARTICOLARI:

g(x) = Aexp(ax): sottocaso: a NON e' radice del polinomio caratteristico; sottocaso: a E' radice del polinomio caratteristico di molteplicita' 1; sottocaso: a E' radice del polinomio caratteristico di molteplicita' 2

g(x) = Acos (bx) + B sin(bx): sottocaso: ib NON e' radice del polinomio caratteristico; sottocaso: ib E' radice del polinomio caratteristico di molteplicita' 1

g(x) = polinomio di grado n: sottocaso: 0 NON e' radice del polinomio caratteristico; sottocaso: 0 E' radice del polinomio caratteristico di molteplicita' 1; sottocaso: 0 E' radice del polinomio caratteristico di molteplicita' 2

ESEMPI

EQUAZIONI DI EULERO: cambiamento delle variabili e riduzione al caso delle equazioni differenzial lineari a coeffecienti costanti; ESEMPIO

CURVE REGOLARI: Curva piana; vettore tangente; Sostegno; curva regolare; curva chiusa; curva semplice.

Cuve in COORDINATE POLARI. ESEMPI (spirale logaritmica; cardioide)

LUNGHEZZA DI UNA CURVA: ESEMPI (lunghezza della circonferenza; lunghezza del cardioide)

Giovedi' 15 maggio 2025 (ore 9-12) (vol II, Cap.3, Sez. 36-39)

CURVE REGOLARI: Sostegno; PARAMETRIZZAZIONI DIFFERENTI; ASCISSA CURVILINEA

INTEGRALI CURVILINEI  (buona definizione: NON dipende dalla parametrizzazione della curva)

FORME DIFFERENZIALI: Definizione ed esempi; Integrale curvilineo di una forma differenziale; Differenziale ""df"" di una funzione f(x,y)

Forme differenziali ESATTE: Primitive; Integrale curvilineo di una forma differenziale esatta lungo una curva chiusa

Teorema: CARATTERIZZAZIONE DELLE FORME DIFFERENZIALI ESATTE

Mercoledi' 21 maggio 2025 (ore 14-17) (vol II, Cap.3, Sez. 40)

TEOREMA: CARATTERIZZAZIONE DELLE FORME DIFFERENZIALI ESATTE (Ripasso)

Esempio (Running example):  ω =x^3dx + xy^2dy non e' esatta

Forme differenziali CHIUSE

TEOREMA: Ogni forma differenziale esatta e' chiusa

Esempio (Running example): ω =x^3dx + xy^2dy non e' chiusa

ESEMPIO: Forma differenziale CHIUSA ma NON ESATTA: ω = -y/(x^2+y^2)dx + x/(x^2+y^2)dy su R^2 - origine;

ATT.NE: \omega e' ESATTA in (R_+)xR (risp.  (R_+)xR) ed in RxR_+ (risp. RxR_-) con costruzione delle primitive (+/-)arctan(y/x) e (+/-)arctan(x/y)

TEOREMA: Ogni forma differenziale chiusa in un RETTANGOLO e' ivi esatta (con DIMOSTRAZIONE)

Giovedi' 22 maggio 2025 (ore 9-12) (vol II, Cap.3, Sez. 43-44)

INTEGRAI DOPPI: 

DOMINI NORMALI: Area di un dominio normale (non dipende dalla scelta della normalita'!); esempi

INTEGRALE (doppio) DI UNA FUNZIONE CONTINUA: PROPRIETA' (Linearita', monotonia, additivita' rispetto al dominio);  INTERPRETAZIONE GEOMETRICA; FORMULE DI RIDUZIONE; esempi

BARICENTRO DI UN DOMINIO: esempi

Teorema di GULDINO (per i solidi di rotazione): VOLUME della SFERA; VOLUME del CONO

Mercoledi' 28 maggio 2025 (ore 14-17) (vol II, Cap.3, Sez. 45)

FORMULE DI GAUSS-GREEN ED APPLICAZIONI.

DOMINI REGOLARI: domini regolari normali; orientamento della frontiera di un dominio regolare

FORMULE DI GAUSS-GREEN (con dimostrazione): parte 1 (dominio regolare normale); parte 2 (dominio: unione di domini regolari normali)

APPLICAZIONI DELLE FORMULE DI GAUSS-GREEN:

TEOREMA DELLA DIVERGENZA (con dimostrazione)

TEOREMA DI STOKES (con dimostrazione)

TEOREMA di caratterizzazione delle forme differenziali ESATTE in un aperto SEMPLICEMENTE CONNESSO (= "senza buchi"): in un dominio aperto semplicemente connesso, una forma differenziale e' esatta se e solo se e' chiusa.

Giovedi' 29 maggio 2025 (ore 9-12) (vol II, Cap.3, Sez. 46)

CAMBIAMENTO DI VARIABILI PER GLI INTEGRALI DOPPI

Ripasso: metodo di sostituzione per gli integrali di una singola variabile. Significato di g'(t).

TEOREMA (CAMBIAMENTO DI VARIABILI PER GLI INTEGRALI DOPPI) solo enunciato (senza dimostrazione):

JACOBIANO e suo significato geometrico dello Jacobiano: ESEMPI (applicazioni AFFINI e ROTAZIONI)

COORDINATE POLARI: ESEMPI

Mercoledi' 4 giugno 2025 (ore 14-17)

ESERCITAZIONE: Serie ed integrali impropri;  Funzioni di 2 variabili (dominio di definizione / continuita' / derivabilita' /differenziabilita'); Equazioni differenziali

Giovedi' 5 giugno 2025 (ore 9-12)

ESERCITAZIONE: Equazioni differenziali (metodo della variazione delle costanti; probemi di Cauchy); Serie ed integrali impropri (sviluppo di Taylor); Integrali doppi (coordinate polari; baricentro; teorema di Guldino).