Calendario delle lezioni

Mercoledi' 24 settembre 2025 (ore 16-18) TEORIA DEGLI INSIEMI (Cap. I, Sez. 4)

CONNETTIVI e SIMBOLI LOGICI: "elemento di", "sottoinsieme di"; esiste; per-ogni; implicazione; equivalenza; negazione; et; vel; aut.

INSIEMI: elementi, inclusione, intersezione, unione, insieme vuoto, differenza di due insiemi, complementare di un insieme, formule del DE MORGAN, insieme delle parti di un insieme (e sua cardinalita'), prodotto cartesiano di due insiemi.

RELAZIONI BINARIE: Relazioni di equivalenza, insieme quoziente, ESEMPI (rette del piano e loro parallelismo);  Relazioni d'ordine, ESEMPI (rappresentazione dei numeri razionali). Ordine TOTALE.

Giovedi' 25 settembre 2025 (ore 9-12) CALCOLO COMBINATORIO E PRINCIPIO DI INDUZIONE (Cap.1, Sez. 11; Cap.2, Sez.13 e 14)

ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO: disposizioni D(n,k), permutazioni P(n), combinazioni C(n,k); n! fattoriale; (n su k) coefficiente binomiale; LEMMA/TRIANGOLO di Tartaglia. Simbolo di SOMMATORIA.

PRINCIPIO DI INDUZIONE: le tessere del domino; ESEMPI: somma di GAUSS; disuguaglianza di Bernoulli; 1 + x + x^2 + ... + x^n = (x^{n+1}-1)/(x-1) per x in R\{1}.

TEOREMA BINOMIALE DI NEWTON: teorema e sua dimostrazione

Mercoledi' 1 ottobre 2025 (ore 16-18) INSIEMI NUMERICI (Cap.1, Sez.5; Cap.2, Sez.12)

NUMERI: naturali (N), interi relativi (Z), razionali (Q) e le loro operazioni. 

TEOREMA (Pitagora) Radice di 2 NON e' razionale. Significato "filosofico" di questo risultato.

NUMERI REALI: definizione assiomatica (proprieta' algebriche, ordine TOTALE, e ASSIOMA DI COMPLETEZZA). ESEMPI (relativi agli elementi SEPARATORI)

Giovedi' 2 ottobre 2025 (ore 9-12) INSIEMI NUMERICI (Cap.1, Sez.12; Cap.2, Sez.15)

NUMERI REALI: maggioranti; insiemi limitati superiormente/inferiormente; insiemi limitati

MASSIMO, MINIMO (se esistono) DI UN INSIEME DI NUMERI REALI. ESEMPI

ESTREMI SUPERIORE E INFERIORE DI UN INSIEME DI NUMERI REALI  (teorema-definizione)

TEOREMA: N (insieme dei numeri naturali) non e' limitato (proprieta' ARCHIMEDEA)

TEOREMA: DENSITA'  DI Q IN R (con dimostrazione)

L'INSIEME DEI NUMERI COMPLESSI E LE LORO OPERAZIONI

SOMMA: proprieta' associativa e commutativa, elemento neutro, opposto di un numero complesso

PRODOTTO: proprieta' associativa e commutativa, elemento neutro, inverso (di un numero complesso non nullo); (0,1)^2 = - (1,0)

R come sottoinsieme di C e compatibilita' con le operazioni

RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA DEI NUMERI COMPLESSI: piano di Argand-Gauss; asse reale; asse immaginario; 1 = (1,0); i = (0,1) UNITA' IMMAGINARIA

RAPPRESENTAZIONE ALGEBRICA DEI NUMERI COMPLESSI: compatibilita' della rappresentazione algebrica con le operazioni; parte reale, parte immaginaria, coefficiente dell'immaginario.

CONIUGIO: interpretazione geometrica

MODULO DI UN NUMERO COMPLESSO: il valore assoluto di un numero reale a eguaglia il modulo del numero complesso a; il modulo di un numero complesso z come la distanza di z dallo zero 0 = (0,0); giustificazione della formula per l'inverso di un numero complesso (diverso da 0).

Mercoledi' 8 ottobre 2025 (ore 16-18) NUMERI COMPLESSI (Cap.2, Sez.15)

FORMA TRIGONOMETRICA

Modulo, argomento (o anomalia), argomento principale, RADIANTI; esempi

Espressione del PRODOTTO di due numeri complessi in forma trigonometrica

Espressione del CONIUGATO/RECIPROCO di un numero complesso in forma trigonometrica

Espressione del RAPPORTO di due numeri complessi in forma trigonometrica

FORMULA DI DE MOIVRE

TEOREMA FONDAMENTALE DELL'ALGEBRA (solo enunciato): esempi

RADICI n-SIME DI UN NUMERO COMPLESSO:

TEOREMA (Esistenza e cardinalita' dell'insieme delle radici n-sime) Dato un numero complesso z non nullo,
esistono esattamente n radici n-sime DISTINTE di z. In particolare, se rappresentate graficamente sul piano di Argand-Gauss, esse costituiscono i vertici di un n-gono regolare (inscritto nella circonferenza di raggio r uguale alla radice n-sima reale del modulo di z).

Esempi.

Giovedi' 10 ottobre 2024 (ore 9-12) NUMERI  COMPLESSI e FUNZIONI (Cap.2, Sez.15 e Cap.1 Sez. 7 e 8)

FORMA ESPONENZIALE: e^{it}= cos(t) + i sen(t); FORMULA DI EULERO: e^{iπ}+1 =0

FUNZIONI: dominio, codominio, grafico, rappresentazione con le frecce; FUNZIONI INIETTIVE; FUNZIONI SURIETTIVE; FUNZIONI BIETTIVE; interpretazione di iniettivita'/suriettivita'/biettivita' tramite il grafico; COMPOSIZIONE DI FUNZIONI; FUNZIONI INVERSE (interpretazione insiemistica (con le frecce invertite); il grafico della funzione inversa); funzione IDENTITA'

FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE:  DOMINIO di una funzione; ESEMPI

Mercoledi' 15 ottobre 2025 (ore 16-18) FUNZIONI (Cap.1, Sez.7-9)

FUNZIONI CRESCENTI, DECRESCENTI, MONOTONE, (e propreita' dei loro GRAFICI); una funzione strettamente monotona e' iniettiva

FUNZIONE VALORE ASSOLUTO: f(x) = |x|; disuguaglianza traingolare

POTENZE, FUNZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE: a^n, a^{m/n}, a^x (e sue proprieta'); loga_a (e sue proprieta')

Giovedi' 16 ottobre 2024 (ore 9-12) FUNZIONI   (Cap.1, Sez. 10) e SUCCESSIONI (Cap.3, Sez. 16 - 18)

TRIGONOMETRIA: IL RADIANTE; sin(x), cos(x), tan(x) e loro interpretazione geometrica; formula pitagorica fondamentale: cos^2(x) + sin^2(x) = 1; TABELLA DEI VALORI FONDAMENTALI (primo quadrante); FORMULE DI ADDIZIONE, DUPLICAZIONE, e BISEZIONE per sen(x) e cos(x); diseguaglianze |sin(x)| < |x| < |tan(x)|.

DEFINIZIONE DI SUCCESSIONE: Esempi

SUCCESSIONI CONVERGENTI e LIMITE (la scommessa: voi scegliete epsilon (piccolo a piacere) e io trovo n_epsilon (sufficientemente grande)...), Interpretazione grafica; Esempio: a_n = 1/n; a_n = a (successione costante)

SUCCESSIONI DIVERGENTI ed IRREGOLARI: Esempi

TEOREMA DI UNICITA' DEL LIMITE

SUCCESSIONI LIMITATE; Teorema: ogni successione convergente e' limitata; Attenzione (il viceversa non e' vero): esistono succssioni limitate che NON sono convergenti (ad esempio, ((-1)^n)_n).

Mercoledi' 22 ottobre 2025 (ore 16-18) SUCCESSIONI (Cap.3, Sez.20-23)

TEOREMA (OPERAZIONI CON I LIMITI): limite della somma, del multiplo, (e quindi della differenza), del prodotto, del reciproco, (e quindi del rapporto)

LIMITE di una successione polinomiale; LIMITE del rapporto di DUE POLINOMI

FORME INDETERMINATE

Teorema della PERMANENZA del SEGNO e suo corollario

Teorema dei CARABINIERI

Giovedi' 23 ottobre 20245(ore 9-12) SUCCESSIONI (Cap.3, Sez. 23 - 25)

TEOREMA (prodotto di una successione infinitesima per una successione limitata); esempi

LIMITI NOTEVOLI con la disuguaglianza di BERNOULLI: a^n (a in R); radice n-sima di a (a > 0); radice n-sima di n^k (k in R).

LIMITI NOTEVOLI trigonometrici: se a_n --> 0 allora: sin(a_n) ---> 0 (con dimostrazione geometrica); cos(a_n) --->1; sin(a_n)/a_n ---> 1 (con dimostrazione geometrica); (1-cos(a_n))/a_n^2 ---> 1/2; (1-cos(a_n))/a_n ---> 0.

SUCCESSIONI MONOTONE: TEOREMA: una successione monotona e' regolare

IL NUMERO e DI NEPERO: Lemma 1:  a_n = (1+ 1/n)^n e' crescente;; Lemma 2:  b_n = (1+ 1/n)^{n+1} e' decrescente; OSS:  2 = a_1 < a_2 < a_3 < ... < a_n < b_n < ... < b_3 < b_2 < b_1 = 4; TEOREMA (definizione di "e"). La successione a_n e' convergente.