Calendario delle lezioni

Mercoledi' 24 settembre 2025 (ore 16-18) TEORIA DEGLI INSIEMI (Cap. I, Sez. 4)

CONNETTIVI e SIMBOLI LOGICI: "elemento di", "sottoinsieme di"; esiste; per-ogni; implicazione; equivalenza; negazione; et; vel; aut.

INSIEMI: elementi, inclusione, intersezione, unione, insieme vuoto, differenza di due insiemi, complementare di un insieme, formule del DE MORGAN, insieme delle parti di un insieme (e sua cardinalita'), prodotto cartesiano di due insiemi.

RELAZIONI BINARIE: Relazioni di equivalenza, insieme quoziente, ESEMPI (rette del piano e loro parallelismo);  Relazioni d'ordine, ESEMPI (rappresentazione dei numeri razionali). Ordine TOTALE.

Giovedi' 25 settembre 2025 (ore 9-12) CALCOLO COMBINATORIO E PRINCIPIO DI INDUZIONE (Cap.1, Sez. 11; Cap.2, Sez.13 e 14)

ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO: disposizioni D(n,k), permutazioni P(n), combinazioni C(n,k); n! fattoriale; (n su k) coefficiente binomiale; LEMMA/TRIANGOLO di Tartaglia. Simbolo di SOMMATORIA.

PRINCIPIO DI INDUZIONE: le tessere del domino; ESEMPI: somma di GAUSS; disuguaglianza di Bernoulli; 1 + x + x^2 + ... + x^n = (x^{n+1}-1)/(x-1) per x in R\{1}.

TEOREMA BINOMIALE DI NEWTON: teorema e sua dimostrazione

Mercoledi' 1 ottobre 2025 (ore 16-18) INSIEMI NUMERICI (Cap.1, Sez.5; Cap.2, Sez.12)

NUMERI: naturali (N), interi relativi (Z), razionali (Q) e le loro operazioni. 

TEOREMA (Pitagora) Radice di 2 NON e' razionale. Significato "filosofico" di questo risultato.

NUMERI REALI: definizione assiomatica (proprieta' algebriche, ordine TOTALE, e ASSIOMA DI COMPLETEZZA). ESEMPI (relativi agli elementi SEPARATORI)

Giovedi' 2 ottobre 2025 (ore 9-12) INSIEMI NUMERICI (Cap.1, Sez.12; Cap.2, Sez.15)

NUMERI REALI: maggioranti; insiemi limitati superiormente/inferiormente; insiemi limitati

MASSIMO, MINIMO (se esistono) DI UN INSIEME DI NUMERI REALI. ESEMPI

ESTREMI SUPERIORE E INFERIORE DI UN INSIEME DI NUMERI REALI  (teorema-definizione)

TEOREMA: N (insieme dei numeri naturali) non e' limitato (proprieta' ARCHIMEDEA)

TEOREMA: DENSITA'  DI Q IN R (con dimostrazione)

L'INSIEME DEI NUMERI COMPLESSI E LE LORO OPERAZIONI

SOMMA: proprieta' associativa e commutativa, elemento neutro, opposto di un numero complesso

PRODOTTO: proprieta' associativa e commutativa, elemento neutro, inverso (di un numero complesso non nullo); (0,1)^2 = - (1,0)

R come sottoinsieme di C e compatibilita' con le operazioni

RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA DEI NUMERI COMPLESSI: piano di Argand-Gauss; asse reale; asse immaginario; 1 = (1,0); i = (0,1) UNITA' IMMAGINARIA

RAPPRESENTAZIONE ALGEBRICA DEI NUMERI COMPLESSI: compatibilita' della rappresentazione algebrica con le operazioni; parte reale, parte immaginaria, coefficiente dell'immaginario.

CONIUGIO: interpretazione geometrica

MODULO DI UN NUMERO COMPLESSO: il valore assoluto di un numero reale a eguaglia il modulo del numero complesso a; il modulo di un numero complesso z come la distanza di z dallo zero 0 = (0,0); giustificazione della formula per l'inverso di un numero complesso (diverso da 0).

Mercoledi' 8 ottobre 2025 (ore 16-18) NUMERI COMPLESSI (Cap.2, Sez.15)

FORMA TRIGONOMETRICA

Modulo, argomento (o anomalia), argomento principale, RADIANTI; esempi

Espressione del PRODOTTO di due numeri complessi in forma trigonometrica

Espressione del CONIUGATO/RECIPROCO di un numero complesso in forma trigonometrica

Espressione del RAPPORTO di due numeri complessi in forma trigonometrica

FORMULA DI DE MOIVRE

TEOREMA FONDAMENTALE DELL'ALGEBRA (solo enunciato): esempi

RADICI n-SIME DI UN NUMERO COMPLESSO:

TEOREMA (Esistenza e cardinalita' dell'insieme delle radici n-sime) Dato un numero complesso z non nullo,
esistono esattamente n radici n-sime DISTINTE di z. In particolare, se rappresentate graficamente sul piano di Argand-Gauss, esse costituiscono i vertici di un n-gono regolare (inscritto nella circonferenza di raggio r uguale alla radice n-sima reale del modulo di z).

Esempi.

Giovedi' 10 ottobre 2025 (ore 9-12) NUMERI  COMPLESSI e FUNZIONI (Cap.2, Sez.15 e Cap.1 Sez. 7 e 8)

FORMA ESPONENZIALE: e^{it}= cos(t) + i sen(t); FORMULA DI EULERO: e^{iπ}+1 =0

FUNZIONI: dominio, codominio, grafico, rappresentazione con le frecce; FUNZIONI INIETTIVE; FUNZIONI SURIETTIVE; FUNZIONI BIETTIVE; interpretazione di iniettivita'/suriettivita'/biettivita' tramite il grafico; COMPOSIZIONE DI FUNZIONI; FUNZIONI INVERSE (interpretazione insiemistica (con le frecce invertite); il grafico della funzione inversa); funzione IDENTITA'

FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE:  DOMINIO di una funzione; ESEMPI

Mercoledi' 15 ottobre 2025 (ore 16-18) FUNZIONI (Cap.1, Sez.7-9)

FUNZIONI CRESCENTI, DECRESCENTI, MONOTONE, (e propreita' dei loro GRAFICI); una funzione strettamente monotona e' iniettiva

FUNZIONE VALORE ASSOLUTO: f(x) = |x|; disuguaglianza traingolare

POTENZE, FUNZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE: a^n, a^{m/n}, a^x (e sue proprieta'); loga_a (e sue proprieta')

Giovedi' 16 ottobre 2025 (ore 9-12) FUNZIONI   (Cap.1, Sez. 10) e SUCCESSIONI (Cap.3, Sez. 16 - 18)

TRIGONOMETRIA: IL RADIANTE; sin(x), cos(x), tan(x) e loro interpretazione geometrica; formula pitagorica fondamentale: cos^2(x) + sin^2(x) = 1; TABELLA DEI VALORI FONDAMENTALI (primo quadrante); FORMULE DI ADDIZIONE, DUPLICAZIONE, e BISEZIONE per sen(x) e cos(x); diseguaglianze |sin(x)| < |x| < |tan(x)|.

DEFINIZIONE DI SUCCESSIONE: Esempi

SUCCESSIONI CONVERGENTI e LIMITE (la scommessa: voi scegliete epsilon (piccolo a piacere) e io trovo n_epsilon (sufficientemente grande)...), Interpretazione grafica; Esempio: a_n = 1/n; a_n = a (successione costante)

SUCCESSIONI DIVERGENTI ed IRREGOLARI: Esempi

TEOREMA DI UNICITA' DEL LIMITE

SUCCESSIONI LIMITATE; Teorema: ogni successione convergente e' limitata; Attenzione (il viceversa non e' vero): esistono succssioni limitate che NON sono convergenti (ad esempio, ((-1)^n)_n).

Mercoledi' 22 ottobre 2025 (ore 16-18) SUCCESSIONI (Cap.3, Sez.20-23)

TEOREMA (OPERAZIONI CON I LIMITI): limite della somma, del multiplo, (e quindi della differenza), del prodotto, del reciproco, (e quindi del rapporto)

LIMITE di una successione polinomiale; LIMITE del rapporto di DUE POLINOMI

FORME INDETERMINATE

Teorema della PERMANENZA del SEGNO e suo corollario

Teorema dei CARABINIERI

Giovedi' 23 ottobre 2025 (ore 9-12) SUCCESSIONI (Cap.3, Sez. 23 - 25)

TEOREMA (prodotto di una successione infinitesima per una successione limitata); esempi

LIMITI NOTEVOLI con la disuguaglianza di BERNOULLI: a^n (a in R); radice n-sima di a (a > 0); radice n-sima di n^k (k in R).

LIMITI NOTEVOLI trigonometrici: se a_n --> 0 allora: sin(a_n) ---> 0 (con dimostrazione geometrica); cos(a_n) --->1; sin(a_n)/a_n ---> 1 (con dimostrazione geometrica); (1-cos(a_n))/a_n^2 ---> 1/2; (1-cos(a_n))/a_n ---> 0.

SUCCESSIONI MONOTONE: TEOREMA: una successione monotona e' regolare

IL NUMERO e DI NEPERO: Lemma 1:  a_n = (1+ 1/n)^n e' crescente;; Lemma 2:  b_n = (1+ 1/n)^{n+1} e' decrescente; OSS:  2 = a_1 < a_2 < a_3 < ... < a_n < b_n < ... < b_3 < b_2 < b_1 = 4; TEOREMA (definizione di "e"). La successione a_n e' convergente.

Mercoledi' 29 ottobre 2025 (ore 16-18) SUCCESSIONI (Cap.3, Sez.20-23) e LIMITI DI FUNZIONI Cap.4, Sez. 31-32)

SUCCESSIONI ESTRATTE (SOTTOSUCCESSIONI). Definizioni ed esempi.

TEOREMA (una sottosuccessione estratta di una successione convergete/divergente e' convergete/divergente).

TEOREMA DI BOLZANO WEIERSTRASS (con dimostrazione).

LIMITI DI FUNZIONI 

DEFINIZIONI (per successioni): limite finito per x --> x_0; limite +/- infinito per  x --> x_0; ESEMPI (con grafici)

TEOREMA (operazioni coi limiti): limite della somma/mutliplo/prodotto/reciproco/rapporto...

Giovedi' 30 ottobre 2025 (ore 9-12) LIMITI DI FUNZIONI E CONTINUITA' (Cap.4, Sez. 31-32 e 33 - 34)

LIMITI DI FUNZIONI 

DEFINIZIONI: limite finito per x --> +/- infinito; limite +/- infinito per  x --> +/- infinito; ESEMPI  (con grafici)

EQUIVALENZA DELLE DEFINIZIONI DI LIMITE mediante: (i) successioni (ii) epsilon e delta_epsilon (per limiti finiti) R; M e delta(M) per limiti infiniti

LIMITI DESTRO E SINISTRO

Il limite esiste SSE esistono limite sinistro, limite destro, e sono uguali

ESEMPI IMPORTANTI: f(x) = a^x (per x --> +/- infinito); f(x) = polinomio(x); f(x) = sen(x), cos(x), tan(x)  (per x --> +/- infinito); f(x)= sen(x)/x (per x --> 0); f(x) = (1-cos(x)/x^2 (per x --> 0)

FUNZIONI CONTINUE

DEFINIZIONE DI CONTINUITA' IN UN PUNTO

CONTINUITA' a destra e a sinistra: Una funzione e' continua in x_0 SSE e' ivi continua a destra e a sinistra.

DISCONTINUITA': eliminabile; di prima e di seconda specie; ESEMPI (la funzione parte intera [x]).

DEFINIZIONE DI CONTINUITA' IN UN INSIEME (INTERVALLO) DI DEFINIZIONE

CONTINUITA' ED OPERAZIONI ELEMENTARI: continuita' del multiplo e della somma/prodotto/rapporto/reciproco di funzioni continue.

Mercoledi' 5 novembre 2025 (ore 16-18) LIMITI DI FUNZIONI E CONTINUITA' (Cap.4, Sez. 35-38) 

TEOREMA della PERMANENZA del SEGNO

TEOREMA DEGLI ZERI

PRIMO TEOREMA DELL'ESISTENZA DEI VALORI INTERMEDI

TEOREMA DI WEIERSTRASS  (con DIMOSTRAZIONE esistenza del MAX) 

Giovedi' 6 novembre 2025 (ore 9-12) LIMITI DI FUNZIONI E CONTINUITA' (Cap.4, Sez. 35-38)

TEOREMA DI WEIERSTRASS  (con DIMOSTRAZIONE esistenza del MIN)

SECONDO TEOREMA DELL'ESISTENZA DEI VALORI INTERMEDI

IMPORTANZA DELLE IPOTESI DI CONTINUITA' e DI CHIUSURA E LIMITATEZZA DELL'INTERVALLO DI DEFINIZIONE in: TEOREMA DI WEIERSTRASS (importanze delle IPOTESI); SECONDO TEOREMA DELL'ESISTENZA DEI VALORI INTERMEDI

TEOREMI sulle funzioni MONOTONE:

(i) f : [a,b] ---> R strettamente monotona e continua e' invertibile (rispetto a f([a,b])).

(ii) caratterizzazione delle funzioni monotone continue (mandano intervalli in intervalli)

TEOREMA: CONTINUITA' DELLE FUNZIONI INVERSE Dimostrazione rigorosa (corollario di (ii)); argomento intuitivo geometrico (con il grafico).

ESEMPIO: le funzioni ARCSIN(x), ARCOS(x), e ARCTAN(x)

Mercoledi' 12 novembre 2025 (ore 16-18) DERIVATE (Cap.5, Sez. 39-41, 44)

VELOCITA' MEDIA E VELOCITA' ISTANTANEA

IL RAPPORTO INCREMENTALE (variazione della variabile dipendente diviso la variazione della variabile indipendente); le due espressioni equivalenti [f(x)-f(x_0)]/[x - x_0] oppure [f(x_0+h) - f(x_0)]/h

DEFINIZIONE DI DERIVABILITA' IN UN PUNTO E DI DERIVATA: Notazioni: f'(x_0) et df/dx(x_0) (notazione di Leibnitz)

INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DELLA DERIVABILITA' e della DERIVATA: EQUAZIONE della retta tangente al grafico in un punto e suo coefficiente angolare

ESEMPI (calcolo della derivata): f(x) = c  (funzione costante);  f(x) = mx+q (funzione lineare), f(x) = x^2.

RELAZIONE TRA CONTINUITA’ E DERIVABILITA’ (derivabilita' implica continuita'); CONTROESEMPIO per il vice versa: f(x) = |x|.

OPERAZIONI CON LE DERIVATE: derivata della somma; derivata di una funzione moltiplicata per uno scalare; derivata del prodotto (REGOLA DI LEIBNITZ), ATTENZIONE: la derivata del prodotto non e' il prodotto delle derivate: CONTROESEMPI.

Giovedi' 13 novembre 2025 (ore 9-12) DERIVATE (Cap.4, Sez. 41-43)

OPERAZIONI CON LE DERIVATE: derivata del reciproco; derivata del rapporto; OSSERVAZIONE: (derivata reciproco ET regola di Leibnitz) ==> (derivata del rapporto ET derivata funzioni costanti)  ===> derivata del reciproco.

DERIVATE DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI. derivata di x^n: (a) dimostrazione con la formula binomiale di Newton; (b) dimostrazione per induzione

DERIVATA DELLE FUNZIONI COMPOSTE (chain rule): esempio con le tre ruote dentate

DERIVABILITA' E FORMULA PER LA DERIVATA DELLE FUNZIONI INVERSE: (a) interpetazione geometrica (mediante i grafici e i coefficienti angolari delle rette tangenti); (b) per dimostrazione diretta; (c) come corollario della formula per la derivata delle funzioni composte

DERIVATE DI ALCUNE FUNZIONI: d/dx[radice(x)] = 1/(2 radice(x)); d/dx [ln(x)] = 1/x; d/dx[exp(x)] = exp(x); d/dx[sin(x)] = cos(x);  d/dx[cos(x)] = -sin(x); d/dx[tan(x)] = 1/cos^2(x).

Mercoledi' 19 novembre 2025 (ore 16-18) DERIVATE (Cap.5, Sez. 46-48)

DERIVATE DI FUNZIONI TRIGONOMETRICHE INVERSE: d/dx[arcsin(x)] = 1/radice(1-x^2); d/dx[arctan(x)] = 1/(1+x^2)

MASSIMI E MINIMI RELATIVI: definizioni ed esempi; caso dei massimi e minimi assoluti; punti ESTREMALI

TEOREMA DI FERMAT: importanza del fatto che il punto di max/min relativo sia INTERNO (CONTROESEMPI)

TEOREMA DI ROLLE: essenzialita' delle 3 ipotesi (CONTROESEMPI); interpretazione geometrica

TEOREMA DI LAGRANGE: interpretazione geometrica (confronto col Teorema di Rolle ed equivalenza)

Giovedi' 20 novembre 2025 (ore 9-12) DERIVATE (Cap.4, Sez. 48-50)

TEOREMA( criterio di monotonia (debole)): f crescente <===> f ' non-negativa.  

TEOREMA (caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo). ATTENZIONE: essenzialita' che il dominio di definizione sia un intervallo (CONTROESEMPIO). 

FUNZIONI CONCAVE E CONVESSE: definizioni (funzione non necessariamente derivabile; funzione derivabile (quella che utilizziamo)); interpretazione geometrica; OSSERVAZIONE: f convessa/concava <===> (-f) concava/convessa

TEOREMA (criterio di convessita'):  f convessa <==>  f ' crescente  <===> f '' non-negativa.

IL TEOREMA DI DE L'HOPITAL: Enunciato generale e dimostrazione nel caso particolare in cui le funzioni f(x) e g(x) sono infinitesime per x ---> x_0 e derivabili con derivata continua in x_0 con g'(x_0) diverso da zero. Idea di dimostrazione quando f(x) e g(x) tendono all'infinito. Enunuciato quando x ---> +/- infinito. ESEMPI. 

ATTENZIONE: non si deve applicare la formula dell'Hopital quando la forma f(x)/g(x) NON e' indeterminata 

Mercoledi' 26 novembre 2025 (ore 16-18) STUDIO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE (Cap.5, Sez. 51)

TEOREMA (criterio di monotonia (forte)):  f  strettamente crescente  <=== f ' > 0.    ATTENZIONE: il viceversa NON e' sempre vero (ESEMPIO: f(x) = x^3).

TEOREMA (caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo). ESEMPIO: f(x) = arctan(x) + arctan(1/x)

STUDIO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE f(x):

(A) Il DOMINIO D(f)

(B) eventuali SIMMETRIE (funzioni pari/dispari, periodiche); intersezioni con gli assi coordinati; positivita'/negativita'.

(C) eventuali ASINTOTI ORIZZONTALI/VERTICALI/OBLIQUI

(D) intervalli di CRESCENZA/DECRESCENZA (studio del segno di f '(x)); MASSIMI/MINIMI RELATIVI/ASSOLUTI

(E) intervalli di CONVESSITA'/CONCAVITA' (studio del segno di f ''(x)); punti di FLESSO

ESEMPIO: STUDIO della funzione f(x) = x exp(1/x)

Giovedi' 27 novembre 2025 (ore 9-12) INTEGRALI (Cap.8, Sez. 61-63)

IL METODO DI ESAUSTIONE (Archimede): Calcolo dell'area del cerchio con il metodo di esaustione; PARTIZIONI regolari (x_0 = a, x_1 = a+(b-a)/n, ..., x_i = a +i(b-a)/n, ..., x_n = b); SOMME: L_n, R_n,  s_n (detta anche SOMMA INFERIORE) , S_n (detta anche SOMMA  SUPERIORE), M_n, ed r_n di una funzione continua (e quindi limitata) f:[a,b] ---> R.

TEOREMA (definizione di integrale di una funzione continua): lim L_n = lim R_n = lim s_n = lim S_n = lim M_n = lim r_n

Definizione di INTEGRALE DEFINITO di una funzione (continua): estremi di integrazione, funzione integranda, variabile di integrazione; Significato geometrico dell'integrale (area col segno del sottografico)

IL TEOREMA DELLA MEDIA  (integrale); Significato di media (confronto con la media discreta); Interpretazione geometrica/fisica.

PRIMITIVE di una funzione: definizione

TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO (enunciato). Interpretazione geometrica: ovvero, la sua importanza per il calcolo delle aree e rivisitazione dei calcoli delle aree col metodo di esaustione.

ESEMPIO: \int_0^b (x^2)dx: (i) area del sottografico con il metodo di ESAUSTIONE; (ii) mediante il TFC: con F(x) = x^3/3 primitiva di f(x) = x^2.

Mercoledi' 3 dicembre 2025 (ore 16-18) INTEGRALI INDEFINITI (Cap.5, Sez. 67-70 e 74)

PRIMITIVE di una funzione: proprieta'.

TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO (dimostrazione).

INTEGRALI INDEFINITI: Esempi

INTEGRAZIONE PER DECOMPOSIZIONE IN SOMMA: Esempi

Giovedi' 4 dicembre 2025 (ore 9-12) INTEGRALI (Cap.8, Sez. 71-73)

SIGNIFICATO FISICO DEL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO:  MEDIA DELLA VELOCITA' = VELOCITA' MEDIA

CALCOLO DI AREE DI FIGURE PIANE: Esempi

CALCOLO DI ALCUNI INTREGRALI PARTICOLARI (usando l'interpretazione geometrica): \int_0^\pi sin^2(x)dx = \int_0^\pi cos^2(x)dx = \pi/2; \int_0^\R \sqrt(R^2 - x^2)dx = (\pi R^2)/4

INTEGRAZIONE PER DECOMPOSIZIONE IN SOMMA: Esempi(2)

INTEGRAZIONE PER PARTI: come corrispettivo della formula di Leibnitz (per la derivazione del prodotto); ESEMPI. ATT.NE: se e' necessario applicare il metodo una seconda volta, fare attenzione a scambiare i ruoli (fattore-finito/fattore-differenziale) che appare nel secondo integrale. Altrimenti, ci si ritrova da capo a dodici.

INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE: come corrispettivo della formula di derivazione delle funzioni composte; ESEMPI. L'integrazione per sostituzione per gli integrali definiti (ATT.NE agli ESTREMI di integrazione!)

Mercoledi' 10 dicembre 2025 (ore 16-18) INTEGRALI INDEFINITI (Cap.5, Sez. 71)

INTEGRAZIONE DELLE FUNZIONI RAZIONALI: OSS. Per l'integrazione di funzioni razionali ci si puo' limitare al caso in cui il grado del numeratore e' strettamente minore del grado del denumeratore (funzione razionale PROPRIA) ed il denominatore e' MONICO.

CASO (grado denominatore = 1): Soluzione generale; ESEMPIO

CASO (grado denominatore = 2):

- sottocaso DISCRIMINANTE > 0, fratti semplici e soluzione generale, ESEMPI

- sottocaso DISCRIMINANTE = 0, fratti semplici e soluzione generale, ESEMPI

COMPLETAMENTO DEL QUADRATO:

- soluzione dell'equazione di secondo grado (a coefficienti complessi)

Giovedi' 11 dicembre 2025 (ore 9-12) LEZIONE + ESERCITAZIONE

INTEGRAZIONE DELLE FUNZIONI RAZIONALI.

CASO (grado denominatore = 2):

- sottocaso DISCRIMINANTE < 0: metodo per ottenere una costante al numeratore ("isolando" al numeratore (un multiplo de) la derivata del denominatore, il che, integrando, da'  (un multiplo de) il logaritmo del denominatore); 

COMPLETAMENTO DEL QUADRATO:

- soluzione generale dell'integrale corrispondente (con l'arcotangente): utilizzo della formula di sostituzione...

ESEMPI.

Derivata di ln|x| = 1/x (da cui primitiva di 1/x = ln|x|+c)

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METDODO DI INDUZIONE;

NUMERI RAZIONALI; radice{6} non e' razionale

SUCCESSIONI e loro LIMITI;

FUNZIONE (definita per x diverso da zero e f(0) per x=0): dominio di definizione/continuita'/derivabilita'. Formula per f'(x).

Mercoledi' 17 dicembre 2025 (ore 16-18) ESERCITAZIONE

METDODO DI INDUZIONE: d^n/dx^n(1/(1+x)) = n! (-1)^n (1/(1+x))^{n+1} 

NUMERI RAZIONALI; radice[5]{2} non e' razionale

NUEMRI COMPLESSI: forma trigonometrica; coniugio; potenze; radici n-sime

SUCCESSIONI e loro LIMITI; dimostrazione che una successione crescente e limitata e' convergente

INTEGRALI: definito PER PARTI; indefinito di una funzione RAZIONALE 

Giovedi' 18 dicembre 2025 (ore 9-12) ESERCITAZIONE

METDODO DI INDUZIONE: (x diverso da 1) somma_{k=1}^n x^k = (x - x^{n+1})/(1-x)

ESISTENZA ED UNICITA' delle RADICI n-seime di un numero complesso z_0 diveerso da 0)

LIMITI DESTRO/SINISTRO; DERIVATE DESTRE/SINISTRE: esempi

INTEGRALI: integrale_{0}^{pi greco} cos^2(x)dx in 3 modi diversi : (a) area del sottografico (e relazioni

pitagoriche); (b) per parti; (c) con la fomula di duplicazione (e cambiamento variabili: att.ne agli estremi di integrazione!)

MEDIA DI UNA FUNZIONE: definizione; velocita' media = medai delle velocita'.

AREA DELLA REGIONE compresa tra le curve: x=0, x=2(pi greco), y = 0, e y=e^{3x}sin(2x).